第01讲 二次根式及其性质（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第01讲 二次根式及其性质（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式中的参数 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 复合二次根式的化简 题型七 根据含隐条件化简二次根式 题型八 二次根式非负性综合问题 知识点一：二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、当时，它不是二次根式，故本选项不符合题意， B、一定是二次根式，故此选项符合题意； C、当时，该式子不是二次根式，故本选项不符合题意； D、，该式子无意义，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数；逐一分析各选项中被开方数的符号即可判断. 【详解】解：选项A：，被开方数为2，显然大于0，属于二次根式； 选项B：，无论取何值，，因此，属于二次根式； 选项C：，被开方数为正数，属于二次根式； 选项D：，由于，故，被开方数为负数，不符合二次根式的条件， 综上，不属于二次根式的是选项D， 故选：D 知识点二：二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 2．（2025·江苏连云港·二模）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（2025九年级上·湖南郴州·模拟预测）设实数，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，不等式的性质，整式的加减等知识，先根据判断出，，，，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识是二次根式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【核心考点一 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 【例3】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【例4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【核心考点二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·月考）估计的值应在（   ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【分析】利用算术平方根的定义，估算出的范围，然后减去3即可得到答案. 【详解】解：∵，即， ∴， ∴的值应在1和2之间； 故选择：C. 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算无理数的方法是解本题的关键． 【例2】（2025·河北·模拟预测）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 【例3】（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 【例4】（24-25八年级·全国·单元测试）当 时，二次根式的值最小. 【答案】 【分析】根据非负数的性质解答即可. 【详解】∵(x+1)2≥0， ∴(x+1)2+3≥3， ∴≥， ∴当x=-1时，二次根式的值最小. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了非负数的性质，熟练掌握(x+1)2≥0是解答本题的关键. 【核心考点三 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级上·上海·月考）当时，下列二次根式没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义即被开方数为非负数，当被开方数为负数时无意义，由此判断即可． 【详解】解：A、当时，，二次根式没有意义，故此选项符合题意； B、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； C、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·河南周口·月考）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的概念，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，由此求解即可． 【详解】解：有意义， ， ． 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，确定x的值，再代入方程求出y的值，最后计算． 【详解】解：， ∴且， ∴， ∴， ∴． ∴； 故答案为：2 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式的被开方数是非负数，则． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即． 解不等式：， 两边同时除以4，得． 故答案为：． 【核心考点四 求二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值． 【详解】解：∵， 若是整数， 则也是整数， ∴n的最小正整数值是3， 故选：B． 【点睛】考查了二次根式定义，解题的关键是能够正确的对进行开方化简． 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知，则的值是 ． 【答案】0 【分析】根据二次根式的非负性可以得到,分别求出即可求解； 【详解】由题意可得： 解得： 故答案是:   【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，比较简单，保持计算的准确率是求解本题的关键. 【核心考点五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期中）若，，下列选项错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵，∴，故A正确，不符合题意； ∵，，∴，故B错误，符合题意； ∵，，∴，故C正确，不符合题意； ∵，，∴，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，，则（   ）． A．0.2493 B．0.02493 C．0.7882 D．0.07882 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．先根据二次根式的性质化简可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·四川成都·月考） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简二次根式． 根据二次根式的性质，，然后计算绝对值即可． 【详解】解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·海南儋州·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质，判断的符号后求绝对值即可 【详解】解： ． 故答案为：． 【核心考点六 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·月考）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·广东佛山·月考）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【核心考点七 根据含隐条件化简二次根式】 【例1】（25-26九年级上·山西晋城·月考）若，，则用含x，y的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）化简：________． A．3 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意得，，则，据此即可化简二次根式． 【详解】解：由题意得，，则， ， 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和二次根式的性质，分别化简各项后计算． 【详解】解：， ，， 原式 ， 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·广东深圳·月考）已知，化简： ． 【答案】6 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简，求解即可，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 【核心考点八 二次根式非负性综合问题】 【例1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·上海·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即① ；② ； （2） （3） 【答案】 a（a≥0） 【详解】解：（1）的双重非负性：即①；②； （2）； （3）； 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟记二次根式的性质进行判断． 【变式训练1 二次根式的识别】 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 2．（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级下·河南·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质．根据二次根式和绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入原式计算． 【详解】解：∵， ∴要使，则， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2 求二次根式的值】 1．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·月考）当＝－2时，则二次根式的值为 ． 【答案】1 【详解】试题分析：把x=-2代入可得=. 故答案为1 3．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 4．（25-26八年级上·山西晋中·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 【变式训练3 二次根式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如果，那么的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式求出的值，代入已知式子求出的值，计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，可知且 解得：， 再代入原式得： ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)x取任意实数 (3)且 【分析】本题考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键； （1）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （2）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （3）由二次根式中被开方数是非负数，结合分母不能为0，列出不等式解答即可求得对应的取值范围． 【详解】（1）有意义 ， 解得：， 当时，在实数范围内有意义． （2）有意义， 无论x为何值，则， 当x取任意实数时，在实数范围内有意义． （3）有意义， ，且， 解得：且， 当且时，在实数范围内有意义． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【变式训练4 求二次根式中的参数】 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果． 【详解】解：当等于最小的正偶数2时， n取最大值,则n＝8， 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“是正偶数”的含义． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）若两个最简二次根式与能够合并，则 ． 【答案】10 【分析】根据两个二次根式可以合并可知被开方数相同，从而得到方程求解即可． 【详解】∵与能够合并， ∴n=2，， ∴． ∴ 故答案为：10． 【点睛】本题考查了同类二次根式，明确同类二次根式的概念是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 4．（24-25八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 【答案】正整数m的所有可取的值为1和8． 【分析】本题考查了方程的整数解问题．令从而使得用y表示m的代数式不含根式，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，必为整数， 设，则， 则． ∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除， ∴y的值为1，2，5，10， ∴对应的m的值为8，1，，． ∵m为正整数， ∴m的值为1，8， ∴正整数m的所有可取的值为1和8． 【变式训练5 利用二次根式的性质化简】 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，，…，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论． 仔细观察所给的式子，发现对于正整数，有，然后依据规律得到答案即可． 【详解】解：已知，，，…， 可知规律为， 当时，， 则． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：   第一步   第二步   第三步 … 小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程． 【答案】一；过程见解析 【分析】先确定的符号，再利用二次根式的性质结合的关系得出它们的符号，进而化简求出答案． 【详解】解：小刚同学未讨论的符号直接进行化简， ∴第一步是错误的 故答案为：一． 正确过程如下： ，， 可得，， ． 把，代入， 得， 的值为3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键； （1）把代入计算即可； （2）对二次根式进行变形再根据m、n的取值要求求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：，满足等式， 又∵m，n为正整数， ∴为正整数 ∴为完全平方数 由于， 则 又∵为奇数 最小值为9， 此时最小，值为4． 【变式训练6 复合二次根式的化简】 1．（2025九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 2．（24-25八年级上·四川·月考）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 【答案】 【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）原式， ， ， ∵， ∴， 原式， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海·月考）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·湖北黄冈·月考）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【变式训练7 根据含隐条件化简二次根式】 1．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【详解】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西南昌·期中）式子化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 4．（24-25八年级下·吉林松原·月考）某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以______________，_____________，则可能得到化简．请将横线上缺少的数字写出来； 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式． 【答案】（1），1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，1； （2）， ． 【变式训练8 二次根式非负性综合问题】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则________； (2)已知实数满足，求的值； (3)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)5 (3)11或 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得的值； （2）利用二次根式有意义的条件和绝对值的非负性，求出m，n的值，即可得出的值． （3）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得的值； 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： （2）∵，，， ∴，， 解得，， ∴； （3）∵，，， ∴，， ∴． ∴，． 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解二次根式的非负性，在中考中经常出现． 2．（24-25八年级下·河南安阳·月考）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小智的答案正确，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的双重非负性，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键． （1）根据二次根式的双重非负性得到即可得到答案； （2）根据题意得到，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故m的取值范围为：； （2）解：小智的答案正确， 理由如下：， ， ， 原式可变形为：， ， ， ， 的值为2026， 小智的答案正确． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知. (1)计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． (2)猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． (3)请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】(1)；；， (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把的值分别代入计算即可求解； （2）根据（1）所得结果即可判断求解； （3）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证． 【详解】（1）解：当时，，； 当时， ，； 当时， 故答案为：；；，； （2）猜想：无论为任何非负实数，始终成立， 故答案为：． （3）因为， 所以 ，， 因为 ，， 所以 ， 因为 ， 所以， 所以， 即． 4．（24-25八年级上·河南郑州·月考）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ； ； ； ． 探究：对于任意非负有理数， ． ； ； ； ． 探究：对于任意负有理数， ． 综上，对于任意有理数， ． (2)应用（）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：．    【答案】(1)；；；；；；；；；； (2)． 【分析】（）分别计算各式的值，并归纳出探究结果； 分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出， ； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果； 此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． 【详解】（1），，，，， 故答案为：；；；；； ，，，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，， 故答案为：；；；；；； （2）观察数轴可知： ，，， 原式 ． 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南新乡·月考）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，根据题中的二次根式的运算，有理数的乘方逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、当时，，， 不成立，不符合题意； 、当时，，， 成立，符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、当时，，，成立，当时，无意义，不符合题意； 故选：． 4．（2025八年级·全国·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 5．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 化简二次根式为绝对值后再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意可得： 原式 ， 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海·月考）化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简， 根据化简即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 8．（24-25八年级·全国·单元测试）已知是整数，则自然数的值是 ；若是整数，则正整数的最小值是 . 【答案】 2、9、14、17、18 2 【分析】先根据二次根式的定义求出x的取值范围，再根据和的值是整数这一条件对x的值进行讨论即可； 【详解】解：由题意得：18-x≥0，解得，x≤18， 当x=0时，原式=，不合题意； 当x=1时，原式=，不合题意； 当x=2时，原式=，符合题意； 当x=3时，原式=，不合题意； 当x=4时，原式=，不合题意； 当x=5时，原式=，不合题意； 当x=6时，原式=，不合题意； 当x=7时，原式=，不合题意； 当x=8时，原式=，不合题意； 当x=9时，原式=，符合题意； 当x=10时，原式=，不合题意； 当x=11时，原式=，不合题意； 当x=12时，原式=，不合题意； 当x=13时，原式=，不合题意； 当x=14时，原式=，符合题意； 当x=15时，原式=，不合题意； 当x=16时，原式=,不合题意 当x=17时，原式=1；符合题意 当x=18时，原式=0，符合题意 综上所述，x=2、9、14、17或18． 故答案为：2、9、14、17或18． ∵是整数，且为正整数 ∴当n=1时，原式=，不合题意； 当n=2时，原式=，符合题意 ∴若是整数，则正整数的最小值是2 故答案为：2. 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义： 概念：式子（a≥0）叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 9．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2025·山东枣庄·模拟预测）观察下列各式：， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】 ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知为有理数，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件—被开方数大于等于，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的值，再把代入原式即可解答． 【详解】解：， ， 原式． 12．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）已知实数x、y满足x2﹣12x++36＝0，求的值． 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质和非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵x2﹣12x++36＝0，∴x2﹣12x+36+＝0，∴（x﹣6）2+＝0， ∴x﹣6＝0，y+4＝0，解得：x＝6，y＝﹣4， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和非负数的性质以及二次根式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 13．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 【答案】刘敏说得不对，结果不一样． 【分析】将两个式子分别计算比较最后结果是否相同即可； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：按照解题， 则，且， 即，或，， 解得或． 按照解题， 则，， 解得． 故刘敏说得不对，结果不一样． 15．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）观察下列等式，解答下列问题． 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… (1)____________（填写运算结果）； (2)写出第n个等式：____________（用含n的代数式表示）； (3)是满足上述规律的代数式，若（a，b均为正整数），则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】本题考查了数字的变化规律，算术平方根，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． （1）模仿题干中的等式写出第5个等式即可得出答案； （2）根据各式计算得到结果，得出的规律写出即可； （3）根据（2）得出的规律，可求出a的值，a、b之间的关系，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵是满足上述规律的代数式，（a，b均为正整数）， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：21． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式及其性质（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式中的参数 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 复合二次根式的化简 题型七 根据含隐条件化简二次根式 题型八 二次根式非负性综合问题 知识点一：二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 知识点二：二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·二模）使有意义的x的取值范围是 ． 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（2025九年级上·湖南郴州·模拟预测）设实数，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）若，则 ． 【核心考点一 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数     【例3】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【核心考点二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·月考）估计的值应在（   ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【例2】（2025·河北·模拟预测）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【例4】（24-25八年级·全国·单元测试）当 时，二次根式的值最小. 【核心考点三 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级上·上海·月考）当时，下列二次根式没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河南周口·月考）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的值为 ． 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【核心考点四 求二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【例4】（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知，则的值是 ． 【核心考点五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期中）若，，下列选项错误的是（） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海虹口·月考）已知，，则（   ）． A．0.2493 B．0.02493 C．0.7882 D．0.07882 【例3】（24-25八年级上·四川成都·月考） ． 【例4】（25-26九年级上·海南儋州·期末）化简： ． 【核心考点六 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·月考）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【例4】（24-25八年级上·广东佛山·月考）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【核心考点七 根据含隐条件化简二次根式】 【例1】（25-26九年级上·山西晋城·月考）若，，则用含x，y的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）化简：________． A．3 B． C． D．7 【例3】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）化简： ． 【例4】（25-26九年级上·广东深圳·月考）已知，化简： ． 【核心考点八 二次根式非负性综合问题】 【例1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海·月考）化简： ． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即① ；② ； （2） （3） 【变式训练1 二次根式的识别】 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 4．（24-25八年级下·河南·期中）已知，则 ． 【变式训练2 求二次根式的值】 1．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·月考）当＝－2时，则二次根式的值为 ． 3．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 4．（25-26八年级上·山西晋中·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【变式训练3 二次根式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如果，那么的值是 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【变式训练4 求二次根式中的参数】 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）若两个最简二次根式与能够合并，则 ． 3．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 4．（24-25八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 【变式训练5 利用二次根式的性质化简】 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，，…，则 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：   第一步   第二步   第三步 … 小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 【变式训练6 复合二次根式的化简】 1．（2025九年级·全国·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川·月考）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 3．（24-25八年级上·上海·月考）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 4．（24-25九年级上·湖北黄冈·月考）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【变式训练7 根据含隐条件化简二次根式】 1．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西南昌·期中）式子化简的结果为 ． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 4．（24-25八年级下·吉林松原·月考）某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以______________，_____________，则可能得到化简．请将横线上缺少的数字写出来； 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式． 【变式训练8 二次根式非负性综合问题】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则________； (2)已知实数满足，求的值； (3)若x，y为实数，且，求的值． 2．（24-25八年级下·河南安阳·月考）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知. (1)计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． (2)猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． (3)请说明（2）中猜想的合理性． 4．（24-25八年级上·河南郑州·月考）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ； ； ； ． 探究：对于任意非负有理数， ． ； ； ； ． 探究：对于任意负有理数， ． 综上，对于任意有理数， ． (2)应用（）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：．    1．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级下·河南新乡·月考）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 3．（2025·江苏南京·模拟预测）整数满足成立，则为（    ） A． B． C． D．或 4．（2025八年级·全国·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 5．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海·月考）化简：＝ ． 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）当时，二次根式的值为 ． 8．（24-25八年级·全国·单元测试）已知是整数，则自然数的值是 ；若是整数，则正整数的最小值是 . 9．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 10．（2025·山东枣庄·模拟预测）观察下列各式：， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知为有理数，求式子的值． 12．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）已知实数x、y满足x2﹣12x++36＝0，求的值． 13．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 15．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）观察下列等式，解答下列问题． 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… (1)____________（填写运算结果）； (2)写出第n个等式：____________（用含n的代数式表示）； (3)是满足上述规律的代数式，若（a，b均为正整数），则的值为____________． 学科网（北京）股份有限公司 $