23.3 矩形、菱形与正方形（第2课时）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制)八年级数学下册

本讲义聚焦菱形的定义、性质与判定核心知识点，从平行四边形特殊化引入，系统梳理菱形四条边相等的定义，对称性、边、角、对角线及面积等性质，以及定义判定、邻边相等或对角线垂直的平行四边形等判定方法。 通过生活实例如伸缩晾衣架培养数学眼光，性质证明中推理过程提升数学思维，分层题型设计助力数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生练习巩固，查漏补缺，强化菱形知识的理解与应用。

23.3 矩形、菱形与正方形（第2课时） 1、 菱形 1.菱形的定义 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 如图23-3-8,伸缩晾衣架、自动伸缩门、衣服都有菱形图案. 如图23-3-9,在菱形ABCD中，由菱形的定义， 可知AB=BC=CD=AD. 因为菱形ABCD的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理1,得到菱形必然是平行四边形. 所以，菱形是一种特殊的平行四边形. 2、 菱形的性质 1.从对称的角度分析菱形： a.菱形是中心对称图形：由于平行四边形是中心对称图形，因此菱形也是中心对称图形.对称中心是两条对角线的交点； b.菱形也是轴对称图形：菱形也是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。 2.菱形也具有平行四边形的所有性质：简述为对边分别平行且相等；对角相等；对角线相互平分。 问题：如图23-3-10,将四个大小相同的矩形拼在一起，根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形. 这个菱形可能有什么性质?这些性质其他菱形也具备吗? 我们仍然从边、角和对角线来研究菱形的性质. 利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以得到菱形的性质定理： ①定理 菱形的两条对角线互相垂直. 如图23-3-11,已知：四边形ABCD是一个菱形 ，AC、BD是它的对角线.求证：AC⊥BD. 记O为对角线AC 、BD的交点. 因为菱形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理3,得 BO=DO. 又因为AB=AD, 根据“等腰 三角形三线合一”,可得AO⊥BD, 即 AC⊥BD. ②菱形的面积等于其对角线乘积的一半 由菱形的性质定理，可知AC⊥BD, 从而菱形的面积等于四个直角三角形的面积之和. 由平行四边形的性质，可知O是AC和BD的中点，从而这四个直角三角形面积相等. ③菱形的对角线平分对角（菱形的每条对角线都平分菱形的一组对角） 注意在语言表述上与对角线相互平分区分。 利用全等三角形易证此性质，其他证法合理即可。 3、 菱形的判定 1.定义判定：四条边都相等的四边形是菱形. 问题：由菱形的定义可以判定一个四边形是菱形.对于平行四边形而言， 如果要判定它是一个菱形，那么它的边至少还要满足怎样的条件? 利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以推出菱形的一个判定定理： 2.定理 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 定理证明 如图23-3-15,已知：在平行四边形ABCD中，AB=AD. 求证：平行四边形ABCD是一个菱形. 因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1,得 AB=CD,BC=AD. 又因为AB=AD, 所以AB=CD=BC=AD. 根据菱形的定义，得平行四边形ABCD 是一个菱形. 问题：仅有三条边相等的四边形一定是菱形吗? 如果一个平行四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.这个命题的逆命 题也是真命题.由此，又得到菱形的一个判定定理： 3.定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理证明 如图23-3-16,已知：在平行四边形ABCD中， AC⊥BD.求证：平行四边形ABCD是一个菱形. 记o为对角线AC、BD的交点. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理3,得BO=DO. 又因为AC⊥BD, 根据线段垂直平分线的性质定理，得AB=AD. 进一步由菱形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个菱形. 4.判定方法4：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 5.判定方法5：对角线平分每组对角的四边形是菱形 题型1：菱形及其性质的辨析 1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形称为菱形．菱形的四条边相等，据此判定即可． 【详解】解：选项A中四边形不是平行四边形， 选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意； 选项C中是矩形， 选项D中没有四边都相等的四边形． 故选：B． 2．下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 3．下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【分析】此题重点考查菱形的性质，正确理解平行四边形的性质定理及菱形的性质定理是解题的关键．由菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等，即可得出答案． 【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等， 故A不符合题意，B不符合题意，D不符合题意，C符合题意， 故选：C． 4．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【详解】A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 5．矩形和菱形共同具有的性质是（    ） A．相邻两个角都相等 B．相邻两条边都相等 C．相邻两个角都互补 D．两条对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形与矩形的性质是解题的关键． 根据菱形与矩形的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：菱形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分且垂直，平分一组对角，四条边相等，对角相等，邻角互补； 矩形的性质有：对边平行且相等，对角线相等且平分，四个角为直角，邻角互补； ∴只有C选项符合题意； 故选：C． 6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形的对角线相等且互相平分；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，能熟记知识点是解此题的关键． 根据矩形的性质和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A．四条边相等，菱形具有而矩形不一定具有，故符合题意； B．对角线相等，矩形具有而菱形不一定具有，故不符合题意； C．对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故不符合题意； D．两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，故不符合题意； 故选：A． 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等”是解题的关键．根据菱形的性质依次判断即可． 【详解】A．∵菱形的对角线互相垂直，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴，该选项正确； B．∵菱形的四条边相等，又∵四边形是菱形，、是菱形的邻边，∴，该选项正确； C．∵菱形的对角线仅满足互相垂直且平分，不一定相等，又∵题目中仅说明四边形是菱形，未说明是正方形，∴无法推出，该选项错误； D．∵菱形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴是的中点，即，该选项正确． 故选：C． 题型2：根据菱形的性质求长度Ⅰ 8．在菱形中，已知厘米，则 厘米 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四条边相等． 根据菱形四条边相等即可求解． 【详解】解：如图，在菱形中， ∵四边形为菱形，厘米， ∴厘米， 故答案为：5． 9．菱形中，已知，则菱形的周长是（  ） A．8 B．12 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，四条边长度相等，已知边长，进而求解即可． 【详解】解：由题意得，菱形的周长是， 故选：B． 10．如图，在菱形中，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．根据菱形的性质，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ． 故选：． 题型3：根据菱形的性质求长度Ⅱ 11．如图，在菱形中，对角线，相交于点．若菱形的周长为，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质求出边长，再结合勾股定理求出对角线的一半，进而得出对角线的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， 菱形的周长为， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ． 故答案为：D． 12．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直平分，得到，，，再根据勾股定理，即可求得答案． 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点O，对角线，， ，，， ， 即菱形的边长为5． 故选：A． 13．如图，在菱形中，，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、30°角所对直角边是斜边的一半、勾股定理． 根据菱形的性质求出，根据30°角所对直角边是斜边的一半求出，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：5． 15．菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意有一个内角为的菱形，连接对角线可得出等边三角形．根据菱形有一个内角为，可得这条较短对角线与菱形的两条边构成等边三角形，由此可得出答案． 【详解】解：由题意可知，菱形的边长为， ∵菱形的一个内角是， ∴角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， ∴这个菱形较短的对角线长是． 故选：C． 16．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，进行列式，可求解四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 17．如图，在菱形中，，对角线．若过点A作，垂足为E，则的长为（   ） A．4.8 B．4.5 C．4 D．2.4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解决此题的关键是作合理辅助线以及运用等面积法．连接，根据菱形的性质可得，然后根据勾股定理计算出长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案． 【详解】解：连接，交于O点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积是 ∴， 故选：A． 18．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质；根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为； 故答案为：24． 题型4：根据菱形的性质求角度Ⅰ 19．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， 故选：B． 20．如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵菱形 ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 21．如图，在菱形中，已知，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 22．如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 题型5：根据菱形的性质求角度Ⅱ 23．周长是的菱形，它的一条对角线长是．这个菱形的较小的内角度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，正确地画出图形，并且推导出是解题的关键．由菱形的性质得，则，所以，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即这个菱形的较小的内角度数为． 故选：B 24．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 25．如图，在菱形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质及等边对等角． 由菱形的性质可知，结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 题型6：求菱形的性面积 26．菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（    ） A．6 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了求菱形面积，熟知菱形面积计算公式是解题的关键． 根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴该菱形的面积为． 故选B． 27．如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出，，得到，，，则，继而求出，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 28．如图，菱形的对角线相交于点O，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键，由菱形的性质可得，，，由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 菱形的面积， 故答案为： 29．如图，两条宽度为1的纸带，相交成角，那么重叠部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，准确作出辅助线，利用勾股定理进行计算是解题的关键． 先确定重叠部分为菱形，再通过构造直角三角形，利用勾股定理求出菱形边长，最后根据菱形的面积公式计算面积即可得解． 【详解】由题可知：重叠部分是菱形，设菱形，则， 过作于点， 纸带的宽度为1， ， 设， ， ， （在直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半）， 在中，， 解得：， ， 重叠部分的面积是：． 故答案是：． 题型7：菱形的判定的辨析 30．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 31．如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A、添加，能判定是菱形，故不符合题意； B、添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项符合题意； C、添加，能判定是菱形；故不符合题意； D、添加，能判定是菱形；选项不符合题意． 故选：B． 32．如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（       ） ①； ②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组对边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定进行判断即可． 【详解】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，①满足题意； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，②不满足题意； ③根据一组对边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，③满足题意； ④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，④不满足题意； 故满足题意的有①③； 故选：A． 题型8：添加一个条件成为菱形 33．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定方法．矩形是有一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形，矩形是对角线相等的平行四边形，据此求解即可． 【详解】解：选项A：，对角线互相垂直，平行四边形成为菱形，不一定是矩形，不符合题意； 选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项C：，是平行四边形对边相等的性质，不能判定矩形，不符合题意； 选项D：，是平行四边形对角相等的性质，不能判定矩形，不符合题意． 故选B． 34．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 35．如图，在中，，，当 时，四边形是菱形． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 由菱形的性质得出，再由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：24． 题型9：菱形的判定与性质 36．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 37．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴，即， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 38．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．由折叠的性质可得，，，可证四边形是菱形，在中，利用勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接，， 折叠矩形纸片，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型10：菱形的综合应用 39．如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/73度 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 40．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 41．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理．根据菱形的性质以及勾股定理可求出，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 42．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的对角线互相平分，则可推出，，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴点O为的中点，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：120． 43．如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的周长为16， ， ，， ， 故答案为：． 44．如图，点在直线上，以为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点到直线的最大距离是 ． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形．如图，连接，由菱形的性质推出，，得到，求出，判定是等边三角形，推出．当时，点到直线的距离最大，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点作， ∴在菱形变化过程中，， ∴当时，点到直线的距离最大，最大值为6． 故答案为：6． 题型11：解答证明题 45．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 46．如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的判定是解题关键．利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形． 47．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 48．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 49．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∴菱形的面积为． 50．如图，矩形中，点在上，延长至，使得，且．连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接．若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先利用矩形性质得到 ，结合已知条件 ，推导出 ，从而证明四边形 为平行四边形．再根据 ，得出该平行四边形为一组邻边相等的菱形，完成证明； （2）由矩形性质得 ，由勾股定理推出 ．设，则，在直角三角形 中应用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 设，则， ∴ 在中，，即， 解得， ∴． 51．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 一、单选题 1．菱形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 故选：D 2．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（    ） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 【答案】B 【分析】根据菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，不能判定是菱形，不符合题意； B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，符合题意； C.对角线相等的四边形不能判定是菱形，不符合题意； D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不能判定是菱形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边均相等的四边形是菱形；4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；5、两条对角线分别平分每组对角的四边形是菱形；6、有一对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 3．如图，菱形的对角线相交于点，若，，则的长为（ ） A． B．6 C．2 D．10 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，则可根据勾股定理计算出，然后利用求解. 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ，，， ， 在Rt中，， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 4．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的面积公式，勾股定理，利用勾股定理先求出对角线的长度，再根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求解，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设对角线相交于点，则，， ∵菱形的周长为， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积， 故选：． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的周长是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分，得到，再根据所对的直角边是斜边的一半由的长度求出的长度，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， 又， ， 菱形的周长为． 故选：C． 6．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的四边都相等，可证得四边形是菱形，又由等边的顶点、分别在、上，且，可设，根据三角形的内角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案． 【详解】解：四边形的四边都相等， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ，， 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ， ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 二、填空题 7．在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，将菱形的问题转化为直角三角形的问题求解． 菱形的对角线互相垂直平分，已知菱形边长和一条对角线长，先求出该对角线一半的长度，再结合菱形边长在直角三角形中利用勾股定理求出另一条对角线一半的长度，进而得到另一条对角线的全长． 【详解】解：设菱形为，对角线为另一条对角线，交点为O． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴，且． 在中，由勾股定理得：． 已知菱形边长，则， 即， ， 解得． ∴另一条对角线． 故答案为：． 8．如图，在菱形中，已知，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 9．如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件 ，使四边形成为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了菱形的判定， 熟练掌握菱形的判定是关键．添加，根据菱形的判定进行证明即可． 【详解】解：添加条件，使四边形成为菱形． ∵， ∴四边形成为平行四边形， ∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（答案不唯一） 10．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 11．菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于 厘米． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地画出图形是解题的关键．设菱形的边长为20厘米，，连接交于点E，则是等边三角形，所以厘米，则厘米，因为，所以厘米，则厘米，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，菱形的边长为20厘米，，连接交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴厘米， ∴厘米， ∵， ∴， ∴（厘米）， ∴厘米， ∴此菱形较长的对角线的长等于厘米， 故答案为：． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解题的关键是确定折叠后点落在射线上． 由菱形得到，，，然后根据折叠的性质确定点落在射线上，，在由三角形公式即可求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵折叠，点C的对应点为E，且点E落在线段上， ∴，折痕平分，即平分， ∴在射线上， ∴， ∴的面积为， 故答案为：5． 三、解答题 13．如图，矩形的对角线，相交于点，，．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】 根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，矩形的性质定理以及菱形的判定定理，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键． 14．如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．      (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明； （2）根据“菱形的对角线互相垂直”知，然后利用勾股定理可求得的长，最后利用“菱形的四边相等”即可得到答案． 【详解】（1）∵ 四边形 是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）∵ 四边形是菱形， ，， ，， ， 四边形的周长． 15．如图，AE∥ BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C． (1)作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质证明∠BAC=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再根据三角形的等角对等边证得AD=AB=BC，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可． 【详解】（1）解：如图，射线BD为所求； （2）证明：∵AE∥BF， ∴∠DAC＝∠ACB． ∵AC平分∠BAE， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝BC． 同理可证AB＝AD， ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查尺规作图作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 16．如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质得到，，然后根据平行线的性质和勾股定理，结合三角形的等面积法分别求得、、即可求解． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 17．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP． (1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B， ①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ ． ②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． (2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长． 【答案】(1)①见解析；②成立，理由见解析 (2) 【分析】（1）①由菱形的性质得出BC=CD，，证明，由菱形的面积公式可得出答案； ②过点A作于M，于N，证明，由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点A作于点H，由直角三角形的性质求出HN，DH的长，则可得出答案． 【详解】（1）①证明 ：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，， ∴∠B+∠QCD＝180°， ∵∠PAQ＝∠B， ∴∠PAQ+∠QCD＝180°， ∴∠APC+∠AQC＝180°， ∵AP⊥CD， ∴∠APC＝90°， ∴∠AQC＝90°， ∴AQ⊥BC， ∵S菱形ABCD＝， ∴AP＝AQ； ② 当AP与CD不垂直时，①中的结论仍然成立； 证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N， ∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD， ∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•AN， ∵BC＝CD， ∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠PAQ＝∠B， ∴∠PAQ+∠C＝180°， ∴∠AQC+∠APC＝180°， ∵∠AQM+∠AQC＝180°， ∴∠AQM＝∠APN， 在△AMQ和△ANP中， ， ∴． ∴AP＝AQ； （2）如图，过点A作AH⊥CD于点H， ∵∠ANC＝45°， ∴∠NAH＝45°， ∴AH＝HN， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝6， ∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°， ∴DH＝AD＝3， ∴AH＝=DH＝3， ∴HN＝， ∴DN＝HN﹣DH＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等直角三角形解决问题． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3 矩形、菱形与正方形（第2课时） 1、 菱形 1.菱形的定义 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 如图23-3-8,伸缩晾衣架、自动伸缩门、衣服都有菱形图案. 如图23-3-9,在菱形ABCD中，由菱形的定义， 可知AB=BC=CD=AD. 因为菱形ABCD的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理1,得到菱形必然是平行四边形. 所以，菱形是一种特殊的平行四边形. 2、 菱形的性质 1.从对称的角度分析菱形： a.菱形是中心对称图形：由于平行四边形是中心对称图形，因此菱形也是中心对称图形.对称中心是两条对角线的交点； b.菱形也是轴对称图形：菱形也是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。 2.菱形也具有平行四边形的所有性质：简述为对边分别平行且相等；对角相等；对角线相互平分。 问题：如图23-3-10,将四个大小相同的矩形拼在一起，根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形. 这个菱形可能有什么性质?这些性质其他菱形也具备吗? 我们仍然从边、角和对角线来研究菱形的性质. 利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以得到菱形的性质定理： ①定理 菱形的两条对角线互相垂直. 如图23-3-11,已知：四边形ABCD是一个菱形 ，AC、BD是它的对角线.求证：AC⊥BD. 记O为对角线AC 、BD的交点. 因为菱形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理3,得 BO=DO. 又因为AB=AD, 根据“等腰 三角形三线合一”,可得AO⊥BD, 即 AC⊥BD. ②菱形的面积等于其对角线乘积的一半 由菱形的性质定理，可知AC⊥BD, 从而菱形的面积等于四个直角三角形的面积之和. 由平行四边形的性质，可知O是AC和BD的中点，从而这四个直角三角形面积相等. ③菱形的对角线平分对角（菱形的每条对角线都平分菱形的一组对角） 注意在语言表述上与对角线相互平分区分。 利用全等三角形易证此性质，其他证法合理即可。 3、 菱形的判定 1.定义判定：四条边都相等的四边形是菱形. 问题：由菱形的定义可以判定一个四边形是菱形.对于平行四边形而言， 如果要判定它是一个菱形，那么它的边至少还要满足怎样的条件? 利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以推出菱形的一个判定定理： 2.定理 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 定理证明 如图23-3-15,已知：在平行四边形ABCD中，AB=AD. 求证：平行四边形ABCD是一个菱形. 因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1,得 AB=CD,BC=AD. 又因为AB=AD, 所以AB=CD=BC=AD. 根据菱形的定义，得平行四边形ABCD 是一个菱形. 问题：仅有三条边相等的四边形一定是菱形吗? 如果一个平行四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.这个命题的逆命 题也是真命题.由此，又得到菱形的一个判定定理： 3.定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理证明 如图23-3-16,已知：在平行四边形ABCD中， AC⊥BD.求证：平行四边形ABCD是一个菱形. 记o为对角线AC、BD的交点. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理3,得BO=DO. 又因为AC⊥BD, 根据线段垂直平分线的性质定理，得AB=AD. 进一步由菱形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个菱形. 4.判定方法4：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 5.判定方法5：对角线平分每组对角的四边形是菱形 题型1：菱形及其性质的辨析 1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 3．下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 4．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 5．矩形和菱形共同具有的性质是（    ） A．相邻两个角都相等 B．相邻两条边都相等 C．相邻两个角都互补 D．两条对角线互相垂直 6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 题型2：根据菱形的性质求长度Ⅰ 8．在菱形中，已知厘米，则 厘米 9．菱形中，已知，则菱形的周长是（  ） A．8 B．12 C．6 D． 10．如图，在菱形中，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 题型3：根据菱形的性质求长度Ⅱ 11．如图，在菱形中，对角线，相交于点．若菱形的周长为，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 12．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 13．如图，在菱形中，，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 14．如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为 ． 15．菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 16．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 17．如图，在菱形中，，对角线．若过点A作，垂足为E，则的长为（   ） A．4.8 B．4.5 C．4 D．2.4 18．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为 ． 题型4：根据菱形的性质求角度Ⅰ 19．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．如图，在菱形中，已知，则 ． 22．如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ． 题型5：根据菱形的性质求角度Ⅱ 23．周长是的菱形，它的一条对角线长是．这个菱形的较小的内角度数（    ） A． B． C． D． 24．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 25．如图，在菱形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型6：求菱形的性面积 26．菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（    ） A．6 B．24 C．36 D．48 27．如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为 ． 28．如图，菱形的对角线相交于点O，若，，则菱形的面积为 ． 29．如图，两条宽度为1的纸带，相交成角，那么重叠部分的面积是 ． 题型7：菱形的判定的辨析 30．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．B．C．D． 31．如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是（   ） A． B． C． D． 32．如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（       ） ①； ②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 题型8：添加一个条件成为菱形 33．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 34．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 35．如图，在中，，，当 时，四边形是菱形． 题型9：菱形的判定与性质 36．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 37．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为 ． 38．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是 ． 题型10：菱形的综合应用 39．如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为 ． 40．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    41．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为 ． 42．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则 ． 43．如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 44．如图，点在直线上，以为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点到直线的最大距离是 ． 题型11：解答证明题 45．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 46．如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 47．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 48．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 49．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 50．如图，矩形中，点在上，延长至，使得，且．连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接．若，求长． 51．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 一、单选题 1．菱形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（    ） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 3．如图，菱形的对角线相交于点，若，，则的长为（ ） A． B．6 C．2 D．10 4．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形的周长是（    ） A．4 B． C．8 D． 6．如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 8．如图，在菱形中，已知，则 ． 9．如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件 ，使四边形成为菱形． 10．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 11．菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于 厘米． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为 ． 三、解答题 13．如图，矩形的对角线，相交于点，，．求证：四边形是菱形．    14．如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．      (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 15．如图，AE∥ BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C． (1)作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 16．如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 17．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP． (1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B， ①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ ． ②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． (2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $