19.2二次根式的乘法与除法 寒假预习讲义（知识点+题型训练） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2二次根式的乘法与除法寒假预习讲义 预习目标导航 1.掌握二次根式的乘法法则：能利用其进行计算，并能逆用它解决问题。 2.掌握二次根式的除法法则： .能利用其进行化简，并能逆用它解决问题. 3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除混合运算，并能将二次根式化为最简形式。预习内容概览 核心知识 点梳理 1.二次根式的乘法法则 2.二次根式乘法法则的逆用 3.二次根式的除法法则 4.二次根式除法法则的逆用 5.最简二次根式 常考题型 精讲精炼 1.二次根式的乘法 2.二次根式的除法 3.二次根式的乘除混合运算 4.最简二次根式的判断 5.化为最简二次根式 6.最简二次根式求参数 强化巩固 题型通关 (16题) 知识点梳理 【知识点1 二次根式的乘法法则】 1.二次根式的乘法法则的符号表示 2.二次根式的乘法法则的语言叙述 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 3.二次根式乘法法则的拓展 即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 【知识点2 二次根式乘法法则的逆用】 1.二次根式乘法法则逆用的符号表示 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根. 2.二次根式乘法法则逆用的语言叙述 积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积. 提示 (1)公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如 应写成 (2)如果一个二次根式的被开方数中有的因数(式)是完全平方数(式)，则可以利用性质 及 将这些因数(式)“开方”出来，从而将二次根式化简.如 3.二次根式乘法法则逆用的拓展 【知识点3 二次根式的除法法则】 1.二次根式除法法则的符号表示 2.二次根式除法法则的语言叙述 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 提示 (1)当a≥0,b>0 时, 才成立.若a，b都是负数，虽然 有意义，但是 , 在实数范围内无意义；若b=0,则a/b无意义. (2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数. 3.二次根式除法法则的推广 其中a≥0,b>0,n≠0. 【知识点4 二次根式除法法则的逆用】 1.二次根式除法法则逆用的符号表示 2.二次根式除法法则逆用的语言叙述 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 提示 (1)公式中的a,b表示的代数式必须满足a≥0,b>0. a≥0,b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要 且b≠0即可. (2)商的算术平方根性质的应用：可用来化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中含有分母，利用它可以化去分母中的根号. 【知识点五 最简二次根式】 1.最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 注意 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 或 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 或 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式，再进行开方运算 被开方数是多项式的要先进行因式分解 3.分母有理化 (1)分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化. (2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。 题型精讲精练 【题型1 二次根式的乘法】 【典例1】．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式训练1】．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 【变式训练2】．计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ ， 故选：C． 【变式训练3】．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型2 二次根式的除法】 【典例2】．计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， 故选：A． 【变式训练1】．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 【变式训练2】．计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 【详解】解：． 故选：B． 【变式训练3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 【典例3】．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式训练1】．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 【变式训练2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 【变式训练3】．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 【题型4 最简二次根式的判断】 【典例4】．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：∵ A. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； B. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； C. ，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式； D. 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 故选：D． 【变式训练1】．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式； 、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因式，不是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：． 【变式训练2】．有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 【变式训练3】．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 【题型5 化为最简二次根式】 【典例5】．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 【变式训练1】．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 【变式训练2】．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简进行求解（1）（2）（3）（4）小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式训练3】．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型6 最简二次根式求参数】 【典例6】．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 【变式训练1】．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 【变式训练2】．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式训练3】．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 过关检测训练 1．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 【详解】解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 4．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．16的算术平方根是4 C．是最简二次根式 D．27的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根、最简二次根式和立方根的概念． 根据定义逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵负数没有平方根，∴A错误； ∵16的算术平方根是4，∴B正确； ∵，可化简为整数，不是最简二次根式，∴C错误； ∵27的立方根是3，不是，∴D错误； 故选：B． 6．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 7．计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法， 利用根式的乘法法则，将两个平方根合并为一个平方根，然后计算被开方数的乘积，最后求算术平方根． 【详解】解：． 故答案为：2． 8．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 将除法运算转化为乘法运算，利用平方根的性质进行简化． 【详解】解：原式 = 由于除以一个数等于乘以它的倒数， ∴原式 = 又∵ ， ∴ ∴原式 = 而 ， ∴原式 = 故答案为：． 9．若无理数与的积是一个有理数，则的值为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算与有理数、无理数的概念，解题关键是利用“根式的平方为有理数”的性质，构造出能与化简后式子相乘消去根号的无理数． 先化简，再根据“无理数与根式相乘后能消去根号得到有理数”的思路，确定无理数的形式． 【详解】解：①化简：． ②要使无理数与的积为有理数，需让可以含有的形式（其中为非零有理数）这样相乘后可消去根号． 例如取，则，是有理数，符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 10．如果，那么等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键. 根据二次根式的性质，被开方数必须非负，且等式化简后需满足条件 ，结合的范围求解. 【详解】解：由二次根式的性质，被开方数 ，即 原等式右边 ∴ 当 时，左边 ，右边 =，等式成立 当 时，，两边除以 得 解： 若 ，则 ，有 ，解得 若 ，则 ，有 ，恒成立 ∴ 的解为 ， 结合 得 综上，； 故答案为：. 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． 13．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出、的值,代入代数式即可求解． 本题考查了二次根式的基本性质，掌握二次根式的非负性是解题关键． 【详解】解：∵， ∴, ∴ ∴ 原式． 15．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【详解】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 16．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法与除法寒假预习讲义 预习目标导航 1.掌握二次根式的乘法法则：能利用其进行计算，并能逆用它解决问题。 2.掌握二次根式的除法法则： .能利用其进行化简，并能逆用它解决问题. 3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除混合运算，并能将二次根式化为最简形式。预习内容概览 核心知识 点梳理 1.二次根式的乘法法则 2.二次根式乘法法则的逆用 3.二次根式的除法法则 4.二次根式除法法则的逆用 5.最简二次根式 常考题型 精讲精炼 1.二次根式的乘法 2.二次根式的除法 3.二次根式的乘除混合运算 4.最简二次根式的判断 5.化为最简二次根式 6.最简二次根式求参数 强化巩固 题型通关 (16题) 知识点梳理 【知识点1 二次根式的乘法法则】 1.二次根式的乘法法则的符号表示 2.二次根式的乘法法则的语言叙述 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 3.二次根式乘法法则的拓展 即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 【知识点2 二次根式乘法法则的逆用】 1.二次根式乘法法则逆用的符号表示 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根. 2.二次根式乘法法则逆用的语言叙述 积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积. 提示 (1)公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如 应写成 (2)如果一个二次根式的被开方数中有的因数(式)是完全平方数(式)，则可以利用性质 及 将这些因数(式)“开方”出来，从而将二次根式化简.如 3.二次根式乘法法则逆用的拓展 【知识点3 二次根式的除法法则】 1.二次根式除法法则的符号表示 2.二次根式除法法则的语言叙述 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 提示 (1)当a≥0,b>0 时, 才成立.若a，b都是负数，虽然 有意义，但是 , 在实数范围内无意义；若b=0,则a/b无意义. (2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数. 3.二次根式除法法则的推广 其中a≥0,b>0,n≠0. 【知识点4 二次根式除法法则的逆用】 1.二次根式除法法则逆用的符号表示 2.二次根式除法法则逆用的语言叙述 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 提示 (1)公式中的a,b表示的代数式必须满足a≥0,b>0. a≥0,b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要 且b≠0即可. (2)商的算术平方根性质的应用：可用来化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中含有分母，利用它可以化去分母中的根号. 【知识点五 最简二次根式】 1.最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 注意 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 或 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 或 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式，再进行开方运算 被开方数是多项式的要先进行因式分解 3.分母有理化 (1)分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化. (2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。 题型精讲精练 【题型1 二次根式的乘法】 【典例1】．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式训练3】．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【题型2 二次根式的除法】 【典例2】．计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式训练1】．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 【变式训练3】．计算： (1)； (2)． 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 【典例3】．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．计算： (1)． (2)． 【变式训练3】．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【题型4 最简二次根式的判断】 【典例4】．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】．在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【题型5 化为最简二次根式】 【典例5】．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【变式训练1】．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【变式训练2】．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练3】．化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【题型6 最简二次根式求参数】 【典例6】．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【变式训练1】．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【变式训练2】．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练3】．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 过关检测训练 1．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 3．若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 4．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．16的算术平方根是4 C．是最简二次根式 D．27的立方根是 6．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．计算： ． 8．化简 ． 9．若无理数与的积是一个有理数，则的值为 （写出一个即可）． 10．如果，那么等式成立的条件是 ． 11．若，则 ． 12．计算： (1)． (2)． 13．计算： (1)． (2)． 14．已知，，均为实数，求的值． 15．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 16．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $