19.2.2 二次根式的除法-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2 课时 二次根式的除法人教版八年级数学下册 19.2.2 二次根式的除法 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：理解二次根式除法法则的推导过程，掌握法则√a÷√b = √(a÷b)（a≥0，b>0），能熟练运用法则进行二次根式的除法运算和化简，掌握分母有理化的基本方法。 2. 3. 过程与方法：通过类比二次根式乘法法则的探究过程，采用观察、归纳、验证的方法，培养学生的类比推理能力和逻辑思维能力，提升学生规范运算的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：让学生在类比探究中感受数学知识的连贯性，体会转化的数学思想，培养严谨的解题习惯和主动探究的学习意识，增强学习数学的兴趣。 6. 二、教学重难点 重点：二次根式除法法则的推导及正向、逆向应用，掌握分母有理化的基本方法。 难点：灵活运用法则进行二次根式的化简，理解分母有理化的原理，避免忽略法则成立的条件（a≥0，b>0）。 三、教学准备 教师：多媒体课件、例题板书；学生：复习二次根式的概念、性质及乘法法则，预习本节课内容。 四、教学过程 （一）复习导入（5分钟） 1. 提问学生：二次根式的乘法法则是什么？法则成立的条件是什么？引导学生回顾√a·√b = √(ab)（a≥0，b≥0），为类比探究除法法则铺垫。 2. 类比导入：类比整式、分式的乘除运算关系，二次根式有乘法法则，也必然有对应的除法法则。今天我们就类比二次根式的乘法，探究二次根式的除法运算。 （二）探究新知（15分钟） 1. 探究规律：课件出示三组计算题，让学生独立计算，观察结果并总结规律。 （1）√16÷√4 = ______，√(16÷4) = ______；（2）√36÷√9 = ______，√(36÷9) = ______；（3）√24÷√6 = ______，√(24÷6) = ______。 2. 归纳法则：学生交流讨论后，教师引导归纳：两个二次根式相除，先将被开方数相除，再对所得的商取算术平方根，即√a÷√b = √(a÷b)（a≥0，b>0），重点强调b>0的原因——分母不能为0，二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此b必须大于0。 3. 法则逆用与分母有理化：引导学生将法则反过来，得到√(a÷b) = √a÷√b（a≥0，b>0），说明其用途是化简二次根式；补充分母有理化概念，即把分母中的根号去掉，举例说明简单的分母有理化方法（如1/√2 = √2/2）。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（除法运算）：计算（1）√18÷√2；（2）3√27÷√3；（3）√(48)÷2√3。讲解时强调：系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，结果化为最简，注意符号规范。 例2（化简与分母有理化）：化简（1）√(1/3)；（2）√(5/12)；（3）2/√6。引导学生灵活运用逆用法则，掌握分母有理化的基本步骤，确保化简结果分母不含根号。 教师板书规范解题步骤，提醒学生注意法则成立的条件、分母有理化的规范操作，培养严谨的解题习惯。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（计算）：√20÷√5、√72÷√8；提高题（化简与有理化）：√(1/5)、3/√12（x≥0，y≥0）。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对分母有理化的易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课学习了二次根式的除法法则及逆用，明确了法则成立的条件（a≥0，b>0），掌握了二次根式除法运算、化简及分母有理化的方法。师生共同梳理重点、易错点，加深记忆。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固法则应用和分母有理化方法；拓展作业：思考二次根式乘除法的联系与区别，尝试总结二次根式乘除混合运算的方法。 五、板书设计 19.2.2 二次根式的除法 1. 法则：√a÷√b = √(a÷b)（a≥0，b>0） 2. 逆用：√(a÷b) = √a÷√b（a≥0，b>0）（化简） 3. 分母有理化：去掉分母中的根号（如1/√2 = √2/2） 例1：计算 例2：化简与有理化 （解题步骤） （解题步骤） 六、教学反思 本节课通过类比二次根式乘法法则探究除法法则，符合学生的认知规律，基本达成教学目标，但部分学生对分母有理化的方法掌握不够熟练，易忽略法则中b>0的条件。后续需增加分母有理化的变式训练，细化步骤讲解，优化练习梯度，帮助学生强化法则本质理解和规范运算能力。 教学设计 教学目标 课题 19.2 第2课时二次根式的除法 授课人 素养目标 1.理解并掌握二次根式的除法法则 会用类比的数学思想方法来探究除法法则. 2.理解并掌握商的算术平方根的性质： 体会二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的互逆关系. 3.利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行计算和化简，培养学生良好的运算习惯，提高运算能力和推理能力. 教学重点 会利用商的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的除法运算. 教学难点 二次根式的除法与商的算术平方根的性质的关系及应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越 远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广.那么 广播电视塔高h(单位：km)与广播电视节目信号的传播半 径r(单位：km)之间存在近似关系 其中R 是地 球半径,R≈6400km.如果两个广播电视塔的高分别是h₁km,h₂km,那么它们的传播半径之比是 你能将这个式子化简吗? 化简这个式子需要学习二次根式的除法，下面我们一起来看看. 【教学建议】 让学生拓展知 识，共同讨论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性. 设计意图 利用实际问题引入新课. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 二次根式的除法法则 1.计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律? 答：规律：(1)被开方数都是正数；(2)左边的两个二次根式的商等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的商等于右边的一个二次根式的被开方数. 2.你能用字母表示你发现的规律吗? 答：二次根式的除法法则： 即二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 3.(教材P8例4)计算: 【教学建议】 (1)学生口答问题 1的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整. (2)学生讨论问题 2，教师板书总结，提醒学生这里b>0，因为b=0时分母为0，没有意义. (3)指定学生代表 回答问题3，提醒学生计算二次根式的除法应注意：①结果中应不含能开得尽方的因数 设计意图 引导学生观察总结出二次根式的除法法则. 10 名师教学设计 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 解： 【对应训练】 1.教材 P9练习第1 题. 2.计算: 解 或因式；②如果有系数，就将系数与系数相除，二次根式与二次根式相除，两者的积作为商. 设计意图 探究点2 商的算术平方根的性质 1.把 反过来，可以得到什么? 答：商的算术平方根的性质： 利用它可以进行二次根式的化简. 2.(教材P8例5)化简: 解： 【对应训练】 教材P9练习第2题. 【教学建议】 指定学生代表回 答，提醒学生：(1)化简和计算的结果中应不含能开得尽方的因数或因式，分母中也应不含根号； (2)可先将分子 与分母中公共的因数或因式约去，再转化为二次根式的商的形式进行化简； (3)根号下是带 分数的应先化为假分数再化简. 引导学生逆向思考，发现商的算术平方根的性质. 活动三：重点突破，提升探究 例1 解答教材 P9例6. 例2 计算： (1)÷3 , 解： =1; 【对应训练】 1.教材 P9练习第 3题. 2.计算: 解： 【教学建议】 (1)指定学生代 表回答，提醒学生在进行二次根式的乘除混合运算时要遵循从左到右的顺序，可先观察式子特点再决定计算之前是否化简. (2)如果有带分 数，就先将带分数化为假分数，再进行计算. 设计意图 巩固学生对二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质的理解. 八年级数学下册 11 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 二次根式的除法法则是什么?其逆向公式怎么表示?在二次根式的运算中，你认为应该注意哪些问题? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P11~12习题19.2第2,3,7,10,11题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 19.2二次根式的乘法与除法 第 2课时 二次根式的除法 1.二次根式的除法法则 2.商的算术平方根的性质 教学反思 活动二中的两个探究点的学习应注意引导学生用与乘法相类似的方法去学习，在运算化简过程中，灵活运用积与商的算术平方根的性质，注意最终结果中分母不能含有根式，以规范做题. 在教学中感受到学生对分母有理化的运用不够灵活，应在今后的复习中强化巩固. 备课素材解题大招 解题大招一 商的算术平方根的性质 的应用 例1 若 且x+y=5,则x 的取值范围是(D) 解析：因为 所以y+2≥0,2x-1>0, 所以 因为x+y=5,所以y=5-x,则5-x≥-2,解得x≤7. 故x的取值范围是 故选 D. 解题大招二&培优计划 解题大招和培优计划可扫描下面二维码下载获取. 学科网（北京）股份有限公司 $