精品解析：四川省成都树德中学2025-2026学年上学期九年级上学期数学第一次月考试卷

树德中学初2023级初三上学期 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 3. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年暑期档电影《浪浪山小妖怪》深受观众喜爱，上映后第一周票房收入约4.5亿，且第二周、第三周票房均呈上升趋势，前三周票房总收入约15亿．若设第二、三周的周增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 8. 如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B. C. 8或 D. 8或 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则___________． 10. 已知四条线段、、、是成比例线段，且，，，则___________． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是___________． 12. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD高DH=_____． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点E，F，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程． （1）； （2）； （3）． 15. 我国古诗词源远流长，我校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：     （1）本次共抽取了___________名学生竞赛成绩，请补全条形统计图； （2）若我校共有1600人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数； （3）我校在竞赛成绩为等级中甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 16. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 17. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 18. 如图，正方形边长为1，点在的延长线上，连接，，线段交边于点，设，． （1）求关于的函数关系式（不用写出的取值范围）； （2）该正方形对角线，相交于点，直线交线段于点，求证：； （3）在（2）的条件下，当时，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 20. 如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___． 21. 有七张正面分别标有数字，，，，，，4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则使方程有实数根，则不等式组无解的概率是____________． 22. 如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若，，则__________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．若已知，，则点，中为线段的“关联点”的是___________（填，即可）；若点在第一象限且点是线段的“关联点”，则线段长度的取值范围为____________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． （1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ （2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点P为线段上一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； （3）直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学初2023级初三上学期 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：对于选项A∶ ∵化简得， ∴，是一元一次方程，不是一元二次方程． 对于选项B∶ ∵中，a可能为0，当时，不是一元二次方程， ∴不一定是一元二次方程． 对于选项C∶ ∵只含一个未知数x，且最高次数为2，是整式方程， ∴是一元二次方程． 对于选项D∶ ∵中含有分式，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 因此，是一元二次方程的是C． 故选：C． 2. 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵△ABC∽△AED ∴∠C＝∠ADE＝80°． 故应选C 3. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90. 【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90. 故选：B 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 5. 2025年暑期档电影《浪浪山小妖怪》深受观众喜爱，上映后第一周票房收入约4.5亿，且第二周、第三周票房均呈上升趋势，前三周票房总收入约15亿．若设第二、三周的周增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设第二、三周的周增长率均为，依题意列出方程即可，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设第二、三周的周增长率均为，依题意可得： ， 故选：B． 6. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可，掌握三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B. C. 8或 D. 8或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为8或． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，根据合比性质求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案： 10. 已知四条线段、、、是成比例线段，且，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例的性质，列方程求解即可．根据成比例线段的定义，得到比例关系，代入已知值求解． 【详解】解：四条线段、、、成比例线段， ，即 ． 解得 ． 故答案为： 11. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程求解，是能使方程左右两边相等的未知数的值，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得：， 故答案为：1． 12. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，求出OA，OB，由勾股定理求出AB，再利用菱形的面积公式得到AC•BD=AB•DH，由此求出答案． 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AC=8，BD=6， ∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3， 在Rt△AOB中，AB==5， ∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH， 即×6×8=5DH， 解得DH=4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质并熟练应用解决问题是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点E，F，则线段的长为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据勾股定理求出根据作图可得，可得，垂直平分，即可得到，易得，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查勾股定理，垂直平分线，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直平分线得到． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法进行求解； （2）运用因式分解法进行求解； （3）运用配方法进行求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ． 15. 我国古诗词源远流长，我校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：     （1）本次共抽取了___________名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； （2）若我校共有1600人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数； （3）我校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1），图见解析； （2）估计竞赛成绩为等级的学生人数为人； （3）甲、乙两人同时被选中的概率为． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用树状图或列表法求概率，概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键． （1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘全校人数即可求解； （3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次共抽取的学生人数为：（人）， 成绩为等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人） ∴估计竞赛成绩为等级的学生人数为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的有种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为． 16. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 17. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形. （2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积. 【详解】（1）证明：由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形菱形； （2）∵矩形中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可. 18. 如图，正方形边长为1，点在的延长线上，连接，，线段交边于点，设，． （1）求关于的函数关系式（不用写出的取值范围）； （2）该正方形对角线，相交于点，直线交线段于点，求证：； （3）在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质及函数解析式的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用正方形对边平行得到相似三角形，进而得出边的比例关系求函数解析式； （2）通过证三角形相似，根据相似三角形对应角相等来证明两角相等； （3）现根据勾股定理求出的长度，再利用相似三角形的性质列出关于的方程求解； 【小问1详解】 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 正方形边长为， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 ，，， ， ， ， 是正方形对角线，是正方形对角线交点， ，， ， ，即， ， ， ； 【小问3详解】 在中，，， ， 由（2）可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 20. 如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出，将其代入即可得出结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题关键． 21. 有七张正面分别标有数字，，，，，，4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则使方程有实数根，则不等式组无解的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率公式，一元二次方程根的判别式，解不等式组等知识，先根据根的判别式得到的取值范围，然后解不等式组得到的取值范围，从而可求满足条件的的值，最后根据概率公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴满足条件的的值为：，，，， ∴使方程有实数根，则不等式组无解的概率是， 故答案为：． 22. 如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作交于，可得，所以，得到；再根据，得，所以，即，即可求解． 【详解】解：如图，是的中线， 点是的中点， ， 过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∵BD=3， ∴DC=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作，构造相似三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．若已知，，则点，中为线段的“关联点”的是___________（填，即可）；若点在第一象限且点是线段的“关联点”，则线段长度的取值范围为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，中点公式等知识，设，得出点坐标为，得到点在直线上，逐一判断即可，求出点坐标，得到，则当点与点重合时，线段长度取得最小值，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 设， ∵， ∴的中点为， ∵四边形为平行四边形， ∴是的中点， ∴点坐标为， ∴点在直线上， ∴在直线上，不在直线上， ∴不是线段的“关联点”， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴不在直线上， ∴是线段的“关联点”， 对于直线，当时，， ∴ ∴， ∵点在第一象限且点是线段的“关联点”， ∴当点与点重合时，线段长度取得最小值， ∴线段长度的取值范围为， 故答案为：，． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． （1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ （2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 【答案】（1）该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元 （2）降价后每份毛肚的实际售价为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用； （1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据两次购进的数量相等建立分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设降价元，依题意得，，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是原方程的解； 答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元； 【小问2详解】 解：设降价元，依题意得， ， 解得：或（舍去）， ∴降价后每份毛肚的实际售价为（元）， 答：降价后每份毛肚的实际售价为元． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； （3）直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把代入确定a值，再代入确定直线的解析式； （2）分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，设点，则点，根据旋转证明，可求得点，即有点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，再利用二次函数的性质即可求得其最小值； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， 解得， 把代入，得， 解得， 故直线的表达式为：； 【小问2详解】 分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，如图， ∵直线的表达式为：， ∴设点，则点， ∵绕点B逆时针旋转度得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴点， ∴，， 故点， 令， ∴． ，当时，， 故最小值为． 【小问3详解】 ∵直线，直线上有任意一点F， ∴设点F的坐标为， ∵点，点， ∴， ∵点，点， ∴， 当点F与点M重合时，为菱形的一边时， 点M沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点M平移后的点都是符合题意的， ∵点， ∴； 当点F在的左侧，为菱形的一边时， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∵点F的坐标为，， ∴， 解得， 故点或， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点N平移后的点都是符合题意的， ∴或， 当是菱形的对角线时， 设与的交点为G，则， ∵轴， ∴， ∴，， 解得， ∴， 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的运用，涉及到待定系数法求解析式、一次函数的性质、三角形全等、二次函数的最值、菱形的判定和性质、平移思想和分类思想，熟练掌握待定系数法、菱形的判定和性质和平移是解题的关键． 26. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $