精品解析：安徽省亳州市利辛县部分校联考2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

利辛县部分学校联考2025-2026学年上学期八年级1月月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，已知点到x轴距离为2，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 不能确定 2. 如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ） A. ， B. 若点（－1，）和点（2，）是直线l上点，则 C. 若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为 D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线解析式为 3. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）与所挂的物体的质量x（单位：）（不超过）间有下面的关系：则下列说法不正确的是（ ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A. x与y都是变量 B. 弹簧不挂重物时长度为 C. 物体质量每增加，弹簧长度y增加 D. 当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 4. 某乡村盛产葡萄，果大味美，甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠．乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为xkg，若在甲采摘园所需总费用为y甲元，若在乙采摘园所需总费用为y乙元，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲采摘园的门票费用是60元 B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克 C. 乙采摘园超过10kg后，超过的部分价格是12元/千克 D. 若游客采摘18kg葡萄，那么到甲或乙两个采摘园的总费用相同 5. 已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　） A. 12 B. 16 C. ﹣12或﹣16 D. 12或16 6. 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠CMA＝25°，则∠C的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 7. 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ） A. 25° B. 27° C. 30° D. 45° 8. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，点在的垂直平分线上若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 12. 如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 13. 已知点P（）关于x轴的对称点在第一象限，则的取值范围是__________ 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为______________． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 求下列函数自变量的取值范围： （1） （2）． 16. 已知中，，，求的各内角度数． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B 的对应点C，D，连接AC，BD，CD． (1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC； (2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 18. 如图，在矩形中，，，点为的中点，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点停止，点也以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线与的图象有且只有一个交点，请直接写出的取值范围 ． 19. 如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，且，求证：． 20. 如图，是等边三角形内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，则，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标． 22. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 23. 如图，是等边三角形，点在边上（ “点D不与重合），点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为边作作等边三角形，连接. （1）如图1，当的延长线与的延长线相交，且在直线的同侧时，过点作，交于点，求证：； （2）如图2，当反向延长线与的反向延长线相交，且在直线的同侧时，求证：； （3）如图3， 当反向延长线与线段相交，且在直线的异侧时，猜想、、之间的等量关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利辛县部分学校联考2025-2026学年上学期八年级1月月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，已知点到x轴的距离为2，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】依据点到x轴距离等于纵坐标的绝对值可求解． 【详解】解：因为到x轴的距离为2， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了点到x轴的距离；熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是几点的关键． 2. 如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ） A. ， B. 若点（－1，）和点（2，）是直线l上点，则 C. 若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为 D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质和平移的规律逐项分析即可． 【详解】解：A.由图象可知，，，故正确，不符合题意； B. ∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，故错误，符合题意； C. ∵点(2，0)在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，故正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数的平移，熟练掌握性质和平移的规律是解答本题的关键． 3. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：）与所挂的物体的质量x（单位：）（不超过）间有下面的关系：则下列说法不正确的是（ ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 115 12 12.5 A. x与y都是变量 B. 弹簧不挂重物时的长度为 C. 物体质量每增加，弹簧长度y增加 D. 当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了变量之间的关系，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，是解题的关键． 由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度增加，当不挂重物时弹簧长度为，然后逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A．与都是变量，说法正确，故A不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度为，原说法错误，故B符合题意； C．物体质量每增加，弹簧长度增加，说法正确，故C不符合题意； D．由C知，，当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 4. 某乡村盛产葡萄，果大味美，甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠．乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为xkg，若在甲采摘园所需总费用为y甲元，若在乙采摘园所需总费用为y乙元，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲采摘园的门票费用是60元 B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克 C. 乙采摘园超过10kg后，超过的部分价格是12元/千克 D. 若游客采摘18kg葡萄，那么到甲或乙两个采摘园的总费用相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别判断两个园子的转折点的以及起点的含义即可得到答案． 【详解】解：A．当采摘量为0时，顾客的消费为60元，即门票的价格为60元，故A正确； B．在乙采摘园的优惠中，购买10千克葡萄的花费为300元，所以葡萄的价格为300÷10=30元/千克，故B正确； C．乙采摘园，超出10千克后，葡萄的价格为（480-300）÷（25-10）=12元/千克，故C正确； D．在甲园中，采摘18千克的费用为60+18×30×0.6=384元；在乙园中，采摘18千克的费用为300+12×8=396元，故D错误． 故选D 【点睛】本题主要考查函数图象，能够通过函数图象获取信息并解决问题是解题的关键． 5. 已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　） A. 12 B. 16 C. ﹣12或﹣16 D. 12或16 【答案】D 【解析】 【分析】由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形， 若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根， 则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0， ∴m＝12； ②AB＝AC，此时方程的判别式为0， ∴Δ＝64﹣4m＝0， ∴m＝16． 故m的值等于12或16． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 6. 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠CMA＝25°，则∠C的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】连接PE、PF，根据SSS证△AFP≌△AEP，推出∠FAP=∠EAP，求出∠FAP=∠EAP=∠C=25°，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：连接PF、PE， 由作法可知：AF＝AE，PF＝PE， ∵在△AFP和△AEP中 ∴△AFP≌△AEP（SSS）， ∴∠FAP＝∠EAP， ∵AB∥CD， ∴∠BAM＝∠CMA＝25°， ∴∠CAP＝25°， ∴∠C＝180°﹣∠CMA﹣∠CAP＝130°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 7. 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ） A. 25° B. 27° C. 30° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据BE⊥AC，AD＝CD，得到AB=BC，∠ABC，证明△ABD≌△CED，求出∠E＝∠ABE=27°． 【详解】解：∵BE⊥AC，AD＝CD， ∴BE是AC的垂直平分线， ∴AB=BC， ∴∠ABC＝27°， ∵AD＝CD，BD＝ED，∠ADB=∠CDE， ∴△ABD≌△CED， ∴∠E＝∠ABE=27°， 故选：B． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 9. 如图，，，点在的垂直平分线上若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据，，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知，又因为点在的垂直平分线上，可知，根据线段之间的关系可得，所以可得． 【详解】解：，， 是的垂直平分线， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等，三角形的面积公式等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于，如图，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【详解】作于F，如图， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点， ∴向上平移2个单位后得到点， 故答案为：． 12. 如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点 平分，， 是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 13. 已知点P（）关于x轴的对称点在第一象限，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出点P关于x轴的对称点的坐标，再根据该点在第一象限确定横、纵坐标为正数，即可解决问题. 【详解】P（）关于x轴的对称点的坐标为（） 该点位于第一象限，则 解得： 则的取值范围是 故答案为 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内各个象限内点的坐标特征以及对称，熟练掌握该知识点是解题关键. 14. 如图，在中，垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 求下列函数自变量的取值范围： （1） （2）． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围的求法，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）函数表达式是分式，由分母不为0即可求解； （2）函数表达式是二次根式，由被开方数非负即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：且， ∴且． ∴的自变量的取值范围是且． 【小问2详解】 解：由题意得：． ∴的自变量的取值范围是． 16. 已知中，，，求的各内角度数． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理列方程可求出的度数，进而求出的度数即可，熟练掌握任意三角形的内角和等于是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴，． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B 的对应点C，D，连接AC，BD，CD． (1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC； (2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）C（0，2），D（4，2），8；（2）点P（0，4）或（0，-4） 【解析】 【分析】(1）根据点的平移规律即可得点C，D的坐标；由 即可计算出; （2）设P坐标为（0，m），根据三角形面积公式得，解得m=±4，所以点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【详解】解：（1）依题意，得C（0，2），D（4，2）， ∴； （2）在y轴上存在一点P，使．理由如下： 设点P坐标为（0，m）， S△PAB=×4×|m|=8，解得m=±4 ∴P点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【点睛】本题考查坐标与图形性质；点的平移和三角形的面积,解答的关键得到四边形ACDB是平行四边形. 18. 如图，在矩形中，，，点为的中点，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点停止，点也以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线与的图象有且只有一个交点，请直接写出的取值范围 ． 【答案】（1） （2）图象见解析；当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可； （2）描点、连线即可画出图象，再观察y的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先求得直线经过特殊点时的m的值，结合图象即可求解． 小问1详解】 当时，； 当时，． 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 画出函数图象如下， 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小； 【小问3详解】 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 若直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质，正确求出函数解析式并画出图象，数形结合是解题的关键． 19. 如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 20. 如图，是等边三角形内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，则，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）当为或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据，推出，根据旋转，可得，从而得证； （2）根据，推出，然后求得，根据内错角相等，两直线平行，推出； （3）分别表示出，，，然后分或或三种情况进行讨论即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形. 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）知，是等边三角形， ， ∵，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∵，， ， ， 是等腰三角形， 或或， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 那么当为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质，周角，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标． 【答案】（1）k=-1，b=4；（2）点D的坐标为（0，-4）． 【解析】 【详解】分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标． 详解：（1）当x=1时，y=3x=3， ∴点C的坐标为（1，3）． 将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b， 得：， 解得：． （2）当y=0时，有﹣x+4=0， 解得：x=4， ∴点B的坐标为（4，0）． 设点D的坐标为（0，m）（m＜0）， ∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3， 解得：m=-4， ∴点D的坐标为（0，-4）． 点睛：本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC，找出关于m的一元一次方程． 22. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）或 （2）点Q的运动速度为或 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； 【小问2详解】 解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 23. 如图，是等边三角形，点在边上（ “点D不与重合），点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为边作作等边三角形，连接. （1）如图1，当的延长线与的延长线相交，且在直线的同侧时，过点作，交于点，求证：； （2）如图2，当反向延长线与的反向延长线相交，且在直线的同侧时，求证：； （3）如图3， 当反向延长线与线段相交，且在直线的异侧时，猜想、、之间的等量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）=+，理由见详解. 【解析】 【分析】(1)由是等边三角形，，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，是等边三角形，易证∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论； (2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论； (3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论. 【详解】（1）∵是等边三角形，， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴是等边三角形， ∴DG=DC. ∵是等边三角形， ∴DE=DF，∠EDF=60°， ∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF， 在∆ GDE和∆ CDF中， ∵， ∴∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)， ∴； （2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2， ∵是等边三角形，， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴是等边三角形， ∴DG=DC. ∵是等边三角形， ∴DE=DF，∠EDF=60°， ∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF， 在∆ GDE和∆ CDF中， ∵， ∴∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)， ∴， ∴ （3）=+，理由如下： 过点D作DG∥AB交BC于点G，如图3， ∵是等边三角形，， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴是等边三角形， ∴DG=DC=GC. ∵是等边三角形， ∴DE=DF，∠EDF=60°， ∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF， 在∆ GDE和∆ CDF中， ∵， ∴∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)， ∴=GC+CE=CD+CE. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $