训练62 随机事件的概率、古典概型-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

则有C%十C,十C?=46,即1十n十 n(n-1) =46, 2 整理得(n一9)(n十10)=0，由n∈ N,故n=9, 则展开式中二项式系数最大的两 项为 -以4 T:=(-1)Cx =126x, -3X5 T6=(-1)5Cx2 =-126.x3 若选条件②：展开式中所有项的二项 式系数之和为512， 则有2”=512，解得n=9, 则展开式中二项式系数最大的两 项为 -3X Ts=(-1)'Cx =126x, -x5 T6=(-1)5C5x=-126.x3. 若选条件③：展开式中常数项为第 4项， 则有”一3X3=0,解得n=9, 2 则展开式中二项式系数最大的两 项为 T:=(1C, .=126x T6=(-1)5C5x =-126.x-3 (2)由(1)知，n=9,故对（√元 )有T=(1C学， 3 -3×8 15 则T。=(-1)8Cx=9x 14.解：(1)(1-2x)2025=a0十a1x+ ax2+…十asx2， .令x=0,得1=ao, 即a。=1. (2)由题意知，令x=1,得一1=a0十 a1十a2十a3十…十a2o25, .a1十a2十ag十…十a2025=-2. (3)分别令x=一1，x=1,得 3202 =a0一a1十a2一a3十· a2023十a2021-a2625①， -1=a0十a1十a2十a3十…十 a2023十a2021十a2025②. ②-①，得-1-3225=2(a1十a3十 a5十…十a2025）， .a1十a3十a5十…十a202s 1-3202s 2 训练62随机事件的 概率、古典概型 1.D随机试验的样本空间为2={0,1， 2,则事件P=1,2}是随机事件，故 A正确；事件Q={0,1,2}是必然事 件，故B正确：事件M={一1，一2}是 不可能事件，故C正确：事件N={0 是随机事件，故D错误.故选D. 2.A由题意知A≠B,AUB表示向上 的点数是1或3或5，A∩B表示向上 的点数是1.故选A. 3.B0到9这十个数字是3的倍数的有 0,3,6,9,故它敲击两次得到的两个数 字恰好都是3的倍数有CC=4×4= 16(种)情况，它敲击两次得到的两个 数字有C。C。=10×10=100(种)情 况，故它敲击两次得到的两个数字恰 16 好都是3的倍数的概率为=5敌 选B. 4.A画树状图如图. 开始 乙 丙 乙丙丁甲丙丁甲乙丁 甲乙丙 共有12种等可能的结果，其中甲被抽 中的结果有6种，所以甲被抽中的概率 6 1 为 故选A 5.C易知 a+b=72-22-3, 7×3+8a+9b+10×22=9.125×72, 化药得低中的”6桌释8二0 训练中命中黄圈的频率为22十40≈ 72 0.86,故正式比赛时射出的第一支箭 命中黄圈（不小于9环）的概率约为 0.86.故选C 6.A根据已知条件所有情况共有4= 256(种)，又因为恰有两种饮品没有购 买，所以将同学分成两组有(1,3)，(2， 2)两种可能，共C1 C种方法，再从 四种饮品中选出两种，分配给两组人， C4 共有(C+·A:=84(种)方法， 所以恰有两种没有购买的概率为P= 8421 256=64 故选A. 7.BD“至少有一个黑球”等价于“一个 黑球和一个红球或两个黑球”与“都是 黑球”可以同时发生，不是互斥事件， 故A错误；“至少有一个黑球”等价于 “一个黑球和一个红球或两个黑球”， “至少有一个红球”等价于“一个黑球 和一个红球或两个红球”，可以同时发 生，故B正确；“恰好有一个黑球”等价 于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有 两个黑球”不同时发生，还有可能“都 是红球”，不是对立事件，故C错误；“至 少有一个黑球”等价于“一个黑球和一 个红球或两个黑球”，与“都是红球”不 同时发生，但一定会有一个发生，是对 立事件，故D正确.故选BD. 8.BCD3人选择的地点均不同的方法 总数为A=60,故A错误；恰有2人选 一个地方的方法总数为CXCX C=60,故B正确；恰有1人选泰山的 方法总数为C×42=48,所有的方法 数为5=125，所以恰有1人选泰山的 概率是 25,故C正确：父母都不选择去 4 泰山的概率为X52 .4×416 ,所以小明已 选择去泰山的情况下，其父母至少有 一人选择去泰山的概率为1一25 16 23,故D正确.故选BCD. 9.ABD因为事件A,B,C两两互斥，所 以P(AUC)=P(A)+P(C).因为 5 P(A)=P(A UC)=是，所以 P(C)=子，则A正确，周为P(A) 合P(B)=子所以PAUB 1 P(A)十P(B)=之，则B正确.因为事 件A,B,C两两互斥，所以P(AUBU C)=P(A)+P(B)+P(C)=,则 C错误.周为P(B)=子，P(C)= 所以P(BUC)=P(B)+P(C)= 2,则D正确.故选ABD. 解析：玉衡和天权都没有被选中的概 本为P=是=号 2 11.4 3 解析：两人选取科目的方法共有4X 4=16(种)，科目完全相同的方法共 有4×1=4（种），所以科目不完全相 同的方法共有12种，故所求概率为 P= 12 3 12.56 析：8张卡片上的所有数字之和为 36,根据题意，抽出的3张卡片上的数 字之和为18，只有三种情况：3十7十 8,4十6十8,5十6十7，所以所求概率为 3 3 P= 13.解：(1)估计男顾客对该商场服务满 意的概率为0= 60 6 女顾客对该商场服务满意的概率为 505 80=8 (2)估计顾客对该商场服务满意的概 率为50+50 5 60+80 7 (3)由(2)知，2100×7 =1500(名)， 所以约有1500名顾客对该商场的服 务满意. 14.解：(1)用(a1,a2)表示取出的2只鞋 是a1和a2,其他样本点用类似的方法 表示，该试验的样本空间可表示 为2={(a1,a2）,(a1b1）,(a1b2), (a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2), (a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1), (b1c2),(b2c1）,(b2c2),(c1c2）. (2)由(1)知n(2)=15. ①记A:“取出的鞋都是一只脚的”， 则A={(a1,b1),(a1,c1),(b1c1), (a2,b2）,(a2c2）,(b2c2）9, .n(A)=6, 6 2 ∴P(A)=5=5 ②记B:“取出的鞋子是一只左脚和 一只右脚的，但不是一双鞋”， 则B={(a1,b2),(a1,c2),(a2b1), (a2c1),(b1c2）,(b2c1）}, .n(B)=6, 6 P(B)==5· 参考答案575 (3)记C:“取出的鞋不成双”， 由(1)得n(2)=15, :C={(a1,a2),(b1,b2),(c1c2) n(C)=3, .n(C)=15-3=12, .P(C)= 12 4 15 训练63 事件的相互独立性 与条件概率、全概率公式 1.A设A表示“甲命中目标”，B表示 “乙命中目标”，则P(A)=0.8,P(B)= 1一0.3=0.7，所以他们同时命中目标 的概率是P(AB)=P(A)P(B)= 0.8×0.7=0.56= 25· 故选A 2.D互斥事件是指在一定条件下不可 能同时发生的事件，由此判断A1和A2 不互斥，则也不对立；由题意可得 5P(A)= 3 P(A1)= 2 3 3 3 2 Y八 =5P(A1A,)= 5 4 3 10 ,P(A1A2)≠P(A1)·P(A,),所以 事件A1与事件A,不是相互独立事 件.故选D. 3.A依题意两人中恰有一人晋级，则甲 晋级、乙未晋级或甲未晋级、乙晋级 所以所求概车P=×(-) 4 (1-)×- 25 故选A 4.D 事件A为“甲同学不跑第一棒”，事 件B为“乙同学跑第二棒”，则P(A)= A =3,P(AB) A ,所 4 A 6 1 P(AB) 6 以P(BA)= P(A) 3 9 4 故选D. 5.B因为每枚骰子朝上的，点数有奇数 1,3,5三个，偶数2,4,6三个，所以3枚 骰子朝上的点数之和为奇数的情况有 奇数十奇数十奇数，偶数十偶数十奇 数，共两种情况，可得P(A)= C CC+3C CC CCECE 子朝上的，点数为奇数的情况有偶数十 3ccc 偶数十奇数，可得P(AB) CCECE 3 期P(BA)= P(AB) 8 P(A) 1 3 4 故选B. 6.A记事件D:选取的这个人患过流感， 事件E:此人来自A地区，事件F:此人来 自B地区，事件G:此人来自C地区，由题 22P(F)= 意可得P(E)= 6 3 22 11 P(G)= 22P(D E)= (D D 10 9 ,P(DG)= 8 2 F)= 100 25 ,由全 概率公式可得P(D)=P(E)·P(D 576 红沟·讲与练·高三数学 ·县 E)+P(F)·P(DF)+P(G)· P (D G)= 1 3 9 22×0+×10 7 2 9 27 7 22×25=220+1100+27元 100 1 1100=立故选A 7.BCD由题意，不放回地随机取两次， 共有6×5=30（种）情况，A={(2, 1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(6,1),(6, 2),(6,3),(6,4),(6,5)},共15种情 况，B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1), (6,1),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6, 3),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6, 5),共15种情况，故P(B)=30 15 ,故C正确；显然A∩B≠⑦，事件 1 A与B不是互斥事件，故A错误；C= (1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,1), (3,5),(4,2),(4,6),(5,1),(5,3),(6, 2),(6,4)},共12种情况，故P(C)= 12 30 2,D=12),1,4),(1,6), = (2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3, 6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4), (5,6),(6,1),(6,3),(6,5)},共18种 情况，所以C与D互为对立事件，故B正 确；事件BC={(3,1),(5,1),(1,3),(5, 3),(1,5),(3,5)},共6种情况，所以 6 =P(B)P(C),所以 B与C相互独立，故D正确.故选BCD. 8.ACD设A=“甲获得满分”，B=“乙 3 获得满分”，则P(A)= ,P(B)= A 2 ,“两人均获得满分”可表示为A门 B,因为两人能否获得满分相互独立， 故P(A∩B)=P(A)P(B)= 3 2 3 2 ,故A正确：因“两人至少一人 获得满分”的对立事件为A∩B=“两 人都没有获得满分”，则“两人至少一 人获得满分”的概率为1一P(A∩ 1 B)=1-PA)PB)=14X3 1 2,故B错误，“两人恰好只有甲获得 满分”可表示为A∩B,其概率为 P(A B)-P(A)P(B) 3 1 三，故C正确因“”两人至多一 3 获得满分”的对立事件为A∩B=“两 人都获得满分”，则“两人至多一人获 得满分”的概率为1一P(A∩B)=1 P(A)P(B)=1-元X 号=故D正 3 确.故选ACD. 9.ABD事件A,B不能同时发生，但能 同时不发生，故A,B是互斥事件，但不 是对立事件，故A错误；事件B发生与 否影响事件D,所以事件B,D不是相 互独立事件，故B错误；P(D)= P(A)P(D A)+P(B)P(D B)- 础版 P(C)P (D C)-Ci.CC.C C'CC'C CC.=16,故C正确：P(CD) 35 P(C)P (D C)= D错误，故选ABD. 解析：因为事件B二A,所以P(AB)= C P(B)= 1 = 7,而P(A)= C+C 是，所以P(BA) P(AB)P(B)1 P(A) P(A)=3 11.2 解析：由题设P(AB)=P(A)P(B), 而P(A)=1-P(A)=子，所以 P (AB)=6 P(A)P(AB)+ PAB,故PA)=号日= 12.0.5275 解析：设B表示“该小组在比赛中射 中目标”，A,(i=1,2,3,4)表示“选i 级射手参加比赛”，则P(B)= P(A:)P(BA,)=20 ×0.85+ 品×064+品×0.5+易×02 6 9 0.5275. 13.解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件 A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B, 则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目” 为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取 2个，总的事件数n(2)=A号=30. 根据分步乘法计数原理，有n(A)= AA=20, 所以P(A)=nA)=20_2 n(2)=30=3 (2)因为n(AB)=A=12, 所以P(AB)=n(AB)_122 n(2) =30=5 (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节 目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概 2 率P(B|A)= P(AB) P(A) 2 3 14.解：(1)甲考生通过考核进入面试环 节，答对第一题的概率是了，答对第 二题的概率是子 ∴.甲考生通过某校强基招生面试的 11 1 概率为P1=3X2=6 (2)乙考生通过某校强基招生面试的 概率为P:=×= 1 1 ∴甲、乙两位考生中有且只有一位考 生通过强基招生面试的概率为班级： 姓名： 训练62 随机事件的概率、古典概型 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.若随机试验的样本空间为2={0,1,2}，则下列说 7.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球， 法不正确的是 则下列说法正确的是 () A.事件P=1,2}是随机事件 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不 B.事件Q={0,1,2}是必然事件 对立的事件 C.事件M={一1，一2}是不可能事件 B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互 D.事件N={0}是必然事件 斥事件 2.抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3” C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥 为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则 而且是对立的事件 D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 () 8.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于 A.AUB表示向上的点数是1或3或5 东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华 B.A=B 山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明与其父母 C.AUB表示向上的点数是1或3 共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则 D.A∩B表示向上的点数是1或5 3.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数 A.3人选择的地点均不同的方法总数为20 字键，则它敲击两次（每次只敲击一个数字键）得 B.恰有2人选一个地方的方法总数为60 到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( 谒 C恰有1人选泰山的概率是 D.已知小明已选择去泰山的情况下，其父母至少 4.(2024·福建泉州第五中学摸底)某小区需要从甲、 有一人选择去泰山的概率为2 乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区 的宣传工作，则甲被抽中的概率是 ( ) 9.已知事件A,B,C两两互斥，若P(A)= 1 6 A号 B c 5 D.12 pB)=名PAUc=是则 ( 5.某射箭选手积极备战某运动会，在一次训练中共 A.P(C)=4 1 射了72支箭，下表是命中环数的部分统计信息： B.P(AUB)=司 环数 7 8 10 C.P (A U B U C)=1 D.P(B U C)- 频数 0 3 a b 22 三、填空题（每小题5分，共15分） 10.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的 已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平， 重要依据，如图，北斗七星分别为天枢、天璇、天 正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9 玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权 环)的概率约为 ) 最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选三颗进 A.0.31 B.0.65 C.0.86D.1 行观测，则玉衡和天权都未被选中的概率为 6.某冷饮店有四种饮品可供选择，现有四位同学到 得分 店每人购买一瓶，则恰有两种没有购买的概率为 弃阳衡天权 •天枢 21 A.64 C.i 5 0.32 摇光 天璇 天玑 (横线下方不可作答) 383 第九章 概率与统计 11.(2024·山西太原一模)甲、乙两名同学要从A,14.(19分)柜子里有3双不同的鞋，分别用a1,a2; B,C,D四个科目中每人选取三科进行学习，则 b1,b2c1c2表示6只鞋.其中a1,b1,c1表示每双 两人选取的科目不完全相同的概率为 鞋的左脚，a2,b2c2表示每双鞋的右脚，从中随 得分 机地取出2只. 得分☐ 12.(2025·八省联考)有8张卡片，其上分别标有数 (1)写出试验的样本空间， 字1,2,3,4,5,6,7,8，现从这8张卡片中随机抽出 (2)求下列事件的概率： 3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张 ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只 卡片上的数字之和相等的概率为 左脚和一只右脚的，但不是一双鞋 得分 (3)求取出的鞋不成双的概率. 四、解答题（共37分） 13.(18分)某商场为提高服务质量，用简单随机抽样 的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾 客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意 的评价，结果如表所示. 得分 项目 满意 不满意 男顾客 50 10 女顾客 50 30 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的 概率 (2)估计顾客对该商场服务满意的概率. (3)若该商场一天有2100名顾客，大约有多少名 顾客对该商场的服务满意？ 红对勾·讲与练 384 高三数学·基础版