第2章 圆 学业质量自我评价-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

-3=249+1,3-13-249=249-1, 4 综上所述，点P到抛物线的对称轴的距离为号或+ 4 或V249-1 4 第2章学业质量自我评价 1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.A8.C9.A10.A 11.相交12.10π13.2π14.3cm或5cm15.5π16.27 17.3379218.①③④ 19.解：过点O作O℃⊥AB于点C,如图， .OC⊥AB,AB=18m, AC=分AB=9m 24 .OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°， ∠0AC=180-A0B=30,0C=合0A 2 在Rt△OAC中，.OA2=OC2+AC, ∴0A=(20A）+g,0A=65m, S=240mX6/B)2=72x(m). 360 20.解：如图，连接OC AP:PB=1:5, 设AP=x,则PB=5x, ..AB=AP+PB=6x, .PO=2x,OC=3x. ABLCD.CD-10,:.PC-PD-CD-5, 在Rt△POC中，OC=PC+POY, 即(3x)2=52十(2x)2, 解得x=√5，x2=一√5（不合题意，舍去）， .OC=3√5，.⊙0的半径为3√5. 21.解：（答案不唯一）(1)如图①，∠P即为所求 (2)如图②，∠CBQ即为所求。 图① 图② 22.解：(1)证明：FC=BC,∠FAC=∠BAC. .OA=OC,.∠OAC=∠OCA,.∠FAC=∠OCA, ∴.OC∥AF. ,CD⊥AF,.CD⊥OC ,OC是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线 (2)如图，连接BC,∴∠ACB=90°. ∠CAD=30°， .∠BAC=∠CAD=30°， ∴.∠BOC=2∠CAD=60°， ∴.∠A0C=180°-60°=120° CD⊥AD,∠CAD=30°，CD=√3， AC=2CD=23,.AB=_AC c0s30=4, 0A=2,AC的长=120xX2=4 180 3π 23.解：(1)A(0,8),B(0,2), .OA=8,OB=2,.AB=6 如图，连接PC,PB,过点P作PH⊥AB于点H, 194 九年级数学XJ版 AH=BH=号AB=3,OH=5. ⊙P与x轴相切于点C,∴PCLx轴， ∴∠PHB=∠PCO=∠COH=90°， .四边形PCOH是矩形，.PC=OH=5,.PB=5. 在Rt△PHB中，PH=JPB-BH=4, .点P的坐标为(4,5). (2)如图，连接AP并延长交⊙P于点M, 连接BM,则∠ABM=90°， ∴.BM=√JAM-AB=√102-6=8， ·cOS∠ACB=cOS∠AMB= AM 24.解：(1)证明：连接OE,OD,如图. :∠C=90,AC=BC, .∠OAD=∠B=45. .OA=OD. .∠OAD=∠ADO=45°， .∠AOD=90°. E是弧DF的中点， ·∠DOE=∠EOF=∠DOF=45, .∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°，∴.OE⊥BC OE是⊙O的半径，∴.BC是⊙O的切线 (2)OE⊥BC,∠B=45°， ∴△OEB是等腰直角三角形. 设BE=OE=x,则OB=√2x, .AB=x十2x :AB=√2BC,∴x十√2x=√2(W2+x),解得x=2, Sa=5-Sam-7×2X2-45XX2-2-号 360 故阴影部分的面积为2-受。 25.解：(1)证明：∠BDE和∠BCE都是BE所对的圆周角， ∴∠BDE=∠BCE ∠ACB=90°，CE⊥AB, 则∠BCE+∠ACE=90°=∠A十∠ACE, ∠BCE=∠A,.∠BDE=∠A. (2)如图，记CE,AB的交点为G, 由勾股定理，得AC=√AB-BC=8, :CD=号AC=4: 由勾股定理得，BD=√BC+CD= 2/13. SAABC= AB.CG=ACBC, ÷×10cG=}×8X6,解得CG-号. G=-cG=是 :∠CEB和∠CDB都是BC所对的圆周角， ∴.∠CEB=∠CDB, 18 n∠CEB=nCDa-部-器，即是2市】 6 解得BE=6区，BE的长为6区 5 5 26.解：(1).a=1,=-1, ∴二次函数的表达式为y=x2+bx-1, ·该二次函数的图象过点(2,0)， “4十26-1=0，解得6=-多 (2)①证明：.'∠DOF=∠DEO,∠ODF=∠EDO, ∴△0Fn△n0.÷8=-品 0-D0 ②该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0), 且x1<0<x2,.OA=-x1,OB=x2. .BE=1,.OE=xg-1. ⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍， 00=-288号∴2号-号 ∴.3x1十x2-1=0,即x2=1-3x1. ,该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0), 1,2是方程ax2十bx十c=0的两个根， b 六十=，=日 :4ac=-a2-6a≠04…号+1+（台）=0， 即4x1x2十1+(x1十x2)2=0. 将x2=1-3x1代入，得4x1(1-3x1)+1十(x1十1-3x1)9 =0,解得1=-号（正值已舍去）=1-（-2） 号心抛物线的对称轴为直线x=一品=士 5 2 2+2=1,.6=-2a,:2a+60 2 期中学业质量自我评价 1.B2.C3.B4.B5.D6.D7.A8.D9.A10.D 1.y=2(x+3y-212.正方13.1614号x157m 16.2517.20厘18.③ 13 19.解：把(-1,0)，(1，-2)分别代入y=x2+bx十c,得 十什02e符- c=-2, .函数表达式为y=x2一x-2.令y=0,得x2-x一2=0， 解得x1=一1，xg=2, 函数图象与x轴的另一个交点坐标为(2,0). 20.证明：如图，连接OC .C是AB的中点， .AC=BC,∠AOC=∠BOC. .OA=OC=OB,∠AOB=120°， .∠AOC=∠BOC=60°， ∴.△AOC和△BOC是等边三角形， .OA=AC=BC=OB,.四边形AOBC是菱形. 21.解：(1)把A(0,-1)代入y1=a(x-2),得4a=-1, 解得a=-0.25, .二次函数的表达式是y1=-0.25(x-2)2,即y1= -0.25x2+x-1. 设直线AB的表达式是y2=kx十b, 则有。g阳伦： ∴.直线AB的表达式是y2=0.5x-1. (2)当x<0或x>2时，y1<y2;当x=0或x=2时，y1 =y2· 22.证明：，AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠CAD. DE∥AC,.∠ADE=∠CAD, .∠BAD=∠ADE,.AE=DE. BD⊥AD,∴.∠ADB=90°， .∠EBD+∠BAD=∠EDB+∠ADE=90°， .∠EBD=∠EDB,.BE=DE,.AE=BE=DE. 过A,B,D三个点能确定一个圆，且∠ADB=90°， .AB是A,B,D三个点所在圆的直径， ∴点E是A,B,D三个点所在圆的圆心 23.解：(1)证明：D是AC的中点，CD=DA. DE⊥AB,AB是⊙O的直径， DA=AH,∴.CD=DA=AH, .∠ADH=∠DAC,.AF=DF (2)∠DAF,∠ADF,∠CAB,∠B. 24.解：(1)证明：BC=BD,∴∠BOD=2∠CAB. ∠BOD=2∠F,.∠CAB=∠F. AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBA=90°，.∠F+∠CBA=90°. DE⊥AC,.∠AEF=∠ACB=90°， .BC∥EF,.∠F+∠FBC=180°， .∠OBF=180°-∠CBA-∠F=90°，.OB⊥BF OB是⊙O的半径，∴.BF是⊙O的切线 (2)△DGB是等腰三角形.理由如下： BC=BD,∴AC=AD,∠ABD=∠CBA. 由(1)可知BC∥EF,'.∠BGD=∠CBA, .∠DGB=∠DBG,.DB=DG, △DGB为等腰三角形. 25解：1=0+2女 2)0根据题意，得=十=品（10-m)一六r+子m =一m+号m十3，即0与m之间的函数关系式为w 6 10m+号m+3. ②：w=m+号m+3=n-6r+号面一0< 0,∴当m=6时，心取得最大值，最大值为，此时10一n =10-6=4(t). 故甲种蔬菜进货4t,乙种蔬菜进货6t时，获得的销售利润 之和心最大，w的最大值为号万元。 26.解：(1)A(-2,0),B(6,0),C(0,-6) (2)如图①，过点P作PQ⊥AB于点Q,交BC于点D.设点 P的坐标为(m,m2-2m-6). .B(6,0),C(0,-6), ·直线BC的函数表达式为y=x-6, .D(,1m-6), PD=(m-6)-（合m2-2m-6） m2+3m, :Sae=号PDOB=(-号m十 图① 3m6=-是m-30+g, ∴当m=3时，S。m取得最大值，最大值为号，此时点P的 坐标为(3，一) (3)存在.如图②，当点F:在x轴下方时，易知点C与点F 4244毛 下册参考答案 195九年级数学XJ版下册 第2章 学业质量自我评价 卷和答题卷 (考试时间：120分钟 满分：120分) 扫码下载模拟 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.如果⊙O的半径为8cm,OP=9cm,那么点P与⊙O的位置关系是 A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.不能确定 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆.若∠A=50°，则∠BOC的度数为 ( A.40 B.50° C.80 D.100 R 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,C为BD的中点.若∠A=50°，则∠CBD的度数 为 ( ) A.509 B.40 C.30° D.25 4.如图，AB是⊙O的弦，OA,OC是⊙O的半径，AC=BC,∠BAO=37°，则∠AOC 的度数是 () A.74° B.106 C.117 D.127° 5.(2024甘孜)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,OA=1,则AB的长为( A.2 B.5 C.1 D. ·0 A B 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°，则 ∠AOD为 A.70° B.65 C.50° D.45 7.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图所示， AC,BD分别与⊙O相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P=120°，⊙O 的半径为5cm,则图中CD的长为 () A号x6m Bem C2 3πcm n号m 8.如图，小颖画出了一件出土的古代文物碎片示意图，为求其外圆半径，连接外圆 上的A,B两点，并使AB与文物内圆相切于点D.已知O为文物外圆和内圆的 圆心，连接OD并延长交外圆于点C,测得CD=5cm,AB=30cm,则该文物的 外圆半径是 () A.15 cm B.20 cm C.25 cm D.30 cm 7 第8题图 第9题图 第10题图 14前 9.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,P是BC边上一动点（点P不与点B,C 重合)，连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段CM的最小值为() A.2 &多 C.3 D.√10 10.如图，C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC,分别以点B和C为圆心，大于 2BC的长为半径作弧，两弧相交于点D,作直线OD交BC于点E,连接AE, 则阴影部分的面积为 () A.π B.2π C.3√5-π D.2√5-π 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线1的距离为2，则直线1与⊙O的位置关系 是 2.已知扇形的弧长为元cm,半径为6cm,则该扇形的面积等子 cm. 13.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O,连接OB,OD.若∠BOD= ∠BCD,则BCD的长为 H 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上，PH=4cm,O为直线b上一动 点.若半径为1cm的⊙O与直线a相切，则OP的长为 15.（2024株洲模拟)我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年第一架水车 创制成功后，华夏各族人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.如图所 示的是水车晋水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6m,辐条 尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车 轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面逆时针旋 150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水 渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 m(结果保留π). 16.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC, AE.若∠D=78°，则∠EAC= B 28 B E 第16题图 第17题图 第18题图 17.数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度。 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线： 信息二：如图，赤道半径OA约为6400km,弦BC∥OA,以BC为直径的圆的周 长就是北纬28°纬线的长度（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88， tan28°≈0.53). 根据以上信息可求得北纬28°纬线的长度约为 km. 18.如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点 E,BD交⊙O于点F,CD交⊙O于点G,连接EF.给出下面四个结论：①CDL AB;②CD平分AB;③CG平分∠FCE;④点D为△CEF的内心.其中正确的 是」 (填序号). 三、解答题（本大题共8个小题，第19,20题每小题6分，第21,22题每小题8分， 第23,24题每小题9分，第25,26题每小题10分，共66分) 19.图①是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角 度为240°，它的喷灌区是一个扇形，示意图如图②，A,B两点间的距离为18m. 求这种装置能够喷灌的草坪面积（结果保留π）. 240° 8 图① 图② 20.如右图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P,CD=10,AP :PB=1:5.求⊙O的半径. 21.如图，点A,B,C在⊙O上，用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）. (1)在图①中，画一个与∠ABC互补的圆周角； (2)在图②中，画一个与∠ABC互余的圆周角. A 图① 图② 22.如右图，AB是⊙O的直径，点F,C在⊙O上，且FC=BC.连 D 接OC,AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D. (1)求证：直线CD是⊙O的切线； (2)若∠CAD=30°，CD=√3，求AC的长. 142 23.如下图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C,与 y轴相交于点A(0,8),B(0,2),连接AC,BC. (1)求点P的坐标； (2)求cos∠ACB的值 24.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点O在AB上，以点O为圆心， OA长为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且E是DF的中点. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若CE=√2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 143 25.(2024安顺模拟)如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=m,点 D在AC上，连接BD,作CE⊥AB,交△BDC的外接圆⊙O于点E,连接DE和 BE. 图① 图② (1)求证：∠BDE=∠A; (2)如图②，若D是AC中点，当m=6时，求BE的长. 26.已知二次函数y=ax2+b.x+c(a>0). (1)若a=1,c=一1，且该二次函数的图象过点(2,0)，求b的值； (2)如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴交于点 A(x1,0),B(x2,0),且<0<x2.点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴 正半轴上，连接DE,线段DE交y轴正半轴于点F,∠DOF=∠DEO,OF= DF. ①求证品号： ②若点E在线段OB上，BE=1,⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，4ac= -a2-6,求2a十b的值. 144