第04讲 二次根式60道计算题专项训练（寒假衔接课堂）2025-2026学年八年级下册数学寒假衔接讲义（人教版）

第04讲 二次根式60道计算题专项训练 题型一 二次根式的加减运算 题型二 二次根式的乘除运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 复合二次根式的化简 题型五 二次根式的化简求值 题型六 二次根式的规律探究计算 【经典计算题一 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： 3．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（25-26八年级上·上海·月考）已知、为整数，且满足，求的值． 8．（24-25八年级下·上海·假期作业）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 9．（25-26八年级上·河北保定·月考）下面是嘉嘉在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 　　　　　第二步 ．　　　　　　　　　第三步 (1)计算步骤中，第　　　　　　步开始出现错误． (2)请写出正确的计算过程． 10．（25-26八年级上·福建三明·月考）我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：______；______ (2)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【经典计算题二 二次根式的乘除运算】 11．（25-26八年级上·上海·月考）计算： 12．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： （1）             （2） （3）；           （4）； （5）． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 （1）； （2）×； （3）3×÷2； （4）； 18．（24-25八年级·上海·假期作业）计算． (1)； (2)． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25八年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 21．（25-26八年级上·北京顺义·月考）计算：． 22．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1)． (2)． 23．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（25-26八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程． 26．（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 27．（24-25九年级上·山西长治·期中）下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式    第一步      第二步 ．    第三步 (1)上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； (2)请写出正确的解答过程． 28．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 30．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)仿照上面的解题过程化简：______； (2)化简：_______； (3)利用上面所提供的方法，求的值． 【经典计算题四 复合二次根式的化简】 31．（24-25八年级下·云南曲靖·月考）化简：提示：由，得，将作类似的变形. 32．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 33．（24-25八年级上·江苏南通·月考）化简： （1）                   （2）（） （3）当时，求的值． 34．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若要化简我们可以如下做： ∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2， ∴； 仿照上例化简下列各式： (1)；(2). 35．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 36．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 37．（24-25八年级下·广东中山·期中）阅读下面材料，回答问题： （1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：＝＝＝﹣ 小李的化简如下：＝＝＝﹣ 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． （2）请你利用上面所学的方法化简：①；②. 38．（24-25八年级下·广西百色·期中）观察下列式子及其化简过程： = = = = = （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简； （2）针对上述各式反映的规律，请你直接写出=（m＞n）中a，b与m，n之间的关系． 39．（24-25八年级上·江苏南通·月考）因为，所以 因为，所以 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简： （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= ． 40．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 （n≥2） （2）利用上面所提供的解法，请化简： 【经典计算题五 二次根式的化简求值】 41．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 42．（25-26八年级上·山东青岛·月考）化简求值：（其中，） 43．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）计算 已知，求的值． 44．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 45．（24-25八年级下·河北沧州·期末）若b2﹣4ac≥0，计算： 46．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 47．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下面是小明同学对于题目“化简并求值：，其中 ”的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式＝……………第一步   …………………………第二步     ……………………第三步 把代入得，原式．……………第四步 任务一：填空：第 　步开始出现错误，错误原因是 ______________________； 任务二：请直接写出代数式正确的值　　． 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 49．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 50．（24-25八年级下·山东聊城·月考）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【经典计算题六 二次根式的规律探究计算】 51．（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， (1)根据你发现的规律猜想第个式子是多少 (2)当时，求它与前面所有的二次根式的积． 52．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空（可用计算器计算）： ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________． 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示发现的规律吗？ 53．（24-25八年级下·广东汕头·月考）观察下列各式：，，，… 请利用你所发现的规律计算：． 54．（24-25九年级上·四川内江·期末）某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究： （1）填空：；； （2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于 ； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行分析总结的规律，计算： 55．（24-25八年级下·甘肃平凉·月考）你能找到规律吗？ (1)计算：___________；___________；___________；___________； (2)由（1）的结果猜想：___________； (3)请按照找到的规律计算： ①； ② (4)已知：，则___________．（用含的式子表示） 56．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ······ 按上述规律，回答下列问题： （1）填空： ， ； （2）求的值； （3）知识运用，计算： 57．（24-25八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_________________________(为正整数)． (2)利用上面的规律，计算 (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 58．（24-25八年级下·山东德州·月考）观察下列各式： ①； ②； ③． (1)请根据以上规律，写出第4个式子： ________． (2)请根据以上规律，写出第n个式子__________； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 59．（24-25八年级下·云南昭通·月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 60．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）小美同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是她的探究过程，请你补充完整： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， （1）具体运算，仿照第3个等式，写出第5个等式：______． （2）观察、归纳，得出猜想，并验证猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． 验证猜想： （3）应用运算规律，化简： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次根式60道计算题专项训练 题型一 二次根式的加减运算 题型二 二次根式的乘除运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 复合二次根式的化简 题型五 二次根式的化简求值 题型六 二次根式的规律探究计算 【经典计算题一 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是将各项二次根式化为最简二次根式后再合并同类二次根式． 先把每一项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：． ． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据分母有理化以及二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的减法运算，无理数整数部分的有关计算，正确掌握相关性质是解题的关键．先根据的整数部分为a，的小数部分为b，得出，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的小数部分为b， ∴， 则． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要查了二次根式的加减混合运算．先根据二次根式的性质化简，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． （2）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． （3）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． （4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 7．（25-26八年级上·上海·月考）已知、为整数，且满足，求的值． 【答案】． 【分析】此题主要考查了实数运算．去括号，合并同类二次根式得到，由a、b为整数，计算得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， 而，a、b为整数， ∴， ∴，， ∴． 8．（24-25八年级下·上海·假期作业）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（25-26八年级上·河北保定·月考）下面是嘉嘉在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 　　　　　第二步 ．　　　　　　　　　第三步 (1)计算步骤中，第　　　　　　步开始出现错误． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】（）根据二次根式的性质判断即可； （）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的减法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：计算步骤中，第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解： ． 10．（25-26八年级上·福建三明·月考）我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：______；______ (2)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵ ∴ ． 【经典计算题二 二次根式的乘除运算】 11．（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算．先计算乘法，再算除法即可． 【详解】解：根据题意得：， 12．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 【答案】（1）①，；②，；（2）①；② 【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； ②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （2）利用得出的规律化简各式即可． 【详解】解：（1）①，， ②，， 故答案为：①，；②，； （2）①，② 故答案为：①；②． 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： （1）             （2） （3）；           （4）； （5）． 【答案】（1），（2），（3）；（4）；（5）． 【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3）；            （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 （1）； （2）×； （3）3×÷2； （4）； 【答案】（1）12；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可； （2）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可； （3）先化简二次根式，根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可； （4）根据二次根式除运算法则转化为乘法计算，再化简即可． 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= =； （3）原式= = =； （4）原式=， =． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 18．（24-25八年级·上海·假期作业）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除法法则是解题的关键．注意法则的准确运用以及符号的判定． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 20．（24-25八年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，再计算加法即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算二次根式的加减法即可; （4）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根式的加减法即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 21．（25-26八年级上·北京顺义·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先用二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的运算法则计算并化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 22．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法与乘方，再计算加减法即可得； （2）先计算二次根式的除法与乘法，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 23．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则，结合二次根式性质，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．（25-26八年级上·山东青岛·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可； （3）先根据二次根式的乘除法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （4）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程． 【答案】不正确．理由见解析 【分析】本题侧重考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决此题的关键． 先算括号内的，再算括号外的. 【详解】解：不正确． 理由：错用分配律，，这里应先算括号里面的，再算除法． 正确的解答过程：原式． 26．（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定， 如． (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键； （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据可得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，4； （2）解：由可得：， 解得：． 27．（24-25九年级上·山西长治·期中）下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式    第一步      第二步 ．    第三步 (1)上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)两 (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）由二次根式的乘法和二次根式的减法即可看出错误； （2）根据二次根式的乘法和二次根式的减法求解即可． 【详解】（1）解：，， 第一步中出现了两处错误； （2）解： ． 28．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 【答案】(1)③ (2)6 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则； （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：小明从第③步开始出错的； 故答案为：③； （2）解：原式， ， ， ， ． 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确的解答见解析 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 除法没有分配律，所以小明的解法错误；把分母有理化，再把括号内合并同类二次根式，然后根据除法法则运算． 【详解】解：他的解法不正确，正确解答过程为： 原式 ． 30．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)仿照上面的解题过程化简：______； (2)化简：_______； (3)利用上面所提供的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】本题考查分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （2）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （3）先依据规律，可将原式变形为，再合并同类二次根式，最后利用平方差公式求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 【经典计算题四 复合二次根式的化简】 31．（24-25八年级下·云南曲靖·月考）化简：提示：由，得，将作类似的变形. 【答案】2 【分析】先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可． 【详解】解： =3-1 =2． 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的加减的应用，能正确把每一部分分母有理化是解此题的关键． 32．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 33．（24-25八年级上·江苏南通·月考）化简： （1）                   （2）（） （3）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把2和5看作和，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号即可． （2）根据x的范围，得出，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号，合并同类项即可． （3）首先把a的值化简，再把化简，然后把a的值代入计算即可． 【详解】（1）． （2）∵， ∴， ∴，， ∴ ． （3）∵ ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及化简求值，关键是开放数的结果为非负数，即，当为非负数时等于它本身，当为负数时，等于它的相反数． 34．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若要化简我们可以如下做： ∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2， ∴； 仿照上例化简下列各式： (1)；(2). 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据即可得出结论; （2）根据 即可得出结论; 【详解】解：(1) ； (2) . 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,根据题意把被开方数化为完全平方式的形式是解答此题的关键. 35．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 36．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 37．（24-25八年级下·广东中山·期中）阅读下面材料，回答问题： （1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：＝＝＝﹣ 小李的化简如下：＝＝＝﹣ 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． （2）请你利用上面所学的方法化简：①；②. 【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误，理由见解析；（2）+1， 【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案； （2）①直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案；②直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案． 【详解】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误； 因为； （2）①； ②原式＝． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键． 38．（24-25八年级下·广西百色·期中）观察下列式子及其化简过程： = = = = = （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简； （2）针对上述各式反映的规律，请你直接写出=（m＞n）中a，b与m，n之间的关系． 【答案】（1）；（2）a，b与m，n之间的关系为：，． 【分析】（1）根据完全平方公式和二次根式的性质计算即可； （2）根据变形过程即可得出结论． 【详解】解：（1）依题意得：= = = （2）针对上述反映的规律，可得=（m>n）中a，b与m，n之间的关系为： ． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解决此题的关键． 39．（24-25八年级上·江苏南通·月考）因为，所以 因为，所以 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简： （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= ． 【答案】（1）﹣；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由被开方数中5分为(3+2)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果； （2）被开方数变形为：，中的4分为(3+1)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果； （3）由被开方数中7分为(4+3)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果； （4）由被开方数中13分为(7+6)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， 而， ∴ ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式． 40．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 （n≥2） （2）利用上面所提供的解法，请化简： 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据已知的等式即可发现规律进行求解； （2）根据所得的规律即可进行化简求解． 【详解】（1）∵ ∴=（n≥2） 故答案为； （2） =++++…++1 =+1 =. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律进行求解． 【经典计算题五 二次根式的化简求值】 41．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 42．（25-26八年级上·山东青岛·月考）化简求值：（其中，） 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 43．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）计算 已知，求的值． 【答案】24 【分析】本题考查了求代数式的值，有理化分母，有理化分母化简x、y的值，再把原式化成，最后代值计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 44．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 45．（24-25八年级下·河北沧州·期末）若b2﹣4ac≥0，计算： 【答案】 【分析】利用平方差公式化简，然后去括号合并后约分即可； 【详解】解：原式= = = =； 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键. 46．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 47．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下面是小明同学对于题目“化简并求值：，其中 ”的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式＝……………第一步   …………………………第二步     ……………………第三步 把代入得，原式．……………第四步 任务一：填空：第 　步开始出现错误，错误原因是 ______________________； 任务二：请直接写出代数式正确的值　　． 【答案】二；算术平方根必须是非负数；4 【分析】根据算术平方根必须是非负数可得出从第二步开始出现错误，再根据这个化简求值．即可得． 【详解】任务一：第二步开始出错，错误的原因是算术平方根必须是非负数， 任务二：原式＝ ， 当时，原式， 故答案为：二，算术平方根必须是非负数，4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 【答案】小明的解法不对．见解析 【分析】根据二次根式的性质，再判断的值的正负性即可. 【详解】解：小明的解法不对．改正如下： ， ， 原式. 把代入，得原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是判断正误的关键. 49．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 50．（24-25八年级下·山东聊城·月考）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 【经典计算题六 二次根式的规律探究计算】 51．（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，， (1)根据你发现的规律猜想第个式子是多少 (2)当时，求它与前面所有的二次根式的积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的实数的规律探究，二次根式的乘法运算，掌握规律探究的方法以及二次根式的乘法运算法则是解本题的关键； （1）先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：，，，， 第个式子是； （2）当时，，它与前面所有的二次根式的积为： ． 52．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空（可用计算器计算）： ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________； ___________，___________． 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示发现的规律吗？ 【答案】6；6；4.47；4.47；；；1.22；1.22；左两边等式的计算结果相等；； 【分析】根据二次根式的性质或用计算器进行计算，得出根式乘法和除法运算法则即可． 【详解】解：，； ，； ，； ，； 比较左右两边的等式，可以发现左两边等式的计算结果相等； 用字母表示发现的规律为：； ． 故答案为：6；6；4.47；4.47；；；1.22；1.22；左两边等式的计算结果相等；；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，解题的关键是准确计算找出运算规律． 53．（24-25八年级下·广东汕头·月考）观察下列各式：，，，… 请利用你所发现的规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查与实数运算有关的规律题、二次根式的加减运算，能发现等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．根据前几个等式发现的变化规律进行求解即可． 【详解】解：∵ … ∴， ∴ =++ ） ． 54．（24-25九年级上·四川内江·期末）某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究： （1）填空：；； （2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于 ； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行分析总结的规律，计算： 【答案】（1）3，5；（2）；（3）. 【分析】（1）依据被开方数即可计算得到结果； （2）观察计算结果不一定等于a，应根据a的值来确定答案； （3）原式利用得出规律计算即可得到结果． 【详解】（1），； 故答案为：3，5． （2）＝|a|， 故答案为：|a|； （3）∵a＜b， ∴a−b＜0， ∴=|a-b|＝b−a． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键． 55．（24-25八年级下·甘肃平凉·月考）你能找到规律吗？ (1)计算：___________；___________；___________；___________； (2)由（1）的结果猜想：___________； (3)请按照找到的规律计算： ①； ② (4)已知：，则___________．（用含的式子表示） 【答案】(1)；；； (2) (3)①；②2 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）由（1）的规律得出(，)； （3）根据（2）的结论即可求解； （4）利用（2）的结论的逆运算即可求解． 【详解】（1）解：；； ；； 故答案为：；；；； （2）由（1）得：；； 猜想： 故答案为：； （3）解；①；   ②； （4）解：∵，， ∴； 故答案为：． 56．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ······ 按上述规律，回答下列问题： （1）填空： ， ； （2）求的值； （3）知识运用，计算： 【答案】(1)；(2)；（3）． 【分析】（1）原式仿照阅读材料中的方法：结果与分母只差一个符号，根据此规律求出值即可； （2）分别将每一项的结果依次代入，化简即可； （3）将分一项分母中的根号化去，再相加． 【详解】解：（1） 故答案为：， （2） （3） ＝ 【点睛】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键． 57．（24-25八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_________________________(为正整数)． (2)利用上面的规律，计算 (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，即可写出第个等式； （2）根据规律将各项分母有理化即可求解； （3）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） （3）) 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握平方差公式是解题的关键． 58．（24-25八年级下·山东德州·月考）观察下列各式： ①； ②； ③． (1)请根据以上规律，写出第4个式子： ________． (2)请根据以上规律，写出第n个式子__________； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1) (2)（的整数） (3) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化的应用，发现计算规律，掌握分母有理化和合并同类二次根式是解题的关键． （1）利用题中等式的规律求解； （2）利用题中等式的规律求解； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：第4个式子为： ． 故答案为：． （2）解：第个式子为：的整数， 故答案为：的整数； （3）解： ． 59．（24-25八年级下·云南昭通·月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3)102 【分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知，从1开始连续n个奇数的和等于n的平方， 又∵ ∴． 故答案为：n． （3）原式 60．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）小美同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是她的探究过程，请你补充完整： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， （1）具体运算，仿照第3个等式，写出第5个等式：______． （2）观察、归纳，得出猜想，并验证猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． 验证猜想： （3）应用运算规律，化简： 【答案】（1）（2）为正整数），见解析（3） 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）仿照第3个等式，写出第5个等式：； 故答案为：； （2）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：为正整数）， 证明：等式左边右边， 故猜想成立； （3） ． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 学科网（北京）股份有限公司 $