广西南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试数学试卷

南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试 数学参考答案 题序 1 3 6 7 8 10 11 答案 D D B B C AB AC ABD &.C【解析】如图，设C的右焦点为F1,连接FP,FM,F1Q 因为LOFP=∠OPF,所以OP-OF可，所以PF1PF,易得四边形FPF1Q是矩形，所以QF1LQF. 设1FQ=m(>0),则FM=2,PF1-FQ=m,根据双曲线的定义可得1QF=2a+m,MF1=2+2m. 在△MQF1中，MQ2+F1Q2=FM,即(3m2+(2叶m)2=(2+2m2.解得m=(20/3 则PF-QF=2+m=(80/3,PF=(2/3.在△PFF1中，FF=2V17,PF2+FP2=F2, 即ga号=6s解得3所以QM26 11.ABD【解析】当x>0时(w=(4x-7+2x2-7x+8)e*=(2x2-3x+1)e*=(2x一1)c-1)e, e-8 当E(0,1/2)时f)>0,当xE(1/2,1)时fe)<0,当xE(1,+o)时f(>0, 所以fw在(0,1/2)上单调递增，在(1/2,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 所以当x0时f)共有2个极值点.因为-x))=0,所以f)是R上的奇函数，则f)共有4个极值 点，B正确.因为1/2)=0，(2×0-7×0+8)e-5Ve-8-5√e<0,f1)=3e-5Ve<0,则1)>8-5Ve,作出f 图象，如图所示，fx)有5个零点，A正确.因为fx)是奇函数，所以f八-1)=1)=-3+5VE,C错误 由图可知1E(0,5VE一3e)时，方程)=(R)有且仅有4个实数根，D正确. 2号假号或2：1a35 9 3 45 14.16【解析】由sin(C一A)=2 sin Acos C,得sin Ccos A=3 sin Acos C.由A+B+C=元得sin(A+C=sin B,则sin Ccos A-+sin Acos C=sinB.所以3 sin Acos C+sin Acos C=sinB,即4 sin Acos C=sinB.则4acos C-=b,5a4 c absin Ca4 Cin-tsin2C.因为sin2CS1,所以a4c=sin2Cd=16, 当且仅当sin2C=1,即C=元/4时，△4BC的面积取得最大值，最大值为16. 15.(本题15分)已知数列{}的前n项和Sn=n2+p,(p为常数)且=8.(1)求{m}的通项公式； (2)设bn=2/a,数列{2+bnb+1}的前项和为Tm,证明：Tn<2n+1一7/4. 解：(1)解法一：由=8及Sn=n2+pn得1=S=1+p=8,则卫=7.…1分【备注】见“p=7给1分 故当n≥2时m=Sn-Sm-1=2n+6.3分(4分)【备注】见“=Sn一Sm1”给2分；见“2n+6”给1分. 又4=2×1+6=8，所以=2n+6.2分(6分) 【备注】见“1=2×1+6=8”、“m=2n+6”各给1分。若无验证n=1,扣1分。 解法二(1)由=8及Sn=2+pn得=S=1+p=8,则卫=7..1分【备注】见“p=7”给1分 +1=Sn+1一Sn=2n+8.3分(4分)【备注】见“+1=S+1一Sm”给2分；见“+1=2n+8”给1分 所以=2m+6.2分(6分)【备注】见“m=2n+6给2分。 【备注】列出前几项，缺少证明过程，其中见“p=7,2=10,=12”各给1分；见“=2叶6”给2分 (2证明：由()可得b,=2-1 1 a5 (3Xn 1分 【备注】至少见“b,= 1、“b.=(n+30n+ 1 、”之一给1分 n+3 则b.bn1= +3十42分0分【条注】裂项公式正确，6n=， 1 1 n+3n+4 ”，给2分. 所以1=Q125++2)-月G2+G写.2分 n+3n+4 【2++2月兮-名+中中3给1分 1-2 海至见202+中八g-列+2八4之输1分 4n+4 <217 1分13分)【备注】见“<21-7前面有过程才给1分 4 16.(本题15分)如图正三棱柱ABC-AB1C1的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E,F在棱AA1上， 且AF=AE=2.(1)证明：DE平面BC1F;(2)求直线CB与平面BC1F所成角的正切值. 解：(1)证明方法一：取BC1中点H,连接DH,FH.1分 【备注】见“取BC1中点H给1分 因为D为BC中点，所以DHCC,且CC1=2DH 因为AACC,EF=8-2-2=4,所以DHEE,DH=EF 所以四边形DHFE是平行四边形..1分 【备注】至少见“DHEE,DH=EF”、“DHFE是平行四边形”之一给1分 所以HFDE.2分(4分)【备注】见HFDE”给2分 因为DE为平面BCF外直线，HF为平面BCF内直线，所以DE平面BCF2分(6分) 【备注】见“DE为平面BCF外直线”、“HF为平面BCF内直线”之一才给2分，否则扣1分。 证明方法二：取CC中点H,连接DH,EH.1分【备注】见“取CC1中点H给1分 因为D为BC中点，所以DHBC1.所以DH平面BCF..…1分【备注】见“DH平面BC1F给1分 因为AACC1,EF=8-2一2=4，所以CHEE,C1H=EF所以CHEF是平行四边形，所以HEC1F. 所以HE胃平面BCF..… .1分【备注】见“HE平面BCF”给1分 因为HE与DH交于H,所以平面DHE围平面BCF.1分(4分) 因为DE为平面DHE内直线，所以DE平面BCF.2分(6分) 备注】见“DE为平面DHE内直线”才给2分，否则扣1分。 【备注】若只用两组相交直线平行证明面面平行，未见线面平行，统一扣2分。 【备注】证明方法三：（向量法）建系共2分（在第二问中，此2分不重复给），正确写出BC坐标给2分， 正确计算BC·n=0给2分，得到线面平行结论给2分。 【备注】见DE不含于平面BCF内才給2分，否则扣1分（第一问满分共8分，第二问满分7分） (2)取AB中点O,A1B1中点P,连接OP,OC. 因为三棱柱ABC-AB1C1是正三棱柱，所以A1A1平面ABC.易得OPA1A,OP1AB..…1分 【备注】见证明建系证明三线两两垂直过程，见“OPLAB”、“OPI平面ABC”之一可给1分。 【备注】若用左手系建系也同样给1分。 所以以0为坐标原点，OC,OB,OP所在直线分别xy,x为轴建立，如图所示.…1分 【备注】见建系正确（含图中标出空间直角坐标系）可给1分。 则C(4W3,0,0),C(4V3,0,8),B(0,4,0),F(0,-4,6) CB=(-4V3,4,0),FC=(4V3,4,2),FB=(0,8,-6)1分(9分) 【备注】至少正确写出一个点坐标即见“C(4V3,0,0),C(4V5,0,8),B(0,4,0),F(0,-4,6)” 之一给1分。 设平面BC1F的法向量为=（化Jy,), 由 =0,即45x+4y+2:=0取1=5.，3N5,4N5.2分1分 nFB=0 8y-6z=0 【备注】1.法向量正确即见“=(-5,3√3,4√3)”或其共线的向量，即可给2分： FC1=0, 2若法向量结果错误，但见形如“ ”形式，体现方法正确，可给1分。 1FB=0 设直线CB与平面BC1F所成的角为0， nCB 25 则sin0cos<n,CB>= 20W3+12V13 |n|x|CB|V25+27+48×√48+16+05 .2分 4 【各注】见正弦值E确6m日=25给2分，若正弦值错误但号出n0=c08<儿CB>或 5 cos <n,CB>=-CB] ”或“cos<,CB>= n-CB ”可给1分。 nxCB nx CB 所以cos6=3 sin0 2v39 …2分(15分) tan0= c0s013 .放CB与面BC,F所成角正切值为2V39 13 【备注】见2v39 且前面有一定过程（过程不一定正确给2分：若不见正确结果：2V3四 ”,但见 13 13 “c0s0= V13 ”或“tam日= 5 in日”可给1分。 cos 0 【备注】其它四种建系法的部分对应给分点如下：写出建系证明过程给1分，建系给1分，法向量给 2分.具体见下 (1B0,8,0,C(4V5,4,0),C(4V3,4,8,F0,0,0,BC=(4V5,-4,0), BC=(4v5,-4,8),BF=(0,-8,6),n=(5V3,-9,-12) 2)B(00,0,C(4V3,-4,0,C1(4V3,-4,8,F0,-8,O, BC=(4V3,-4,0),BC=(4W5,-4,8),BF=(0,-8,6,n=(5V5,-9,-12) (3)B(0,4V3,0),C(4,0,0),C1(4,0,8),F(-4,0,0,BC=(4,-4V3,0), BC=(4,-4V3,8),BF=(-4,-4W3,6,n=(-3,7,4V3) (④B(0,-4,0),C0,4,0),C1(0,4,8),F(45,0,, BC=(0,8,0),BC=(0,8,8),BF=(4V3,4,6,n=(N3,6,-6) 17.(本题15分)已知抛物线Cy2=2x(>0)的焦点为F,C的准线与x轴交于点H,HF=p2一卫. (1)求C的标准方程：(2)已知点A(7,0),0为坐标原点，直线1交C于Pc1wy),Q2y2)两点，且P,Q 在x轴的两侧.①)求4P的最小值；)若OP.OQ=140,证明：1过定点. 解：(1)根据抛物线的性质可得HF=卫=p2一卫.2分【备注】见“HF=p”给2分 解得卫=2或0（舍去）....1分(3分)【备注】见“p=2”给1分 所以C的标准方程为y2=4比.1分(4分) (2)①由题意得y12=41,(x1>0).1分 |AP卡√(x-7)2+=√X-14x+49+4x=Vx-5)2+242分 【备注】至少见AP=V(x-7)2+y2”、“AP=√(：-5)2+24”之一给2分 当1=5时，4P取得最小值，最小值为2√6.2分(9分)【备注】见“最小值为2√6”给2分. x=y+, 的证明方法一：设直线1的方程为x=y+,由 y2=4x 得y2-40-4m=0...1分 【备注】至少见“直线1的方程为x=y叶m”、 〔x=y+之一给1分. y2=4x 则△=16+16m>0,Jy1+y2=4t,Jy2=-4m<0,所以m>0.1分(11分) 【备注】至少见“y1ty2=4t”、“yy2=一4m”之一给1分。 所以x2=y12/4Xy224=(y12y2/16=m2.1分【备注】见“x1x3=m2”给1分 由OP.O2=140得xw2+y1y2=140即m2-4m=140..1分(13分)【备注】见“m2-4m=140"给1分. 解得m=一10舍去或m=14,所以直线1方程为=叶14.…1分【备注】见“x=+14给1分. 所以直线1过定点(14,0)1分(15分)【备注】见“定点(14,0)”给1分 证明方法二：直线斜率k存在时，设直线1方程为Jy=k+b 6 y=kx+b 由 y2=4x 得k2x2+(2b-4)x+b2=0......1分 【备注】至少见“直线1方程为y=kx+b”、 y=+b之一给1分. y2=4x 依题意得仙<0，则△=16(1一)>0，+x2=(4-2k)/k2,x2=b21k2.1分(11分) 【备注】至少见“x1+2=(4一2k)/k2”、“x2=b212”之一给1分。 所以y2)2=16x12=1624,Jyy2=4b/1wy2异号).1分【备注】见y2=4D/k”给1分 由OP.OQ=140得x2+yy2=140得212+4b/k=140,解得/k=-14..1分(13分) 【备注】至少见“bk=一14”、“=一14k”之一给1分. 所以y=ax+i=kx14),直线1过定点(14,0) 当直线1不存在斜率时，设其方程为x=血>0).1分 【备注】至少见“设其方程为=n”、“当直线1不存在斜率时”之一给1分. 将=n代入y2=4x得y=士2Vn.不妨令x=x=n,为=2Wn,y2=-2Vn 由OP.O9=140得x1w2+yy2=140即n=14. 综上直线1过定点(14,0)1分(15分) 《备注】见“综上直线1过定点(14,0)”给1分 18.(本题17分)已知函数1(x)=x3一6r2+9x一1.(1)求1h()在[0,4]上的最值；(2)设函数fy)=(x)+(3一0x. ①讨论fx)的单调性；)若a为)的一个极值点，且f)=f),地，证明：2+b为定值. 解：(1)h'()=3x2-12x+9=3c-1)c-3)...... 1分 当x≤1或x>3时h')>0,(x)单调递增；当1<r<3时h'(0,()单调递减..1分 【备注】至少见“当1或x3时h'x)>0,(x)单调递增”、“当1<3时h'(x)<0,x)单调递减” 之一给1分。 因为(0)=-1，(1)=3，h(3)=-1,(4=3.....2分(4分) 【备注】“(0)=一1，(1)=3，(3)=一1，(4)=3”：若只要写对一个值给1分；4个值全写对给2分. 若该小问用表格的形式书写，则表格需如下；（其中含单调性1分；写对四个函数值给2分，若没写 全四个函数值给1分) 0 (0,1) (1,3) 3 3,4) h'(☒) 0 0 + (x) 1 递增 3 递减 一1 递增 所以x)在[0,4上的最大值为3，最小值为一1..… .2分(6分) 【备注】见“最大值为3”、“最小值为一1”各给1分 (2)fy=x3-62+(12-0x-1,f′(x)=3x2-12x+12-=3(x-2)2-t 若0，则f'(w≥0，f在R上单调递增… 1分 【备注】见“fx)在R上单调递增”给1分。 若0，当x<2- 时)单调递增.1分 3 【备注】见当x<2-3 时fx)单调递增”给1分 当2-<x<2+E时了0侧单调溢减1分 3 3 【将注】见当2-<x<2+ 时f()<0,f单调递减”给1分 3 3 当x>2十3时，单调递增， ...1分(10分) 3 【备注】见当x>2+7 时，)单调递增”给1分 象上当国时在取上举活端当0时在(2-码上条渊蝶在Q2- 3 上单调递减在(2+V31 3,十0)上单调递增….1分(11分） 【备注】体现综合上述思想，即写出“综上”给1分：若该小问未得分，但对t进行分类讨论，给1分 的证明：根据题意可得(=0，即3（一2）2=t且0..1分 【备注】至少见f'(0=0”、“3(m一2)2=t之一给1分 由=0)，得心3-62+(12-0-1=b3-62+(12-0b-1.1分(13分) 心-3-6(2-b+(12-0(a一)=0，即(a-b[2+0+b2-6(叶b)+12-=0 【备注】至少见“m3-6a2+(12-0a-1=3-6b2+(12-0-1”、“心3-b3-6(a2-+(12-0(a-)= 0”、“(-b)[2++b2-6(a叶b)+12-=0”之一给1分. 所以(a-)[2+ab+b2-6(a叶b)+12-3(a-2)]=0,(a-)[2++b2-6(什b)-32+12叫=0 所以(a一)(a-b)(6-2L-b)=0.… .2分(15分) 【备注】见“(a一b)(a一b)(6-2一)=0给2分. 因为地，所以6一2一b=0即2叶b=6,故2叶b为定值2分(17分) 【备注】见“2叶=6*给2分. 19.(本题17分)(1)若函数f)=sin(ox一π/3)(o>0)图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求f). (2)在(1)的条件下，设函数ge)=t(c+1)一ln(4/x一1)，试判断并证明函数)=fw)+g()图象的对称性； (3)已知(2)中g(x)的导函数g'(9)有两个零点m,n且>m21. ①)求t的取值范围；i)当心1时，证明：g(m)十m1>t 解：(1)根据题意可得T2=6,解得T=12,所以2π/o=12.1分 9 【备注】至少见“T/2=6”、“T=12”、“2元/0=12”、“π0=6”、“2元0=T”之一给1分. 解得0=元/6.… .1分【备注】见“0=π6”给1分. ,π 所以fy=sin(仁x- )1分(3分) (2)解法一：(x)的图象有对称中心(2,3t),无对称轴.2分(5分) 【备注】见“对称中心(2,3t)”、“无对称轴”各给1分 证明如下：令4-1>0，解得0<x<4,根据对称性的性质可得定义域也具有对称性， 若(x)的图象具有对称性，则2是其对称轴或对称中心的横坐标. 风4-为=-s(x-3+6-刘+ln（-0……2分 【备注】见“2是其对称轴或对称中心的横坐标.”、“h(4一x)”各给1分. 所以h(x)+h(4-x)=6t.且h(x)≠h(4-x): 所以h(x)图象的对称中心为(2,3t),无对称轴.… ,2分(9分) 【备注】见“h(x)+h(4-x)=6t.”、“h(x)≠h(4-x).”各给1分. 解法二：h(x)的图象有对称中心(2,3t),无对称轴·.…2分(5分) 证明如下：令4-1>0，解得0<X<4,根据对称性的性质可得定义域也具有对称性， 若(x)的图象具有对称性，则2是其对称轴或对称中心的横坐标. 设函数4x)=-n(4-D,则u(4-)=t4-)-h(,4-)=4-k+1n41)2分 4-x 【备注】见“2是其对称轴或对称中心的横坐标.”、“(4-x)”各给1分. 所以(x)+u(4-x)=4t,u(x)≠(4-x),所以u(x)图象的对称中心为(2,2t),无对称轴.…1分 o南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试 数学 试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知向量a=(x.1),b=(7.x一8).若a⊥b,则x= A.8 B.-1 C.7 D.1 2.设5m=10,5”=20,则52m-m= A.10 C.25 D.5 3.若a∈(0，)，5c0sa=4,则1十1= sin a tan a A.3 1 B.3 c器 D.-3 4.设随机变量X~N(1,o2),P(X-1|≤1)=0.6，则P(X<0)= A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.0.4 5.某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、 民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向.学校安排6名教师负责这5个方 向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且 只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为 A.2400 B.1800 C.1500 D.2100 6已知sin(20+）=号，则co3(0+)= A号 B司 c司 n号 7.如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相 H 同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m的十字形地域.计划 在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2;在四个相同的D 矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/2；在四个空角 (图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位： M 元)，则当总造价S最小时，AD的长度为 A.2√10m B.√/10m C.10m D.10√2m 南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试（数学）第1页（共4页） 8已知点F(-7,0)是双曲线C:三-=1(@>0,6>0)的左焦点，过原点0的直线L与© 交于P,Q(Q在左支上且异于左顶点)两点，延长QF与C交于点M.若FM=2QF,且 ∠OFP=∠OPF,则IQM= A.12 B.8 C.6 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在几何体ABCDE中，BE=2,四边形ABCD是边长为2的正 方形，△ACE是等边三角形，点F,P,H分别为棱AD,DE,CE的中 D 点则 A.BE⊥平面ABCD B.平面FPH/平面ABE C.B,F,P,H四点共面 D.异面直线BD与AE所成的角小于60° 10.已知圆C:(x一1)2+(y一2)2=25，直线l:(21十1)x+(t十1)y一7t一4=0，则下列结论正 确的是 A.直线L过定点D(3,1) B.直线1被圆C截得的最短弦长是2√⑤ C.当点P(m,n)在圆C上时，m2+n2的取值范围是[30一10W5,30+10W5] D.设直线L与圆C的两个交点为A,B,则线段AB的中点M的轨迹为圆 11.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x>0时，f(x)=(2x2一7x+8)e一 5e,则 A.f(x)共有5个零点 B.f(x)共有4个极值点 C.f(-1)=3e-5e D.当|t|∈(0,5√e-一3e)时，方程f(x)=t(t∈R)有且仅有4个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤 江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力.某游客计划从这10个景点中随 机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是▲· 直线y=x-3经过椭圆C:2+。十1(a>1)的一个焦点，则C的 ▲ 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(C-A)=2 sin Acos C,且a=4,则 △ABC面积的最大值为▲· 南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试（数学）第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知数列{an)的前n项和Sn=n2十pn(p为常数)，且a1=8. (1)求(a.)的通项公式； (2)设0。=2，数列(2+b,b+1)的前n项和为T.,证明：T.<2+1一7 a. 41 16.(15分) 如图，正三棱柱ABC-A1B,C1的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E,F在棱AA1上，且 A)F=AE=2. (1)证明：DE/平面BC1F. (2)求直线CB与平面BC,F所成角的正切值. C 17.(15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C的准线与x轴交于点H,|HF|=p2-. (1)求C的标准方程. (2)已知点A(7,0),O为坐标原点，直线1交C于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点，且P,Q在 x轴的两侧 (i)求|AP|的最小值； (ⅱ)若02·00=140，证明：l过定点. 南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试（数学）第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数h(x)=x3一6x2十9x一1. (1)求h(x)在[0,4幻上的最值 (2)设函数f(x)=h(x)+(3一t)x. (ì)讨论f(x)的单调性； (i)若a为f(x)的一个极值点，且f(a)=f(b),a≠b,证明2a十b为定值 19.(17分) (1)若函数f(x)=sim(ax一)(o>0)图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求f(x). (2)在(1)的条件下，设函数g(x)=4(x+1)-ln(生-1)，试判断并证明函数n(x)=f(x) +g(x)图象的对称性. (3)已知(2)中g(x)的导函数g'(x)有两个零点m,n,且n>m≥1， (ì)求t的取值范围； (i)当a≥1时，证明：g(m)十an>t. 南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试（数学）第4页（共4页）