统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 考点目录 古典概型 独立事件的概率 考点一 古典概型 例1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】5名同学分成3个小组， 若按2人，2人，1人来分有种分组方式， 若按3人，1人，1人来分有种分组方式， 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 若甲乙去同一个服务点且该服务点有两人，则有种分组方式； 若甲乙去同一个服务点且该服务点有三人，则有种分组方式； 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以甲乙去同一个服务点的不同安排方法有：种. 因此，甲乙去同一个服务点的概率为， 则甲与乙不去同一个服务点的概率为. 故选：B. 例2．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1：总的安排方法数为种，其中乙、丙、丁全排列方法数为种， 甲在乙、丙、丁的排列形成的四个空当中任选两个的方法数为种， 故所求概率， 解法2：总的安排方法数为种，其中甲两天相邻的排列方法数为种， 故所求概率， 故选：B． 例3．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）从，，，，共处水样监测点中随机选处进行检测，则，同时入选的概率为 ． 【答案】 【详解】处水样监测点分别为 ， ， ， ， ， 从中随机选择处的结果有： ，共种情况， 其中 ， 同时入选的有 ，共种情况， 所以 ， 同时入选的概率 ． 故答案为：． 例4．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国古代数学中，《九章算术》涉及到约分的问题，需要对互质概念的理解.对于两个正整数而言，若它们仅有公因数1，则称这两个正整数互质.例如1和2，3和4分别都只有公因数1，所以1和2，3和4分别都是互质的.从2160的不同的正因数中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为 . 【答案】 【详解】因为，则的正因数，其中，，， 所以有个不同的正因数. 从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的情况有如下几种： ①选择的两个因数为、，其中，，有种情况； ②选择的两个因数为、，其中，，有种情况； ③选择两个因数为、，其中，，有种情况； ④选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑤选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑥选择的两个因数为、，其中，，，有种情况； ⑦若选择的因数有，与其它因数的公约数为，有种情况. 综上所述，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·吉林通化·期末）甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将甲、乙、丙三人用表示，由题意可知，传毽子的方式有以下形式： ， 则经过3次传递后，毽子传回到甲的事件有与， 因此经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为， 故选：A. 变式2．（25-26高二上·河南·月考）某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记“抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，朝下的一面为点”为事件. 记“取出的卡片全是红色”为事件B. . 则. 故选：C. 变式3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是 . 【答案】/ 【详解】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，从5个球中不放回地随机摸出2个球， 试验的样本空间，又两次均摸出黑球为， 所以，又易知， 由条件概率公式，知在第1次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率， 故答案为：. 变式4．（2026·四川巴中·一模）某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高二获胜的概率为 ． 【答案】 【详解】设为高一出场选手，为高二出场选手，其中表示段位， 第一局比赛中，有，，，，，，，，，共个基本事件， 其中高一能取得胜利的基本事件为，，，共个， 第一局比赛高一获胜的概率为． 在一场三局比赛中，共有不同的种安排方法， 其中高一能获胜的安排方法为，，，，，，共种， 在一场比赛中高二获胜的概率为． 故答案为：；. 考点二 独立事件的概率 例1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 例3．（24-25高一上·江西南昌·期末·多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为共4个，故概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 则从每个袋子中各任取一个球，取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误． 故选：AC 例4．（25-26高二上·云南曲靖·月考·多选）甲、乙、丙三人选择不同的交通工具各自均从云南大理市出发去昆明市，若在4小时内到达昆明市，则意味着按时到达昆明市，甲、乙、丙三人各自可以按时到达昆明市的概率分别为0.7，0.6，0.5，且甲、乙、丙三人各自是否按时到达昆明市相互独立，则（   ） A．这三人都按时到达昆明市的概率为0.2 B．这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为0.14 C．这三人都未按时到达昆明市的概率为0.06 D．这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为0.84 【答案】BC 【详解】对于A，这三人都按时到达昆明市的概率为，故A错误； 对于B，这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为， 故B正确； 对于C，这三人都未按时到达昆明市的概率为， 故C正确； 对于D，这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为，故D错误. 故选：BC. 例5．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，规定谁先胜3局为赢.则甲赢的概率是 . 【答案】 【详解】比赛3局甲赢的概率， 比赛4局甲赢的概率， 比赛5局甲赢的概率， 故甲赢的概率为. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·河北张家口·期末）某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则 ． 【答案】 【详解】包含两类：前3次都取到红球，或前3次取到2个红球和1个白球且第4次取到红球， 其概率为． 故答案为：． 例7．（25-26高三上·上海普陀·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ (2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 【答案】(1)想法错误； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析. 【详解】（1）小总出手次，命中次，则小总命中率为， 小总出手次，命中次，则小总命中率为， ，小B为校MVP，小C想法错误； （2）（ⅰ）证明：若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 可得“小第一次投篮，小获胜概率大”； （ⅱ）若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 其中，， 随着的增大而增大， ， 当也就是时， 当也就是时， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大． 例8．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对， 其概率为：； （2）（i）； 当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形， 可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、 连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错； 第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对）， 故； （ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形， 则由题意可如下分类： ①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形， 此时概率为； ③第n题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为， 由全概率公式：①， 因此②， ， 所以当时，，故． 变式1．（25-26高二上·四川遂宁·期中）口袋内装有除颜色外均相同的3个红球和1个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的2球中恰有1个红球和1个白球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】有放回抽取时，每次抽红球的概率为，抽白球的概率为， “恰有1个红球1个白球”包含两种情形：第一次红、第二次白，或第一次白、第二次红， 第一种情形的概率：， 第二种情形的概率：， 总概率为：. 故选：B 变式2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·四川南充·月考·多选）甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（    ） A．每轮活动中，甲获胜的概率为 B．每轮活动中，平局的概率为 C．甲至少获胜两轮的概率为 D．甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 【答案】AC 【详解】对于A：由于在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜， 所以每轮活动中，甲获胜的概率为，所以A正确； 对于B：由于在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局， 所以每轮活动中，平局的概率为，B错误； 对于C：由A可知每轮活动中，甲获胜的概率为，所以三轮活动中甲至少获胜两轮的概率为 ，C正确； 对于D：由于每轮活动中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 所以三轮活动中，甲胜一轮且乙胜两轮的概率为，D错误； 故选：AC. 变式4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考·多选）某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C 3道试题的概率分别为，则（   ） A．甲至少答对1题的概率为 B．甲恰好答对1题的概率为 C．当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为 D．当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为甲3题都答错的概率为， 所以甲至少答对1题的概率为，故A正确； 对于选项B：甲只答对1题的概率为，故B正确； 对于选项CD：当第二个问题为A时， 甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为B时，甲恰好连续2题答对的概率为； 当第二个问题为C时，甲恰好连续2题答对的概率为； 可得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 变式5．（25-26高三上·江苏徐州·月考）在“苏超”足球训练的点球挑战赛中，甲、乙两队轮流进行点球对决．每轮对决中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各轮结果相互独立．挑战赛规则为：当一队比另一队多赢得2轮对决时该队获胜，比赛结束．设比赛从0：0开始，则比赛4轮甲获胜的概率为： ；若比赛结束所需的总对决轮数为，则 ． 【答案】 【详解】比赛4轮甲获胜时，1、2两局各胜1局，3、4两局甲获胜， 所以 比赛结束所需的总对决轮数为时，分为甲或乙胜， 不管最终哪个人获胜，前局，每两局每人获胜1局，最后两局是同一个人获胜， 所以 故答案为：；. 变式6．（2025·重庆·模拟预测）某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 【答案】 【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为： 变式7．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，且 ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 变式8．（25-26高三上·河南·期末）甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. (1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率； (2)求第局有甲参与的概率； (3)求第局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）分两种情况. 第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为. 第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为 故所求概率为. （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为； 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以， 即 因为，所以，所以，即. （3）第局是甲、乙对打，则第局丙轮空， 记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为. 若第局有丙参与，则第局有丙参与的概率为； 若第局没有丙参与，则第局一定有丙参与，所以， 即. 因为，所以，所以，即 第局是甲、乙对打的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 考点目录 古典概型 独立事件的概率 考点一 古典概型 例1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）从，，，，共处水样监测点中随机选处进行检测，则，同时入选的概率为 ． 例4．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国古代数学中，《九章算术》涉及到约分的问题，需要对互质概念的理解.对于两个正整数而言，若它们仅有公因数1，则称这两个正整数互质.例如1和2，3和4分别都只有公因数1，所以1和2，3和4分别都是互质的.从2160的不同的正因数中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为 . 变式1．（25-26高三上·吉林通化·期末）甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·河南·月考）某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是 . 变式4．（2026·四川巴中·一模）某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高二获胜的概率为 ． 考点二 独立事件的概率 例1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·江西南昌·期末·多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 例4．（25-26高二上·云南曲靖·月考·多选）甲、乙、丙三人选择不同的交通工具各自均从云南大理市出发去昆明市，若在4小时内到达昆明市，则意味着按时到达昆明市，甲、乙、丙三人各自可以按时到达昆明市的概率分别为0.7，0.6，0.5，且甲、乙、丙三人各自是否按时到达昆明市相互独立，则（   ） A．这三人都按时到达昆明市的概率为0.2 B．这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为0.14 C．这三人都未按时到达昆明市的概率为0.06 D．这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为0.84 例5．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，规定谁先胜3局为赢.则甲赢的概率是 . 例6．（25-26高三上·河北张家口·期末）某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则 ． 例7．（25-26高三上·上海普陀·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ (2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 例8．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 变式1．（25-26高二上·四川遂宁·期中）口袋内装有除颜色外均相同的3个红球和1个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的2球中恰有1个红球和1个白球”的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 变式3．（25-26高三上·四川南充·月考·多选）甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（    ） A．每轮活动中，甲获胜的概率为 B．每轮活动中，平局的概率为 C．甲至少获胜两轮的概率为 D．甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 变式4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考·多选）某校开展劳动教育课程，为有效推动课程实施，开展劳动知识比赛.比赛中每位选手需回答A，B，C(分别为日常生活类，生产劳动类，服务性劳动类)3道试题，回答结果相互独立.已知甲答对A，B，C 3道试题的概率分别为，则（   ） A．甲至少答对1题的概率为 B．甲恰好答对1题的概率为 C．当第二个问题是B时，甲恰好连续2题答对的概率为 D．当第二个问题是C时，甲恰好连续2题答对的概率最小 变式5．（25-26高三上·江苏徐州·月考）在“苏超”足球训练的点球挑战赛中，甲、乙两队轮流进行点球对决．每轮对决中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各轮结果相互独立．挑战赛规则为：当一队比另一队多赢得2轮对决时该队获胜，比赛结束．设比赛从0：0开始，则比赛4轮甲获胜的概率为： ；若比赛结束所需的总对决轮数为，则 ． 变式6．（2025·重庆·模拟预测）某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 变式7．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 变式8．（25-26高三上·河南·期末）甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. (1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率； (2)求第局有甲参与的概率； (3)求第局是甲、乙对打的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $