06回归教材 拱桥问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

回归教材 拱桥问 教材母题 如右图，1400年前，我国隋 代建造的赵州桥的桥拱是圆 弧形，它的跨度（弧所对的弦 长)是37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2m.求桥拱的半径（精确到0.1m). 【思路点拨】根据题意作出图形，构造直角三角 形.设圆弧所在圆的半径为Rm,圆心为O.根 据垂径定理和勾股定理即可求出R的值，即桥 拱的半径。 【我的解答】 变式训练 1.图①是吉林市的彩虹桥图片.图②是彩虹桥 示意图，桥拱可以近似看作半径为25m的 圆弧AB,桥拱和路面（弦AB)之间用九根钢 索相连，钢索垂直路面，路面长度为40m.若 这九根钢索将路面分成十等分，求最长钢索 CD的长度. C钢索 B 路面 桥拱 图① 图② 题（教材第60页题3） 2.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一 如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意 图如图②所示，其中桥顶到水面的距离CD =8m,桥拱的半径OC=5m.求此时水面的 宽度AB的长。 D 图① 图② 下册限时周测 117 3.如右图，一圆弧形桥拱的 D 圆心为E,桥拱的水面跨 度AB=80m,桥拱到水 面的最大高度DF=20m. (1)求桥拱的半径； (2)若水面上涨后水面跨度为60m,求水面 上涨的高度. 4.如下图，有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽 为12m,拱顶高出水面4m. (1)求这座拱桥所在圆的半径； 118 九年级数学XJ版 (2)现有一艘宽5m,船舱顶部为正方形且高 出水面3.6m的货船要经过这里，此时货船 能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由. 5.(2024长沙芙蓉区期中)牂 牁江“余月郎山，西陵晚渡” D 的风景描绘中有半个月亮 0 挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞 口的传说.真实情况是山上有个月亮洞，洞 顶上经常有猴子爬来爬去，如上图所示的是 月亮洞的截面示意图. (1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是 28m,洞高AB约是12m,通过计算截面所 在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮.求 半径OC的长（结果精确到0.1m); (2)若∠COD=162°，点M在CD上，求 ∠CMD的度数.回归教材拱桥问题 教材母题 解：根据题意画示意图如图所示，延长CD 到点O,点O是AB所在圆的圆心，连接 OA,OB. 设⊙O的半径为Rm,则OD=(R-7.2)m. 根据垂径定理，得AD=号AB=18.7m 在Rt△OAD中，由勾股定理，得R2=18.72十(R-7.2)2,解 得R≈27.9. 故桥拱的半径约为27.9m. 变式训练 1.解：根据题意可知，CD垂直平分弦AB, .AB所在圆的圆心在DC的延长线上 如图，延长DC到点O,点O是AB所在圆的圆心，连接OB 设CD=x,则OC=25-x.由勾股定理，得OC十BC2=OB, 即25-+(9） =252, 解得x=10, 即CD=10. 故最长钢索CD的长度为10m. AG钢B 路面 桥拱 0 2.解：如图，连接OA,则OA=OC=5m. 由题意可知，CD1AB.AD=BD=号AB. 在Rt△ADO中，OD=CD-OC=3m,∠ADO =90°， ..AD=/OA2-O0D=√/52-32=4(m), ∴.AB=2AD=8m. 故此时水面的宽度AB的长为8m 3.解：I)由垂径定理可知，AF=BF=之AB=40m 设桥拱的半径是rm,则EF=(r一20)m. 由勾股定理，得AE=AF十EF2, .r2=402十(r-20)2,解得r=50. 故桥拱的半径是50m. (2)如图，设水面上涨后水面跨度MN 为60m,MN交ED于点H,连接EM, M HD N 则ED⊥MN. 由垂径定理可知，MH=NH=号MN =30m. 由勾股定理，得EH=√EM-Mf=√/50一30=40(m)】 .EF=ED-DF=30 m,.'.HF=EH-EF=10 m. 故水面上涨的高度是l0m. 4.解：(1)如图，设拱桥所在圆的圆心为 O,由对称性知点O在直线CD上，连 接OA. 根据题意，得CD=4m,AB=12m, 则AD=号AB=6m. 设这座拱桥所在圆的半径为xm, OA=OC=x m,OD=OC-CD=(x-4)m. 在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD, 即x2=(x一4)2十62，解得x=6.5. 故这座拱桥所在圆的半径为6.5m (2)货船不能顺利通过这座拱桥. 理由：如图，连接OM 当MN=5m时，：OCLMN,MH=号MN=2.5m, 在Rt△OMH中，OH=√/OM-MH=6m. 由(1)知0D=6.5-4=2.5(m), .DH=6-2.5=3.5(m). 3.5<3.6, 货船不能顺利通过这座拱桥 5.解：(1)设OA=○C=Rm. OALCD..CB-BD-CD-14m. 在Rt△COB中，.OC=CB+OB, R=1+(R-12R=g :00-号≈1.2m (2)如图，补全⊙O,在CD的下方取一点C卡 B N,连接CN,DN,CM,DM. :∠N=∠oD=81,∠CMD+∠N =180°， .∠CMD=99 周测五(2.1~2.4) 1.A2.B3.C4.D5.D6.60°7.168.89.(2,6) 10.2 11.解：(1)证明：AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠CBE. :∠DBC=∠CAD,∴∠DBC=∠BAE. :'∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE, .∠DBE=∠DEB,∴DE=DB. (2)如图，连接CD. 由(1)，得∠BAD=∠CAD,.BD=CD, ..CD=BD=4. .∠BAC=90°，.BC是△ABC外接圆的 直径， ∴.∠BDC=90°，∴.BC=√/BD+CD=4√2， “△ABC外接圆的半径=号BC=令×4E=2E. 12.解：(1).四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ADC+∠ABC=180°. .∠ADC=90°，.∠ABC=90° (2)证明：：AB=BC, .AB=BC,.∠ADB=∠BDC. :∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC=45. CF⊥BD,.∠DCF=45. :∠F=∠BDC=45°，.∠F=∠DCF, ∴.BF∥CD. (3)如图，延长AD至点N,使得DN=DC,连接AC,NC. 444442 下册参考答案 187