专题1.3 不等式与基本不等式 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题1.3 不等式与基本不等式 1.3.1 不等式的基本性质的运用 知识点梳理 1.不等式的性质 别名 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2.比较数（式）的大小 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 典型例题 例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则 C．若a<b<0，则 D．若a>b， ，则a>0，b<0 解：方法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒⇒，故B为假命题； ,故C为假命题； .∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 方法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则，.有，故B错． 取a＝－2，b＝－1，则，，有 ，故C错．故选:D. 例2.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小． 解：(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． ∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 例3.已知且,则的取值范围是 . 解：设, 即.所以, 得 ... 由不等式同向可加性得:.即. 随堂演练 1.若,则(　　) A. B. C. D. 解：取满足但排除A;由在上单调递增可知排除B;由在上是增函数可知即C正确;取满足但排除D. 故选C. 2.已知实数满足:,则下列不等式一定正确的是(　　) A. B. C. D. 解：对于A、B、D,取,满足. 显然, , . A、B、D错误;对于C, ,则. C正确. 故选C. 3.(多选)下列不等式中，推理正确的是(　　) A.若,则 B.若,则 C.若, 则 D.若,则 解：A中,例如,此时,所以A不正确; B中,若 ,则,则 ,所以B不正确;C中,若,则,则,即,所以C正确;D中,若 ,则,由不等式的性质知D正确. 故选：CD. 4.,则的大小关系为 . 解: ，， ，∴故答案为: 5.已知且, 则与的大小关系为 . 解：当 时, , 则 . 因为此时 在 上单调递减, 所以 . 当 时, , 则 . 因为此时 在 上单调递增, 所以 .故答案为：. 6.设实数满足,则的最大值是 . 解：因为实数满足， 则有：.再根据，即当且仅当取得等号，即有的最大值是.故答案为：. 7.已知:,则大小关系是 . 解：由，得，，因此。 显然，则。 所以、、大小关系是。故答案： 8.若,则中最小的是 . 解: 因为,所以, , . 因为,,所以, ,所以. 9.已知－<β<α<，求2α－β的取值范围． 解：∵－<α<，－<β<，∴－<－β<.∴－π<α－β<π. 又∵α>β，∴α－β>0，∴0<α－β<π，又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π. 10.已知为正实数.求证:. 证明：， 因为为正实数，所以，当且仅当时取等号。所以，即，当且仅当时取等号。 所以，当且仅当时取等号。 因为为正实数且，所以。 1.3.2 基本不等式 知识点梳理 1.基本不等式 （1）； ； 拓展：. （2）； ； . 口诀：“一正二定三相等”. （3）均值不等式：两个正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系:调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。 则. （4）； （5）. 典型例题 例1.若实数满足,则的最小值 . 解: 因为,所以.当且仅当时等号成立.故的最小值为.故答案为：. 例2.已知,则的最小值为 . 解:因为,所以, 当且仅当,即时,等号成立.所以的最小值为. 例3.设为实数,若,则的最大值是 . 解：解法一：因为, 所以. 即.所以, . 即.当 时, . 故的最大值是. 解法二：因为,所以, 即.又因为, 所以.当时, .故的最大值是. 解法三：因为. 当时, .所以, 即. 当 时, ;当时, .故的最大值是. 解法四：设，则，将其代入得. 由题意知方程有解, 所以,即, 当时,,故的最大值是. 解法五：设,则,即,故,所以, 所以, 当,时取等号.故的最大值是 . 解法六：因为, 所以设. 则. 由 得,. 当时取等号, 故的最大值是. 例4.若满足,则（ ） A. B. C. D. 解：, , (时等号成立),且 对于A,由 得, 解得,当且仅当时取等号,故A正确; 对于B,由得, 解得,当且仅当 时取等号,故B正确; 对于C, D,由得,即, 解得,当且仅当时,, 当且仅当时,,故C正确, D错误.故选: ABC. 例5.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解：对任意正实数恒成立, , .解得.故答案为：. 随堂演练 1.若实数满足，则的最小值是 ( ) A. 18 B. 6 C. D. 解：实数满足，则 当且仅当时，取得等号，即的最小值是.故选：. 2.设,且,则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解：方法一：因为 故可设，则: 再根据三角函数最值的求法可直接得到的最小值是. 方法二：由可得 即有当且仅当时,取得等号, 则得到的最小值是. 故选: . 3.若均为正实数,则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 解：因为均为正实数,则 = 当且仅当且即时取等号,则的最大值为故选：A. 4.已知，则的最小值是 ( ) A. 3 B. 4 C. D. 解：由基本不等式整理得， 即又所以.故选: 5.设，若，则的最小值为 ( ) A. B. C. D. 解:设, , 令,解得,所以,即,当且仅当时,等号成立.故选: D. 6.已知,且满足,则的最大值为 . 解：由基本不等式可知, 又 解得的最大值为3,故选：A。 7.已知实数满足，则的最大值为 . 解: ,解得 的最大值为当且仅当即 时,等号成立.故答案为: 8.已知,且满足,则的最大值为 . 解：方法1：由，可得, 由基本不等式得，可得, 所以，当且仅当时取等号, 联立方程组，解得，，故的最大值为. 方法2：由，可得, 因为，由权方和不等式得，即, 所以，当且仅当，即时取等号, 联立方程组，解得，，故的最大值为.故答案为: . 9.为正整数,求的最小值为 . 解：引入参数值，使之满足 ， 依据取等号的条件，有：整理得：， 故的最小值为4.故答案为：4. 10.设,且,则的最小值是 . 解：令 ()，则即有 可得 = ≥. 当且仅当，即时取得等号,则的最小值是 故答案为： 11.已知非负实数满足,则的最大值为 . 解：令 则可令 由,可得解得 则 ,当时, .故答案为: 12.已知( 均为锐角), 那么的最大值等于 . 解：, , . .答案：. 13.已知且,则的最小值为 . 解: 由 , 得 , 即 , 所以 , , 所以 , , 当且仅当 , 即 时, 等号成立.故答案为: 8. 1.3.3 解一元二次不等式及不等式恒成立问题 知识点梳理 1.二次函数与一元二次方程、不等式解对应关系： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.一元二次不等式恒成立的问题（a≠0）： 恒成立；； 恒成立；恒成立. 3.不等式恒成立、存在成立问题 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解. 典型例题 例1.已知函数y＝ax2﹣（a+2）x+2． （1）y＜3﹣2x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围； （2）求不等式y≥0的解集． 解：函数y＝ax2﹣（a+2）x+2， （1）由题有ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣ax﹣1＜0恒成立， 当a≠0时，则，解得﹣4＜a＜0， 当a＝0时，﹣1＜0恒成立，符合题意； 综上可得，a的取值范围是{a|﹣4＜a≤0}； （2）由题ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0， 当a＝0时，则﹣2x+2≥0，即x≤1，所以不等式的解集为{x|x≤1}； 当a＞0时，令，解得或x＝1， ①当0＜a＜2时，，不等式的解集为； ②当a＝2时，不等式的解集为R， ③当a＞2时，，不等式的解集为； 当a＜0时，则，不等式的解集为， 综上可得：当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}； 当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为． 例2.已知2x+5y＝8． （1）当x＞0，y＞0时，求xy的最大值； （2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 解：（1）因为2x+5y＝8，当x＞0，y＞0时，xy（2x•5y）•1.6， 当且仅当2x＝5y，即x＝2，y时取“＝”，所以xy的最大值是1.6； （2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，因为2x+5y＝8，所以2（x+1）+5（y+2）＝20， 所以（）×[2（x+1）+5（y+2）][20+5][25+2]（25+20）， 当且仅当，即x，y时取“＝”， 所以恒成立，等价于m2+4m，化简得4m2+16m﹣9≤0，即（2m+9）（2m﹣1）≤0，解得m，所以实数m的取值范围是[，]． 例3.若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0； （2）若关于x的不等式bx2+abx+3＞0的解集为R，求实数b的取值范围． 解：（1）由题意知，﹣3，1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的两个根， 则，则a＝3， 则不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x， 所以解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）； （2）因为关于x的不等式bx2+abx+3＞0的解集为R，由（1）a＝3， 所以关于x的不等式bx2+3bx+3＞0的解集为R， 所以当b＝0时，3＞0解集为R，符合题意； 当b≠0时，，所以； 所以实数b的取值范围是． 随堂演练 1.已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式ax2+ax﹣6＜0的解集为B． （1）若a＝1，不等式x2+mx+n＜0的解集为A∩B，求不等式mx2+x+n＜0的解集； （2）∀x∈R，ax2+ax﹣6＜0，求a的取值范围． 解：（1）A＝{x|﹣1＜x＜3}，当a＝1时，B＝{x|﹣3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}， ∵不等式x2+mx+n＜0的解集为A∩B，∴﹣1，2是方程x2+mx+n＝0的两个根， ∴，解得m＝﹣1，n＝﹣2， ∴﹣x2+x﹣2＜0，∴x2﹣x+2＞0，∴x∈R， 即不等式mx2+x+n＜0的解集为R． （2）当a＝0时，﹣6＜0恒成立，符合题意； 当a≠0时，，∴，解得﹣24＜a＜0， 综上，a的取值范围是（﹣24，0]． 2.已知不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}． （1）求a，b的值； （2）若不等式mx2+mx+3a≥0对于x∈R均成立，求实数m取值范围． 解：（1）因为不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}， 所以1和2是对应方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2； （2）由（1）知，不等式mx2+mx+3≥0对于x∈R均成立， m＝0时，不等式为3≥0恒成立， m≠0时，应满足，解得0＜m≤12， 综上，实数m的取值范围是[0，12]． 3.已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）． （1）当m＞﹣2时，解关于x的不等式f（x）≥m； （2）若不等式f（x）≥0对于任意x∈[﹣2，1]恒成立，求m的取值范围． 解：（1）不等式f（x）≥m，化简得：[（m+1）x+1]（x﹣1）≥0， ①m+1＝0时，即m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}， ②m+1＞0时，即m＞﹣1时，， 解集为， ③m+1＜0时，即﹣2＜m＜﹣1时，， 则﹣1＜m+1＜0，即， 所以解集为， 综上所述，m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}； m＞﹣1时，解集为； ﹣2＜m＜﹣1时，解集为； （2）由题意得，（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0对于任意x∈[﹣2，1]恒成立， 整理得：m（x2﹣x+1）≥1﹣x2， 因为恒成立， 所以对于任意x∈[﹣1，1]恒成立， 设t＝2﹣x，t∈[1，4]，则x＝2﹣t， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 此时， 因为对于任意x∈[﹣1，1]恒成立， 所以m的取值范围是[，+∞）． 4.已知关于x的一元二次不等式mx2﹣nx+4＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}． （1）求实数m、n的值； （2）若a＞0，b＞0，ma+nb＝1，且恒成立，求实数k的取值范围． 解：（1）根据不等式mx2﹣nx+4＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，所以1和4是对应方程的解， 由根与系数的关系知，，解得m＝1、n＝5； （2）由a＞0，b＞0，a+5b＝1，所以（）（a+5b）＝1010+220， 当且仅当且a+5b＝1，即a且b时取等号， 所以不等式3k2﹣4k恒成立，即20≥3k2﹣4k， 所以3k2﹣4k﹣20≤0，解得﹣2≤k， 所以实数k的取值范围是{k|﹣2≤k}． 5.设二次函数y＝x2+mx． （1）若对任意实数m∈[0，1]，y＞0恒成立，求实数x的取值范围； （2）若存在x0∈[﹣4，0），使得函数值y0≤﹣4成立，求实数m的取值范围． 解：（1）对任意实数m∈[0，1]，f（x）＞0恒成立， 即g（m）＝xm+x2＞0对任意实数m∈[0，1]恒成立， 因为g（m）＝xm+x2是关于m的一次函数， 所以， 解得， 所以实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）； （2）存在x0∈[﹣3，0），使得f（x0）≤﹣4成立，即， 只需成立，即需成立， 因为﹣x0∈（0，4]， 所以，当且仅当x0＝﹣2时等号成立， 所以， 所以m≥4． 综上知实数m的取值范围是[4，+∞）． 6.已知命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0成立． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0有解，如果p是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围． 解：（1）因为命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0成立， 所以Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2， 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）； （2）因为命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0有解， 即在x∈[0，3]上能成立，令t＝x+1，则x＝t﹣1，t∈[1，4] 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 如果p是假命题，则﹣2＜a＜2；如果q是真命题，则； 所以﹣2＜a＜2，即实数a的取值范围（﹣2，2）． 7.（1）若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a的取值范围； （2）若∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0，求实数x的取值范围． 解：（1）因为∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0， ①当a＝0时，不等式1＞0对∀x∈R成立，符合题意． ②当a≠0时，若不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立， 则，解得0＜a＜4， 综上，实数a的取值范围[0，4）． （2）∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0， 即∃a∈[﹣2，﹣1]，， 所以，而在x∈[﹣2，﹣1]上单调递增， 所以x2﹣x＜1，解得， 故实数x的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 不等式与基本不等式 1.3.1 不等式的基本性质的运用 知识点梳理 1.不等式的性质 别名 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2.比较数（式）的大小 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 典型例题 例1.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则 C．若a<b<0，则 D．若a>b， ，则a>0，b<0 例2.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小． 例3.已知且,则的取值范围是 . 随堂演练 1.若,则(　　) A. B. C. D. 2.已知实数满足:,则下列不等式一定正确的是(　　) A. B. C. D. 3.(多选)下列不等式中，推理正确的是(　　) A.若,则 B.若,则 C.若, 则 D.若,则 4.,则的大小关系为 . 5.已知且, 则与的大小关系为 . 6.设实数满足,则的最大值是 . 7.已知:,则大小关系是 . 8.若,则中最小的是 . 9.已知－<β<α<，求2α－β的取值范围． 10.已知为正实数.求证:. 1.3.2 基本不等式 知识点梳理 1.基本不等式 （1）； ； 拓展：. （2）； ； . 口诀：“一正二定三相等”. （3）均值不等式：两个正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系:调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。 则. （4）； （5）. 典型例题 例1.若实数满足,则的最小值 . 例2.已知,则的最小值为 . 例3.设为实数,若,则的最大值是 . 例4.若满足,则（ ） A. B. C. D. 例5.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 随堂演练 1.若实数满足，则的最小值是 ( ) A. 18 B. 6 C. D. 2.设,且,则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 3.若均为正实数,则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 4.已知，则的最小值是 ( ) A. 3 B. 4 C. D. 5.设，若，则的最小值为 ( ) A. B. C. D. 6.已知,且满足,则的最大值为 . 7.已知实数满足，则的最大值为 . 8.已知,且满足,则的最大值为 . 9.为正整数,求的最小值为 . 10.设,且,则的最小值是 . 11.已知非负实数满足,则的最大值为 . 12.已知( 均为锐角), 那么的最大值等于 . 13.已知且,则的最小值为 . 1.3.3 解一元二次不等式及不等式恒成立问题 知识点梳理 1.二次函数与一元二次方程、不等式解对应关系： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.一元二次不等式恒成立的问题（a≠0）： 恒成立；； 恒成立；恒成立. 3.不等式恒成立、存在成立问题 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解. 典型例题 例1.已知函数y＝ax2﹣（a+2）x+2． （1）y＜3﹣2x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围； （2）求不等式y≥0的解集． 例2.已知2x+5y＝8． （1）当x＞0，y＞0时，求xy的最大值； （2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 例3.若关于x的不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）解关于x的不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0； （2）若关于x的不等式bx2+abx+3＞0的解集为R，求实数b的取值范围． 随堂演练 1.已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式ax2+ax﹣6＜0的解集为B． （1）若a＝1，不等式x2+mx+n＜0的解集为A∩B，求不等式mx2+x+n＜0的解集； （2）∀x∈R，ax2+ax﹣6＜0，求a的取值范围． 2.已知不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}． （1）求a，b的值； （2）若不等式mx2+mx+3a≥0对于x∈R均成立，求实数m取值范围． 3.已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）． （1）当m＞﹣2时，解关于x的不等式f（x）≥m； （2）若不等式f（x）≥0对于任意x∈[﹣2，1]恒成立，求m的取值范围． 4.已知关于x的一元二次不等式mx2﹣nx+4＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}． （1）求实数m、n的值； （2）若a＞0，b＞0，ma+nb＝1，且恒成立，求实数k的取值范围． 5.设二次函数y＝x2+mx． （1）若对任意实数m∈[0，1]，y＞0恒成立，求实数x的取值范围； （2）若存在x0∈[﹣4，0），使得函数值y0≤﹣4成立，求实数m的取值范围． 6.已知命题p：存在实数x∈R，使x2﹣ax+1≤0成立． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）命题q：对于x∈[0，3]，使x2﹣ax﹣a+1≥0有解，如果p是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围． 7.（1）若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a的取值范围； （2）若∃a∈[﹣2，﹣1]，ax2﹣ax+1＞0，求实数x的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $