精品解析：贵州省铜仁市第三中学2025-2026学年上学期九年级数学第三次月考试卷

铜仁市第三中学2025-2026学年度第一学期第三次质量监测 九年级数学试卷 （本卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要根据一元二次方程的定义，逐一分析每个选项是否符合一元二次方程的条件．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 一元二次方程的一般形式是（），选项中未明确， ∴ 选项不一定是一元二次方程； ∵ 选项中方程未知数的最高次数是， ∴ 选项不是一元二次方程； ∵ 选项中方程未知数的最高次数是， ∴ 选项不是一元二次方程； ∵ 选项展开为，即，符合一元二次方程的定义， ∴ 选项是一元二次方程． 故选：D． 2. 若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的图象在第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在第二、四象限， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数的图象在第二、四象限是解答此题的关键． 3. 在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是甲，乙， 丙，丁，这4人中成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大可得答案． 【详解】解：∵0.19<0.25<0.28<0.35， ∴s2丙< s2甲< s2丁<s2乙， ∴丙的成绩稳定， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差的意义． 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则EF的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理的内容是解题的关键；根据定理得，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到ABDE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（1，0），D（3，0）， ∴OA＝1，OD＝3， ∵△ABC与△DEF位似， ∴ABDE， ∴＝＝， ∴△ABC与△DEF的位似比为1：3， ∵点B的坐标为（2，1）， ∴E点的坐标为（2×3，1×3）， 即E点的坐标为（6，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键． 6. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，首先利用勾股定理求出三角形三边的长度，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：C． 7. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 8. 如图，在△中，点，分别在边，上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 由，可证，由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 9. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据设两直角边，利用勾股定理求斜边，再求的值. 本题考查了三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键. 【详解】解：∵如图，在中，，， ∴， 设则， ∴， ∵， ∴. 故选：B. 10. 自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的意义解答即可． 本题考查了黄金分割点，熟练掌握其意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得黄金分割点． 故选：A． 11. 如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的数值（ ） A. 11 B. 10 C. 2 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得反比例函数与线段（从1到3）有交点，需在和之间，即， 故选：D． 12. 如图，中，，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）画射线； （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，结论① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形为等腰直角三角形，利用三线合一性质得到，，可以判断①正确；根据题意作图可得：，，过点M作于点K，得到四边形为矩形，利用三角函数，继而判定②正确；利用外角性质，直角三角形的两个锐角互余，得到，可判定③错误；设，则，得到，可以判定④错误；证明，得到，可以判定⑤正确，解答即可． 本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质及判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴三角形为等腰直角三角形， 又∵是的角平分线． ∴，， ∴，， 故①正确； 根据题意作图可得：，， ∴， 过点M作于点K， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ， ∴， 故③错误； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确；综上所述， 正确的有：①②⑤； 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，将所求分式进行代数变形后代入计算． 本题考查了分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由，可得， 代入，得， 故答案为：． 14. 如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度，得到，由三角函数解答即可． 本题考查了坡比，特殊角的三角函数，熟练掌握坡比和三角函数是解题的关键． 【详解】解：坡度， 则， 故， 故（米）． 故答案为：150． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数与函数的图象交点个数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根可得判别式大于零，从而得到k的取值范围；再联立两个函数方程，解出交点对应的方程，根据k的取值范围讨论交点个数． 本题考查了一元二次方程根的判别式，函数的交点，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， 则判别式， 解得； 联立函数和，得， 整理得， 当时，方程有两个实数解，即两函数图象有两个交点； 故答案为：2． 16. 如图，在矩形中，点E为上一点，连接，，平分，F为的中点，连接交于点G，若，，求的长___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求的长，由平行线分线段比例可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ， 设，， ， 为的中点， ， 平分， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点，点是的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共98分，要有解答的主要过程） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是正确化简计算每一项，熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）分别计算特殊角的三角函数值，绝对值，化简二次根式，负整数指数幂，再计算加减； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】解：（1） ； （2） 或 ∴，． 18. 如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．线段表示小光站立的位置，线段表示此时操场上的灯杆，点为路灯所在位置． （1）画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作； （2）如果小光身高，他站在距离灯杆为的处时，测得自己的影长，求灯杆的高度． 【答案】（1） 如图， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接并延长交直线于点E，线段即为所作； （2）根据相似三角形的判定与性质得出，代入数据求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，， ， ， ， ． 答：灯杆的高度为． 19. 阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，． 当时，，， 当时，，， 原方程的解为，，， 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学思想； （2）解方程． 【答案】（1）换元；转化 （2）该方程的解为； 【解析】 【分析】（1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题解决的思想． （2）令，原方程化为，解得a得值，再分情况即可求解． 【小问1详解】 解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元；转化． 【小问2详解】 令，原方程化为， 解得 ，， 当时，， ∴该方程无解； 当时， ， ， 综上，该方程的解为， ． 【点睛】本题主要考查换元法解方程的方法，我们常用的是整体换元法，把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 21. 如图，矩形中，E、F分别在上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为G，交于H． （1）求证：△∽△； （2）若P为中点，且，，求长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， 由折叠知，， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，得，由折叠得出，得，得，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，，再结合，得，代入数值，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， ，， 为中点， ， 设，则， ， ， 解得，即， ， ， ， ， ． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，能用图象解不等式是解题的关键． （1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：由图象得 或． 23. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 【答案】（1）坡面的水平距离和垂直距离分别是和 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及解直角三角形、矩形性质等知识，数形结合，选择恰当的三角函数列式求解是解决问题的关键． （1）在中，由正弦函数、余弦函数定义列式求解即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，由矩形性质得到相关线段长，在中，由正切函数定义列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， ；； 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图所示： 则四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 24. 2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． （1）请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． （2）市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 【答案】（1）20% （2）①；②该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，熟练根据题意得出等量关系是解题的关键． （1）设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a，依题意得，求解即可； （2）①利用当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，列式得； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件，利用销量单个利润总利润，列式求解，再结合使得销量尽可能多，即可求解． 【小问1详解】 解：设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a， 依题意得：， 解得：，， 因为增长率a为正数，故舍去， 所以， 答：“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为20%． 【小问2详解】 解：①由题意得， 故答案为； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件， 由题意得：． 整理得：， 解得：，， 由于要使得销量尽可能多，，y随x的增大而减小，因此舍去， 所以． 答：该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD． （1）请根据题意补全图1； （2）猜测BD和CE的数量关系并证明； （3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长． 【答案】 （1）如图 （2）BD=CE, 证明：∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°， ∴∠DAB=∠CAE． ∵AD=AE，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE． （3）如图 PB的长是或． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可得BD=CE;（3）①根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,从而得到∠ABD=∠ACE,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△PBE,列比例方程可求出PB的长；②与①类似，先求出PD的长，再把PD和BD相加. 解：（1）略 （2）略 （3）①CE= . ∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE, ∴△ACD∽△PBE, , ∴ ; ②∵△ABD∽△PDC, , ∴ ; ∴PB=PD+BD= . ∴PB的长是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市第三中学2025-2026学年度第一学期第三次质量监测 九年级数学试卷 （本卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是甲，乙， 丙，丁，这4人中成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则EF的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 8. 如图，在△中，点，分别在边，上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则长为（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的数值（ ） A. 11 B. 10 C. 2 D. 7 12. 如图，中，，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）画射线； （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，结论① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ③④⑤ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 若，则________． 14. 如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是________米． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数与函数的图象交点个数为________． 16. 如图，在矩形中，点E为上一点，连接，，平分，F为的中点，连接交于点G，若，，求的长___________． 三、解答题（本大题共9个小题，共98分，要有解答的主要过程） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．线段表示小光站立的位置，线段表示此时操场上的灯杆，点为路灯所在位置． （1）画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作； （2）如果小光身高，他站在距离灯杆为的处时，测得自己的影长，求灯杆的高度． 19. 阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，． 当时，，， 当时，，， 原方程的解为，，， 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学思想； （2）解方程． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 21. 如图，矩形中，E、F分别在上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为G，交于H． （1）求证：△∽△； （2）若P为中点，且，，求长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 23. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 24. 2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． （1）请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． （2）市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 25. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD． （1）请根据题意补全图1； （2）猜测BD和CE的数量关系并证明； （3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $