统计与概率：独立事件的乘法公式、二项分布专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：独立事件的乘法公式、二项分布专项训练 统计与概率：独立事件的乘法公式、二项分布专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 二项分布 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高三上·上海松江·期末）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 例2．（25-26高二上·上海·月考）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． (1)求，（用来表示）； (2)求（用来表示）； (3)若，求的数学期望（保留小数点后一位）． 例3．（25-26高三上·云南楚雄·期中）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； (3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 例4．（25-26高三上·湖南·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送时按顺序每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和发送信号1时，接收为1和0的概率分别为且每次数字的传输相互独立. (1)若发送的序列为“01”，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)若发送的序列为“011”，用X表示接收到的数字串中0的个数，求X的分布列与数学期望. 例5．（2025·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 变式1．（25-26高二上·四川达州·月考）小李同学参加机器人知识竞赛，需回答4个问题．竞赛规则规定：答对第1，2，3，4个问题分别得50分、50分、100分、200分，答错得零分，假设小李同学答对第1，2，3，4个问题的概率分别为，各题只有一次答题机会，且答对与否相互之间没有影响． (1)求小李同学得100分的概率； (2)求小李同学至少得350分的概率． 变式2．（25-26高三上·上海浦东新·月考）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 变式3．（25-26高三上·陕西·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 变式5．（24-25高二上·贵州遵义·月考）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且恰有一人击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若按甲、乙、丙的出场顺序对同一目标依次进行射击，想击中该目标的概率不低于，则三人合计至少需要射击多少次?（参考数据：，） 考点二 二项分布 例1．（25-26高三上·北京·月考）随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 例2．（25-26高三上·河南·期中）某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 例3．（25-26高三上·重庆·月考）某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4个问题中随机抽取3个问题作答，每答对一题得1分，已知这4个问题中，甲能正确回答其中的2个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲､乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)设甲得分为，求的分布列及期望； (2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 例4．（25-26高三上·贵州·月考）生命不息，运动不止！为贯彻“健康第一”的理念，全面提升全县人民身体素养，我县在本届秋季县运动会中特别增设了两项趣味集体项目，一项为“双人对战赛”，另一项为“四人赛”，现从参加“双人对战赛”的部分运动员中做问卷调查，其中的运动员计划只参加“双人对战赛”，另外的运动员计划既参加“双人对战赛”又参加“四人赛”．为了鼓励人们积极参与，县文旅局对参加比赛的运动员发放文旅纪念品．若运动员只参加“双人对战赛”则获得1份纪念品，若运动员既参加“双人对战赛”又参加“四人赛”，则获得2份纪念品．假设每位被抽取的运动员参加“双人对战赛”与是否参加“四人赛”的选择是相互独立的，用频率估计概率． (1)从参加“双人对战赛”的运动员中随机抽取3人，记这3人获得纪念品的总数为，求的概率； (2)记位参加“双人对战赛”运动员获得纪念品的个数恰为的概率为，求的前项和； (3)从参加“双人对战赛”的运动员中随机抽取30人，这些运动员得到的纪念品恰为个的概率为，求最大时的值． 变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布、特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似：当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，利用其与正态分布的联系求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过与①的计算结果比较，你发现了什么规律？ (3)若，当时，记的取值范围为集合，证明. 参考数据：若，则有，，；，，. 变式2．（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 变式3．（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 变式4．（24-25高二下·北京延庆·期末）某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 1 4 10 3 2 女生人数 4 4 4 4 4 (1)在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：独立事件的乘法公式、二项分布专项训练 统计与概率：独立事件的乘法公式、二项分布专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 二项分布 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高三上·上海松江·期末）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)求这组数据的极差和中位数； (2)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (3)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)一局定胜负对甲更有利 【详解】（1）将题中数据按从小到大的排序排列得： 3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4． 故极差为；中位数为. （2）因为长发球回合数，短发球回合数， 所以从 10 个中随机抽取 3 个，至少有 2 个是长发球回合的概率为： ； （3）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为， 则， 因为，所以，即， 所以一局定胜负对甲更有利. 例2．（25-26高二上·上海·月考）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． (1)求，（用来表示）； (2)求（用来表示）； (3)若，求的数学期望（保留小数点后一位）． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1），； （2）当时，， 当时，， 所以； （3）， 所以 ， ， 因为， 所以. 例3．（25-26高三上·云南楚雄·期中）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； (3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (3) 【详解】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36， 事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件， 则． （2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为： ； （ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数为，则可取0，1，2，3， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． （3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为（）； 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为（）； 由于这两种情况彼此互斥，所以（）， 所以（），且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 例4．（25-26高三上·湖南·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送时按顺序每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和发送信号1时，接收为1和0的概率分别为且每次数字的传输相互独立. (1)若发送的序列为“01”，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)若发送的序列为“011”，用X表示接收到的数字串中0的个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1). (2)分布列见解析， 【详解】（1）设事件表示数字0接受正确，事件表示数字1接受正确，事件接收到的两个数字中有且只有一个正确，则，且与互斥. ， 所以接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率为. （2）由题意知可取， ， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望. 例5．（2025·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.8 (2)分布列见解析，2.4 【详解】（1）任选1名学生，记“该人参加过数据分析”为事件，“该人参加过新媒体运营”为事件， 由题意可知，事件与相互独立，，则， 任选1名学生，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名学生，该人参加过培训的概率. （2）由题意结合（1）可知，3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 的期望. 变式1．（25-26高二上·四川达州·月考）小李同学参加机器人知识竞赛，需回答4个问题．竞赛规则规定：答对第1，2，3，4个问题分别得50分、50分、100分、200分，答错得零分，假设小李同学答对第1，2，3，4个问题的概率分别为，各题只有一次答题机会，且答对与否相互之间没有影响． (1)求小李同学得100分的概率； (2)求小李同学至少得350分的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）得100分的情况有2种： 答对第1、2题，答错第3、4题： 概率为, 答对第3题，答错第1、2、4题： 概率为. 得100分的概率为. （2）至少得350分的情况有3种： 答对第1、3、4题，答错第2题： 概率为, 答对第2、3、4题，答错第1题： 概率为, 答对第1、2、3、4题：概率为, 至少得350分的概率为 变式2．（25-26高三上·上海浦东新·月考）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 【答案】(1)①；②一局定胜负对小明更有利，理由见解析 (2)，函数在上的单调递增；意义见解析 【详解】（1）①根据题意，比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4，所以三局比赛相互独立，且小明每局输的概率为0.6， 所以小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率为； ②根据题意，一局定胜负时，小明赢得比赛的概率为， 三局两胜时，小明赢得比赛有两种情况： 情况一：前两局获胜，概率为， 情况二：前两局胜一局，输一局，第三局获胜，其概率为， 根据互斥事件的加法公式，所以在“三局两胜”的赛制下， 小明获胜的概率为， 因为，所以从小明的角度考虑，一局定胜负对小明更有利； （2）“五局三胜”的赛制下，小明获胜有以下几种情况： 情况一：前三局获胜，概率为， 情况二：前三局胜两局输一局，第四局获胜，则， 情况三：前四局胜两局输两局，第五局获胜，则， 所以小明赢的概率为： ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以函数在上的单调递增； 现实意义：在“五局三胜”的比赛中，小明每局获胜的概率越大，他最终获胜的概率就越大，即小明实力越强，他获胜的可能性就越大. 变式3．（25-26高三上·陕西·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【详解】（1）第一阶段甲次都未中的概率为， 所以进入第二阶段的概率为， 乙得分不少于分的情况包括乙投中次或次， 投中次的概率为，投中次的概率为， 所以乙得分不少于分的概率为， 因为两个阶段的比赛相互独立， 所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； （2）若甲参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 若乙参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 所以， 因为，所以，，所以， 所以应该由甲参加第一阶段比赛. 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 变式5．（24-25高二上·贵州遵义·月考）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且恰有一人击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若按甲、乙、丙的出场顺序对同一目标依次进行射击，想击中该目标的概率不低于，则三人合计至少需要射击多少次?（参考数据：，） 【答案】(1)乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； (2)； (3)9 【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件， 依题意，，所以， ，所以 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则，， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率为； （3）设甲、乙、丙三人共射击次，击中目标的概率为. ，即， ，，， 所以甲、乙、丙三人共射击9次时，击中该目标的概率不低于， 而共射击6次时，不中该目标的概率为，击中该目标的概率低于， 第7次甲射击，不中的概率为， 第8次乙射击，不中的概率为， 第9次丙射击，不中的概率为， 所以共射击9次，至少有一次击中目标的概率大于. 考点二 二项分布 例1．（25-26高三上·北京·月考）随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 . （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 例2．（25-26高三上·河南·期中）某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； （2）易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 例3．（25-26高三上·重庆·月考）某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4个问题中随机抽取3个问题作答，每答对一题得1分，已知这4个问题中，甲能正确回答其中的2个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲､乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)设甲得分为，求的分布列及期望； (2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）（1）的取值为1，2， ， ， 所以分布列为 1 2 期望. （2）乙得分为随机变量， 甲得1分乙得0分的概率为， 甲得2分乙得1分或0分的概率为 ， 所以比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 例4．（25-26高三上·贵州·月考）生命不息，运动不止！为贯彻“健康第一”的理念，全面提升全县人民身体素养，我县在本届秋季县运动会中特别增设了两项趣味集体项目，一项为“双人对战赛”，另一项为“四人赛”，现从参加“双人对战赛”的部分运动员中做问卷调查，其中的运动员计划只参加“双人对战赛”，另外的运动员计划既参加“双人对战赛”又参加“四人赛”．为了鼓励人们积极参与，县文旅局对参加比赛的运动员发放文旅纪念品．若运动员只参加“双人对战赛”则获得1份纪念品，若运动员既参加“双人对战赛”又参加“四人赛”，则获得2份纪念品．假设每位被抽取的运动员参加“双人对战赛”与是否参加“四人赛”的选择是相互独立的，用频率估计概率． (1)从参加“双人对战赛”的运动员中随机抽取3人，记这3人获得纪念品的总数为，求的概率； (2)记位参加“双人对战赛”运动员获得纪念品的个数恰为的概率为，求的前项和； (3)从参加“双人对战赛”的运动员中随机抽取30人，这些运动员得到的纪念品恰为个的概率为，求最大时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，每位运动员只参加“双人对战赛”的概率为，获得1份纪念品； 既参加“双人对战赛”又参加“四人赛”的概率为，获得2份纪念品； 表示3人中一人获得2份纪念品，另外两人获得1份纪念品， 则. （2）因为位参加“双人对战赛”运动员获得纪念品的个数恰为， 则只有1人既参加“双人对战赛”又参加“四人赛”， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以. （3）设只参加“双人对战赛”的人数为，则既参加“双人对战赛”又参加“四人赛”的人数为， 因此运动员得到纪念品总的个数，此时， 令，假设取得最大值， 则， 即 ，即， 整理得，又，则， 所以当取最大值时，. 变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布、特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似：当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，利用其与正态分布的联系求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过与①的计算结果比较，你发现了什么规律？ (3)若，当时，记的取值范围为集合，证明. 参考数据：若，则有，，；，，. 【答案】(1)0.136 (2)①0.2644；②,规律见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：因为当，且时，可近似地认为， 即，这里，， 所以， （2）①若， 则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是非常接近的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. （3）由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 所以，使得，即 所以 变式2．（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，基本事件有， 田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，即： 田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马， 田忌获胜的概率为； （2）由（1），每次田忌获胜概率为，所以三次比赛，田忌获胜次数服从， 所以田忌至少赢得两次比赛的概率 . 变式3．（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 变式4．（24-25高二下·北京延庆·期末）某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 1 4 10 3 2 女生人数 4 4 4 4 4 (1)在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）根据题中数据，成绩在80分及以上的学生共13人， 设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况： ①男生在女生在：；②男生在女生在：. 总的组合数：，所以： . （2）X的所有可能取值为0，1，2，3. 用频率估计概率，从该市参赛的男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为， 可估计为，可估计为， 可估计为，可估计为. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 可估计为. 或者因为，所以可估计为. （3）女生中80分及以上频率为 ， ， 因为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $