10回归教材 圆与等腰三角形相结合的有关计算与证明-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

回归教材 圆与等腰三角形相结合的有关计算与证明（教材第89页题6） 教材母题 2.如右图，⊙O是△ABC的外接圆， 如右图，已知BC是⊙O的直 BD是⊙O的直径，AB=AC,AE 径，点D为BC延长线上一 ∥BC,E为BD的延长线与AE 点，点A为圆上一点，AB= 的交点。 AD,∠ADB=30° (1)求证：AE是⊙O的切线； (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若∠ABC=75°，BC=2,求CD的长. (2)若⊙O的半径为2，求AC的长. 【思路点拨】(1)连接OA,根据三角形的性质及 切线的判定定理即可证明；(2)利用弧长公式( =n元迟即可计算出AC的长， 180 【我的解答】 变式训练 3.如右图，在△ABC中，AB= 1.如右图，已知DC是⊙O的 AC,以AB为直径的⊙O交 直径，B为CD延长线上一 BC于点D,过点D作DE⊥ B 点，AB是⊙O的切线，A AC,垂足为E. 为切点，且AB=AC. (1)求证：△ABD≌△ACD: (1)求∠ACB的度数； (2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说 (2)若⊙O的半径为3，求AC的长. 明理由. 下册限时周测 125 4.如右图，△ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径.直线1与 ⊙O相切于点A,在1上取 一点D使得DA=DC,线段 DC,AB的延长线交于点E, (1)求证：直线DC是⊙O的切线： (2)若BC=2,∠CAB=30°，求图中阴影部 6.（2024株洲芦淞区模拟)如下图，已知等腰三 分的面积（结果保留π）. 角形ABC,AB=AC,且BC=CD,连接AD 交BC于点E,以DE为直径的⊙O上有一 点F,使得EF=DF,连接CF交DE于点G, 连接DF.若∠BAD=90°. (1)判断AC与⊙O的关系，并说明理由； (2)若CE=1,求CF·GF的值 5.如右图，在△ABC中，AB= AC,AO⊥BC于点O,OE1 AB于点E,以点O为圆心， OE长为半径作半圆，交AO 于点F (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若F是AO的中点，OE=3,求图中阴影 部分的面积； (3)在(2)的条件下，P是BC边上的动点，当 PE十PF取最小值时，直接写出BP的长. 126 九年级数学XJ版(2)①.PD=3,EM=√3，△EPM≌△DPN, .EM=DN=√3 ∴在Rt△PDN中，PN=√PD+DN=√32+W3)2=23 ≈3.46，tan∠DPN= DN_3 DP3 ∴.∠DPN=30, .∠DPF=90°-30°=60°， 1命=60XX3=3.14.:3.46>3.14, 180 线段PN更长 ②，'PD=3,EM=√3，∠DPN=30°，△EPM≌△DPN, .PE=PD=3,∠EPM=∠DPN=30°， ∴阴影部分的面积=S△EM一S扇形PF =×3x6-30X03 360 =333 24π. 回归教材圆与等腰三角形相结合的有关 计算与证明 教材母题 解：(1)证明：如图，连接OA. ,AB=AD,∠D=30°， ∴.∠ABD=∠D=30°， ∴∠BAD=120°. .OB=OA,∴.∠OAB=∠OBA=30°， .∠OAD=∠BAD-∠BAO=90°， .OA⊥AD. 又OA是⊙O的半径，.AD是⊙O的切线. (2).∠OAD=90°，∠D=30°， ∠A0D=60°，.1R=60xX2=2 180 3π. 变式训练 1.解：(1)如图，连接OA. AB是⊙O的切线，A为切点， .∠BAO=90 .AB=AC,OA=OC, ∴∠B=∠ACB=∠OAC. ,∠B+∠ACB+∠BAC=180°， .3∠ACB+90°=180°，.∠ACB=30 (2)由(1)可知∠OAC=∠ACB=30°， ∠A0C=120,.1e=120X3=2元 180 2.解：(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于点 F,连接OC,则OA=OC=OB, ·∠OAB=∠OBA=180°-∠AOB ∠OAC= 2 ∠0CA=180°-∠AOC 2 :AB=AC,∴∠AOB=∠AOC,∴∠OAB=∠OAC, .AF⊥BC. 又.'AE∥BC,.∠OAE=∠AFB=90°，即OA⊥AE. :OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线. (2).'∠ACB=∠ABC=75°， ∴.∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°， .∠BOC=2∠BAC=60°，.△BOC是等边三角形， ∴.∠COD=180°-∠BOC=120°，OC=BC=2, la=120πX2=4x 180 3 3.解：(1)证明：，AB是⊙O的直径，.∠ADB=90° (AB=AC, 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AD=AD, ∴.Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). (2)DE与⊙O相切. 理由：如图，连接OD AB=AC,∠ADB=90°，∴.BD=CD. .O是直径AB的中点，.OD∥AC. DE⊥AC,.DE⊥OD. OD是⊙O的半径，.DE是⊙O的切线： 4.解：(1)证明：如图，连接OC, :直线1与⊙O相切于点A, .∠DAB=90° .DA=DC,OA=OC, .∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA, ∴.∠DCA+∠OCA=∠DAC+∠OAC,即∠DCO=∠DAO =90°， .OC⊥CD. 又OC是⊙O的半径，.直线DC是⊙O的切线， (2)∠CAB=30°，.∠BOC=2∠CAB=60°. :OC=OB,∴△COB是等边三角形， ∴.OC=OB=BC=2,∴.CE=OC·tan60°=23， ∴图中阴影部分的面积=SaE一S=之×2X25 602-25-2 360 5.解：(1)证明：如图，过点O作OD⊥AC, 垂足为D. .AB=AC,AO⊥BC于点O, .∠BAO=∠CAO. .OE⊥AB,OD⊥AC, ..OE=OD, .AC是⊙O的切线. (2):F是AO的中点，.AO=2OF. OF=OE=3,∴AO=6. 在R△A0E中，0s∠A0B-85=名=号∠A0E=0, .AE=OE·tan∠AOE=3X3=33, 4.Sa-SoxE-Samnrx 60XπX32 360 =93-3π 2 (3)BP=5. 6.解：(1)AC与⊙O相切.理由如下： 如图所示，连接OC .∠BAD=90°， .∠ABC+∠AEB=90. .∠OEC=∠AEB, ∴.∠ABC+∠OEC=90. .AC=AB,OC=OE, .∠ACB=∠ABC,∠OEC=∠OCE, 下册参考答案 189 ∴.∠ACB+∠OCE=90°，即∠ACO=90° .OC是⊙O的半径，.AC与⊙O相切. (2)如图所示，连接BD交⊙O于点H,连接EH,OF. DE是⊙O的直径，∠ECD=∠EHD=90°. .∠BAD=∠BCD=90°，.A,B,C,D四点共圆， .∠ADB=∠ACB. '∠ABC+∠CED=90°=∠CDE+∠CED, ∴.∠ABC=∠CDE,.∠ADB=∠CDE,.EH=CE=1. .BC=DC,∴.∠CBD=45°， .△BEH是等腰直角三角形， ∴.BH=EH=1,BE=√2EH=√2， ∴.CD=BC=BE+CE=√2+1， ∴DE=VCE+CD=√4+22 :EF=DF,DE是⊙O的直径， .∠EDF=∠DCF=45°，OF⊥DE :DF=OD+OF:=2×(4+2E)'=2+E. 2 又∠CFD=∠DFG△CFDADFG,S-8S ∴CF·GF=DF=2+√2， 周测八（第2章） 1.A2.D3.D4.B5.C6.20°7.24 8.5cm 9.5-1 10.解：(1)证明：如图，连接OD. AB=AC,∴.∠ABD=∠C .OB=OD, .∠ABD=∠ODB, ∠ODB=∠C, ∴.AC∥OD. .DF⊥AC,∴.DF⊥OD .OD是⊙O的半径，DF是⊙O的切线 (2)如图，连接AD.设⊙O的半径为r. 在Rt△CED中，CE=√3，CD=2, ∴.ED=√/CD'-CE=1 oc器吾2c-0 ∠B=30°，∴∠AOD=60 AC∥OD,O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， .D是BC的中点，BD=CD=2 :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°，AD=ZAB=r, ∴.BD=AB·cos30°=√3r=2, ,=25,AB=AC=2r=4E 3 3 .AE=AC-CE=43-/3=3 3 31 ∴.S阴影=S梯形oDE一 S扇形OD= ×(停+29)×1 60 3 3 360元 ×()-9- 190 九年级数学XJ版 11.解：(1)证明：如图，连接BD AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠CDB=90°. DE是⊙O的切线，∠ABC=90°，即BC 是⊙O的切线， .ED=EB,∴.∠EDB=∠EBD .∠CDB=90°， .∠C+∠EBD=90°，∠CDE+∠EDB=90°， .∠C=∠CDE,ED=EC,.EC=EB, ∴E为BC的中点 (2).'∠AHD=∠BHM=90°， ∴△AHD和△BMH的外接圆的直径分别为AD,BM. :△AHD的外接圆和△BM的外接圆的面积之比为3：1， AD:BM=√5. 又，∠A=∠M, .△ADHp△MBH,.DH:BH=AD:MB=√3 .AB⊥DM,.DH=HM, .HM:BH=√3，∴.∠M=30°=∠A,.∠C=60°. :DE=CE,∴△DEC为等边三角形. :⊙0的面积为12π=（号AB)·,解得AB=4W5, 易得BD=号AB=25,BC=4,AC=8. 如图，连接OE. :O,E分别是AB,BC的中点，∴OE=2AC=4. .∠ODE=∠OBE=90°， .OE是四边形OBED的外接圆的直径， ∴四边形OBED的外接圆面积S:=·(步)=4元 :等边三角形DEC的边长为号BC=2, 其内切圆的半径为号，其面积S=:(停)-手 故△DEC的内切圆面积S!和四边形OBED的外接圆面积 S2之比为罗：4r=1:12 周测九(3.1~3.3) 1.D2.A3.D4.D5.B6.C7.中心投影8.左视图 9.510.6 11.解：(1)如图所示. 主视图 左视图 (2)32 12.解：(1)左视图如图所示. 俯视图