专题16 二次函数与圆相关压轴题分类训练（10种类型80道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题16 二次函数与圆相关压轴题分类训练 （10种类型80道） 考点01 二次函数相关综合性问题 考点02 二次函数相关规律性问题 考点03 动点几何与二次函数图像 考点04 二次函数相关最值问题 考点05 圆相关综合性问题 考点06 圆相关最值问题 考点07 “隐圆”相关最值问题 考点08 圆相关折叠问题 考点09 圆相关动点问题 考点10 圆与二次函数综合问题 考点01 二次函数相关综合性问题 1．如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间，下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 3．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象判断以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ；；；（为任意实数） A．个 B．个 C．个 D．个 7．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根；③；④．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，二次函数图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．5个 D．2个 考点02 二次函数相关规律性问题 9．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，正方形、、……；按如图的方式放置，点、、……在直线，点、、……在x轴上．抛物线过点、，且顶点在直线上，抛物线过点、 ，且顶点在直线上，……按此规律，抛物线过点、，且顶点也在直线上，抛物线的顶点坐标为(       ) A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，…，都在轴正半轴上，点在二次函数图象上，以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；…；按此规律进行下去，若的横坐标为1，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ． 13．如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． 15．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 16．如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 考点03 动点几何与二次函数图像 17．如图，在直角三角形中，，，．动点P以每秒1个单位从点A出发沿A﹣B运动；动点Q以每秒1个单位从点A出发沿A﹣C﹣B运动．若点P、Q同时出发，当其中一动点运动到点B时另一点停止运动，则的面积S与运动时间t之间的函数图形大致是（    ） A． B． C． D． 18．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，的中点，动点M从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点F运动，动点P从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，动点Q从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点D运动，连接，，．当点M到达点F时，三个点同时停止运动．设点M运动的时间为x秒，的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 19．如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 21．如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 23．如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（    ）    A．   B． C．   D．   考点04 二次函数相关最值问题 25．如图，平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（2，4），P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别在线段OB，AB上，则这两个二次函数的最大值之积的最大值为 ． 26．如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为 ． 27．如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为 ． 28．若点，点是两个动点． （1）则点纵坐标的最小值为 ； （2）则线段的最小值为 ． 29．如图，正方形的边长为5，E为上一动点，连接，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最小值为 ． 30．如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为 ． 31．如图，矩形中，与交于点O，分别在和上取点M、N，使得．若，则的最小值为 ． 32．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为 ． 考点05 圆相关综合性问题 33．如图，是的切线，A、B是切点，C是与的交点，D是与的交点，若，则①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 34．已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 35．如图， 、是的两条弦，且．，， 垂足分别为点M、N，、的延长线交于点P，连接，下列结论①弧=弧； ②； ③； ④，正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．如图，在的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以为直径作，分别连接．有以下结论：①D，E两点都在上；②；③与相切；④平分．结论正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 37．如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 38．如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(    )    A．1 B．2 C．3 D．4 39．如图，内接于，半径，连接CO并延长交于点D，过点O作半径交BC于点E，连接AE，以下结论：①；②；③；④四边形AOCE为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 40．如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点E，连接．下列结论：①是的切线；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 考点06 圆相关最值问题 41．如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 42．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 43．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 44．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 45．如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 46．已知如图，，点E在圆弧上运动，点M是中点，线段绕点M顺时针旋转得到线段，，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 47．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 48．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点07 “隐圆”相关最值问题 49．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，连接CE，把△BCE沿直线CE翻折得到△B’CE，连接AB’，若AB＝12，BC＝8．则线段AB’的最小值为 ；连接B’D，取B’D的中点F，连接AF，则线段AF的最小值为 ． 50．如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，CE的长为 51．如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 52．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ． 53．在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ． 54．如图，在四边形中，，，，于点，则的最小值是 ． 55．等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 56．如图，在四边形中，，，，求的最大值为 ． 考点08 圆相关折叠问题 57．小周同学在学习了折叠专题后，决定对扇形的折叠进行研究，首先他剪出一张扇形纸片，按如图1所示方法进行折叠，，为扇形半径，，为折痕，则 ；然后小周又剪出了一个扇形进行不同的尝试，按如图2所示方法进行折叠后，恰好与相切于点F，，为折痕，则 ． 58．如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 59．如图，为的直径，将沿弦折叠，折叠后的弧与交于点E，延长与交于点D，若，则 ；当时， ． 60．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，为上一点，连接、，与交于点，则 ；若，则 ． 61．图，扇形的圆心角，点C在上，将沿折叠得到，交弧于点E，连接，恰有，若，则的半径长是 ． 62．如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ． 63．如图，点是半圆上一点，将弧沿弦折叠交直径于点，点是弧中点，连结并延长交半圆于点，若，，则的长为 ． 64．如图，AB为半径为8的的弦，弧沿弦折叠经过圆心O，点D为弧上一动点，连接交于点C，点P为的中点，则最小值为 ． 考点09 圆相关动点问题 65．如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 66．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（　　） A． B． C． D． 67．如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 68．如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A． B． C． D． 69．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 70．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 71．如图，点A，B的坐标分别为（0，8），（10，0），动点C，D分别在OA，OB上且CD＝8，以CD为直径作⊙P交AB于点E，F．动点C从点O向终点A的运动过程中，线段EF长的变化情况为（　　） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 考点10 圆与二次函数综合问题 72．如图，线段，点是线段上一动点（不与点，重合），以为直径作，过点作的切线，切点为，若，，则关于的函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 73．如图，半径为，圆心，点是上动点，点在二次函数图象上运动，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 74．已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 75．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点与轴交于，的半径为，为上一动点，连接，若为的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 76．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为 ．    77．如图，二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝ ． 78．如图，二次函数的图象与x轴负半轴于点A，与y轴负半轴于点B．点P是线段OA上的动点，以OP为直径构造圆，连结BP交圆于点Q，连结AQ，则AQ的最小值是 ． 79．已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，顶点为，作直线．点是抛物线对称轴上的一点，若以为圆心的圆经过，两点，并且和直线相切，则点的坐标为 ． 80．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为2，M是⊙C上任意一点，连接MB，取MB的中点D，连接OD，则线段OD的取值范围是 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 二次函数与圆相关压轴题分类训练 （10种类型80道） 考点01 二次函数相关综合性问题 考点02 二次函数相关规律性问题 考点03 动点几何与二次函数图像 考点04 二次函数相关最值问题 考点05 圆相关综合性问题 考点06 圆相关最值问题 考点07 “隐圆”相关最值问题 考点08 圆相关折叠问题 考点09 圆相关动点问题 考点10 圆与二次函数综合问题 考点01 二次函数相关综合性问题 1．如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间，下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系． 根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：①∵函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧，a与b异号， ∴， ∵函数图象与y轴交负半轴， ∴，故，故①正确； ②∵抛物线与x轴的一个交点，顶点为， ∴，， 即抛物线线与x轴的一个交点为， ∵ ∴， ∴， ∴，故②正确； ③当时，， ∴，故③正确； ④∵B点关于对称轴对称点为， ∴当时， ， ∵顶点坐标，对称轴， ∴， ∴B点关于对称轴对称点为， ∴当时， ，得， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故④错误． 综上所述，正确的有3个。 故选：C． 2．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由抛物线开口方向，顶点坐标，与y轴的交点位置可判断①；根据二次函数图象的平移，得出的顶点在x轴下方，可判断②；根据抛物线与轴的另一个交点在点和之间，将代入，可判断③；分在对称轴左侧或右侧两种情况，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 顶点为， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴， ， ，故①错误； 向下平移m个单位长度时，新图象的解析式为， 顶点为， 时，新图象的顶点在x轴下方，新图象与x轴没有交点， 没有实数根，故②正确； 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 时，， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，和，且，对称轴为直线， 在对称轴左侧，在对称轴左侧或右侧， 当在对称轴左侧时， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，， ； 当在对称轴右侧时， 关于对称轴的对称点为， ， ，故④错误， 综上可知，正确的是②③， 故选：D． 3．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的对称轴是可得解答①；再分别判断a，b，c的值，即可解答②；然后根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，判断③；再根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，解答④；接下来根据二次函数的图象与有一个交点，解答⑤；对于⑥，先根据当时，，可得，最后结合，可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是 ∴， 即． 所以①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴是， ∴； ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴， 所以②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 所以③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 所以时，，即， 所以④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴⑥不正确． 所以正确的有4个． 故选：C． 4．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象判断以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴， 该选项正确，符合题意； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴该选项错误，不符合题意； ③根据对称轴为直线，得点的对称点坐标为， 当时，， ∴该选项错误，不符合题意； 综上，正确选项为①， 故选：B． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图像开口向下，交轴于正半轴，对称轴为，可得，，那么，从而判断①；根据其对称轴，可证时，，从而判断②；根据抛物线与轴的交点个数，可判断③；根据函数在时取得最大值，可判断⑤；根据时，，可证，然后将代入，可判断④． 【详解】解：图象开口向下，交轴于正半轴，对称轴为， ，， ， ， ，故①正确； 时，，对称轴为， 时，， ，故②正确； 图象与轴有2个交点， ，故③错误； 图象开口向下，对称轴为， 时，取得最大值，最大值为， ， ，故⑤正确； 时，， ， ，即， ， ，故④错误； 故选：B． 6．二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ；；；（为任意实数） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的图象与性质逐个判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， 、同号， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 因此正确； 抛物线与轴的一个交点坐标为，而对称轴为直线， 由对称性可知， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， 因此正确； 抛物线与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ，因此错误； 由二次函数的最小值可知， 当时，取最小值，最小值为， 当时，， ， 即， 因此错误； 综上所述，正确的结论有，共个． 故选：B． 7．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根；③；④．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断错误；根据抛物线与轴有两个不同的交点，可以判断，从而可以判断，所以可得方程有两个不相等的实数根，所以可得正确；根据抛物线与轴的交点和抛物线对称轴的位置可以判断当时，函数值，所以可得错误；根据抛物线的对称轴的位置可得，可得，所以可得正确． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； 抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程中， 可得：， ，， ， 有两个不相等的实数根， 故正确； 抛物线的对称轴在轴的右侧，抛物线与轴的一个交点坐标是， 抛物线与轴的交点到对称轴的距离小于， 抛物线与轴的另一个交点的坐标一定在的右侧， 当时，， 故错误； 由图象可知：，， ， 移项得：， 故正确； 故正确的有：②④，共2个， 故选：B． 8．如图，二次函数图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．5个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，函数的增减性，二次函数图象与x轴的交点个数，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：开口向下，即，与y轴的交点在正半轴，即，对称轴为直线，即，当时，y随x的增大而减小；故②正确； ∴，故①正确； 由图象可知当时，即，故④正确； 二次函数的图象与x轴有两个交点，即，所以；故⑤正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点在和0之间， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数的图象与x轴的另一个交点在和3之间， ∴当时，即，故③错误； 综上所述：正确的结论有①②④⑤共4个； 故选A． 考点02 二次函数相关规律性问题 9．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，正方形、、……；按如图的方式放置，点、、……在直线，点、、……在x轴上．抛物线过点、，且顶点在直线上，抛物线过点、 ，且顶点在直线上，……按此规律，抛物线过点、，且顶点也在直线上，抛物线的顶点坐标为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形是正方形，求得，求出抛物线的顶点为，再将点代入，可求抛物线的解析式为；求出，，再求抛物线的顶点为，将点代入，可求抛物线的解析式为；由抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，根据规律可得抛物线的顶点坐标为. 【详解】解：对于直线，设可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，又点在直线上， ∴， 又∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 将代入中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为， … ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，根据点的坐标特点，探索出点的一般规律是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，…，都在轴正半轴上，点在二次函数图象上，以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；…；按此规律进行下去，若的横坐标为1，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题已得，可计算出的长度，得，利用平行四边形的性质及两直线平行，其解析式的系数相等的特性，可知直线解析式，联立，可求得，同理，依此类推，可求得，寻找规律，类比可得的坐标． 【详解】解：∵的横坐标为1，且在图象上 ∴，则：， 易得的解析式为：， 又∵ ∴，即： 又∵为平行四边形， ∴直线解析式为：（两直线平行，其解析式的系数相等） 联立， 解得：或（舍去）， 即， 则：，， ∴， 又∵为平行四边形， ∴直线解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， 即， 由，，，得，，， 依此类推， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，能够利用两直线平行，其解析式的系数相等这一特征求解析式是解决问题的关键． 12．观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ． 【答案】 【分析】根据图象上的点的特征，求出，结合题干得到相应的数字规律，再进行计算即可． 【详解】解：由，，，…， 可知：； ∵分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点， ∴ ，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，数字规律探究．解题的关键是抽象概括出数字规律． 13．如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 先求出坐标，然后利用旋转的性质得出的坐标，依此规律得到的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此拋物线的顶点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得， ， ∵将绕旋转得到，交轴于，将绕旋转得到，交轴于， ， ．．． ， 即， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵拋物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，待定系数法求直线关系式，根据待定系数法求出直线的关系式，再根据规律确定抛物线的横坐标，再代入关系式得出答案． 【详解】解：设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 抛物线的横坐标为21， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 15．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 16．如图在平面直角坐标系中，抛物线上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设直线函数关系式为 点坐标为， ， 直线为， ，轴， ， ∵， 设直线为， 将代入得， ， ，解得或， ， ， 同理可得 ， ， ∴，， ∴， 故答案为：，． 考点03 动点几何与二次函数图像 17．如图，在直角三角形中，，，．动点P以每秒1个单位从点A出发沿A﹣B运动；动点Q以每秒1个单位从点A出发沿A﹣C﹣B运动．若点P、Q同时出发，当其中一动点运动到点B时另一点停止运动，则的面积S与运动时间t之间的函数图形大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得， 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， 由条件可知，即， ∴， 的面积； 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点H， ∵根据题意得，，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 综上所述，， 故选：A． 18．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，的中点，动点M从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点F运动，动点P从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，动点Q从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点D运动，连接，，．当点M到达点F时，三个点同时停止运动．设点M运动的时间为x秒，的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正方形的性质．分当和时，两种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可判断． 【详解】解：当时，，， 则； 当时，如图， ，， ， 则． 故选项C符合题意． 故选：C． 19．如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】∵在直角三角形中，，，， ∴， 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 综上所述，， 故选：A． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20．如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是动点问题函数图象、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分段考虑，正确表示出时关于的函数解析式． 分三种情况可得该时间段内关于的函数解析式，结合二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质即可判断正确图象． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴点达到点所需要的时间为：（秒）， 点达到点所需要的时间为：（秒）， ∴，故选项C、D错误； 当时，点在上运动，此时，， 如图，作交于点， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 当，点在上运动， 如图，过点作交于点， ， ∴； 根据一次函数的性质此时表示与函数关系的图象是一条斜向上的线段； 当，点在上运动，作交延长线于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向下的抛物线； 则选项错误、选项正确． 故选：B． 21．如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、根据动点运动过程求图形面积并确定函数图象．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 先根据坐标求出、等边长，分时，证明与相似，求出，进而得到关于的表达式；时，证明与相似，求出，通过得出关于的表达式，根据两个阶段的函数表达式确定函数图象． 【详解】，， ，，， ，， ∵， ∴， ∵E以每秒1个单位长度的速度沿运动， ∴， 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动， ∴，， ∴ ∴ ， ∴一个二次函数，二次项系数，图象开口向上． 当时，此时F在上运动， 在直线右侧部分为四边形 ∴点F运动的距离为t，， ∴，， 过F作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ， ， ． 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下． 综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数，再为开口向下的二次函数． 故选：A． 22．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 23．如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象上的动点问题．由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为，从而得到的面积为的面积的2倍，即可求解． 【详解】解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为， 如图， 此时， ∴的面积为的面积的2倍，即， ∴的面积为． 故选：B 24．如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（    ）    A．   B． C．   D．   【答案】D 【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时；②当点P在上运动，点Q在上运动，即时；③当点P在上运动，点Q在上运动，即时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可． 【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时，此时， ∴； ②如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时，    ∴； ③如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时，    ∴， ∴ , ＝； 综上，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键． 考点04 二次函数相关最值问题 25．如图，平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（2，4），P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别在线段OB，AB上，则这两个二次函数的最大值之积的最大值为 ． 【答案】 【分析】确定CM、DN与OA之间的关系，得到CM＝OP＝x，ND＝PA＝（6﹣x），即可求解． 【详解】解：设直线OB交抛物线y1于点C，直线AB交抛物线y2于点D，即点C、D分别是这两个抛物线的顶点， 点A（6，0），则OA＝6， 由点B的坐标得，tan∠BOA＝＝2，同理由点A、B的坐标得，tan∠BAO＝1， OP＝2OM＝2×＝CM， 同理PA＝2AN＝2ND， 设OP＝x，则PA＝6－x， CM＝x，ND＝PA＝（6－x）， 设两个二次函数的最大值之积为y， 则y＝CM•DN＝x•（6－x）＝－x2+3x＝－（x－3）2＋， ∵－＜0，故y有最大值， 当x＝3时，y的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定CM、DN与OA之间的关系． 26．如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，二次函数的应用．作与M，根据正方形的性质易得，设，则，根据等腰三角形的性质即可得出，由三角形面积公式得出，进而根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：作与M， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值16， 故答案为：16 27．如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，先根据勾股定理得，再根据相似三角形的性质得，进而得，，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，的有最大值，最大值为5． 故答案为：5． 28．若点，点是两个动点． （1）则点纵坐标的最小值为 ； （2）则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数与一次函数、几何综合，正确理解题意运用二次函数的性质是解题的关键． （1）直接把纵坐标化成，即可求解； （2）线段的最小值为抛物线上的点M到直线的距离的最小值，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ∴， ∴点的纵坐标的最小值为， 故答案为： ． （2）点，点， 可知点M在抛物线上，点N在直线，如图所示： 设直线与轴交于点D，与轴交于点， 向上平移直线， 当新直线与抛物线只有一个交点时，即为点M， 作直线， 设新直线为，与轴交于点E， 作于， ， 四边形是矩形， ， 新直线与抛物线只有一个交点时，满足， 即， 令， 得， ， 当时，， 对于直线，当时，，时，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．如图，正方形的边长为5，E为上一动点，连接，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，勾股定理求出的长，根据，将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为5， ∴，， ∴， 过点D作交于点Q，交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴当时，的值最小，为； 故答案为：． 30．如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键． 首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，先根据点P所在的直线与抛物线只有一个交点求出点P所在直线的解析式，进而求出点的坐标，然后根据三角形面积公式得到结果． 【详解】解：， ∴顶点为， 将抛物线沿x轴对称后的抛物线的顶点为， 沿x轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线 ， 设直线为，则， ∴， 直线为， 要使的面积最小，则点在平行于直线的直线上，且与抛物线只有一个交点， 设平行于直线，且与抛物线只有一个交点的直线为， 解， 整理得， ， ， ， ， 解，得， ， ． 故答案为：． 31．如图，矩形中，与交于点O，分别在和上取点M、N，使得．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题可先根据矩形性质确定各点坐标相关条件，建立平面直角坐标系，将点M、N坐标用含变量的式子表示，再依据两点间距离公式列出的表达式，最后通过完全平方公式求其最小值． 【详解】解：在矩形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 如图，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立坐标系．过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为2， 即的最小值为． 故答案为： 32．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 考点05 圆相关综合性问题 33．如图，是的切线，A、B是切点，C是与的交点，D是与的交点，若，则①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：根据切线长定理，得，， 故垂直平分； 由， 故是等边三角形，故①正确； 故， 根据切线性质，得， 故，故④正确； 根据题意，得，， 故是等边三角形； 故，，， 故 故， 故，故②正确； 故③正确， 故选：D． 34．已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①连接，根据作图过程可证得为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；②根据弦垂直平分半径可得，根据垂径定理可判断；③根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【详解】解：连接， ∵弦垂直平分半径， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知， ∴， ∴，①正确； ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知，，，②正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键． 35．如图， 、是的两条弦，且．，， 垂足分别为点M、N，、的延长线交于点P，连接，下列结论①弧=弧； ②； ③； ④，正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 连接、，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、； ∵， ∴，故①正确 ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴，，故④正确， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 36．如图，在的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以为直径作，分别连接．有以下结论：①D，E两点都在上；②；③与相切；④平分．结论正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 【答案】C 【分析】先结合网格与勾股定理，得出圆的半径，故D，E两点都在上；结合网格特征，得出，根据，，得，即， 则与相切；运用，得，结合网格特征得，则，在中，，，结合网格特征，得，故，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 令正方形网格的边长为1， ∵以为直径作， ∴圆的半径是， 结合网格特征，得出， 则圆的半径， ∴D，E两点都在上； 故①是符合题意； 结合网格特征，得出， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为直径， ∴与相切； 故③是符合题意； ∵， ∴， 结合网格特征得， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故②是符合题意； 结合网格特征，得出在中，， 得出在中， ∵， 即， 即， ∴不平分． 故④是不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的性质，切线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 37．如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设，则，再根据点是的中点得，则，即点将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点将半圆三等分，由此可对①进行判断；连接，根据圆周角定理结合三角形内角和定理可对②进行判断；延长交于，连接，由得，则，再根据垂径定理得，据此可对③进行判断；根据垂径定理得，则，即，推出，在中由，设，则，则，则，进而得，证明得，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：假设， 则， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴点将半圆三等分， 根据已知条件无法证明点将半圆三等分， ∴假设是错误的，故①不正确； 连接， ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ， ∴，故②正确； 延长交于，连接，如图2所示： ， ， ， ∵为直径，， ， ∴，故③正确； ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 即， ， 在中，， ∴可设， 由勾股定理得：， ， ， 在 中，由勾股定理得：， ， ， 是直径， ， ， ， ∴，故④正确．故②③④正确，共3个． 故选：C． 38．如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(    )    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①连接， 在和中， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，即， ， ②，， ， ，且， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 则与相切； ③连接，   ，是圆的切线， 为等腰直角三角形， 为直径， ，， ， 四点共圆， ，故③正确 ④是的直径， ， ， ， ，即， 又，， ， ，即， 由可得，即， 又， ， ， ，，，，， ，即， 解得：，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点． 39．如图，内接于，半径，连接CO并延长交于点D，过点O作半径交BC于点E，连接AE，以下结论：①；②；③；④四边形AOCE为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可． 【详解】令交于点， 由题意得：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确； ， ， ， ， 故四边形为菱形，选项④正确； ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∵， ， ∴，②正确； ，③错误； 综上，①②④正确． 故选：C． 40．如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点E，连接．下列结论：①是的切线；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由切线的性质得，首先连接，易证得，然后由全等三角形的对应角相等，求得，即可证得是的切线判断①，根据三角形的内角和是判断②；根据余角的性质得到，即可得到，判断③；根据相似三角形的性质得到，判断④． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴是的切线，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ， ， ∵，， ∴， ， ， 即，故④正确. 故选：C． 考点06 圆相关最值问题 41．如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，在上取一点，使得，只要证明∽，推出，再根据三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，在上取一点，使得，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴的最小值为5． 故选：B． 42．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 43．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 44．如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【详解】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示：    当时，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 45．如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】作，于E，于M，连接．在中，，则，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，的值最小，最小值为． 【详解】解：作，于E，于M，连接． ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 46．已知如图，，点E在圆弧上运动，点M是中点，线段绕点M顺时针旋转得到线段，，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，使得，连接，过点作交延长线于点，则，由，得到，结合，易证四边形是正方形，由，点M是中点，得到，进而求出，利用勾股定理求出，由旋转的性质得到，推出，易证，推出，即可得到点是在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，当三点共线时，有最小值，根据的最小值为即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接，过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵，点M是中点， ∴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得到， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 当三点共线时，有最小值， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的最短距离，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形全等，找到点F的运动轨迹是解题的关键． 47．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小时，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 48．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，从而可得，再证明四边形是正方形，从而可得，再根据当、、三点共线时，最短，利用勾股定理求得，从而可求得的最小值． 【详解】解：作O关于的对称点，连结，，，， 则，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为D′， ∴为的圆心， ∵是等腰直角三角形的外接圆， ∴，，为斜边的中点， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最短， 此时，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质与判定求线段长，点与圆上一点的最值问题，折叠问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 考点07 “隐圆”相关最值问题 49．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，连接CE，把△BCE沿直线CE翻折得到△B’CE，连接AB’，若AB＝12，BC＝8．则线段AB’的最小值为 ；连接B’D，取B’D的中点F，连接AF，则线段AF的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】连接AC，根据△BCE沿直线CE翻折得到△CE，知C＝BC＝8，即的轨迹是以C为圆心，8为半径的弧，故当与A、C共线时，线段A最小，由AB＝12，BC＝8，即可得到A最小值为AC−C＝4−8，取CD的中点G，连接GF、AG，由G是CD中点，F为D的中点，知FG＝C＝BC＝4，故F点的轨迹是以G为圆心，4为半径的弧，即得F与A、G共线时，AF最小，而AG＝＝10，即得AF最小为AG−FG＝10−4＝6． 【详解】解：连接AC，如图： ∵△BCE沿直线CE翻折得到△CE， ∴B’C＝BC＝8， ∴的轨迹是以C为圆心，8为半径的弧， ∴当与A、C共线时，线段A最小， ∵AB＝12，BC＝8，四边形ABCD是矩形， ∴AC＝， ∴A最小值为AC−C， 取CD的中点G，连接GF、AG，如图： ∵G是CD中点，F为D的中点， ∴FG是△CD的中位线， ∴FG＝C＝BC＝4， ∴F点的轨迹是以G为圆心，4为半径的弧， ∴F与A、G共线时，AF最小， ∵AG＝＝10， ∴AF最小为AG−FG＝10−4＝6， 故答案为：，6． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，勾股定理，根据点与圆的位置关系求最值，解题的关键是掌握折叠的性质，找到和F的轨迹． 50．如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，CE的长为 【答案】 2-2； ； 【分析】在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为． 【详解】解：如图示： 在正方形中， 在和中， ， ， ∴ ∵ ∴ 即有： 点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧， 因此当、、在同一条直线上时，取最小值， ∵, ∴ ∴， ∴的最小值为， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴, 设，则， ∴， ∴ 又∵，， ∴ ∴, 即： 解之得：，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案是：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 51．如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 52．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、最短路径问题，明确问题中的不变元素，化折为直是解题关键． 由可证，进而可证，令为中点，可得，说明点的运动轨迹为在矩形内的半圆上，再根据“最短距离=点到圆心的距离-圆的半径”求解即可． 【详解】解：如图，设中点为，连接． 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 则点的运动轨迹为以点为圆心，为半径，且在矩形中的半圆， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ． 故答案为：． 53．在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ． 【答案】 【分析】由可得四点共圆，且该圆的直径为，可知当时，最小，此时最小，过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理可得，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由是等腰直角三角形，可得，，，即得，再利用的面积可得，设，则，可证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可得，得到，即得到，即可求解． 【详解】解：∵交于点，交于点， ∴， ∴， ∴四点共圆，且该圆的直径为，如图， 由垂线段最短可知，当时，最小，此时最小，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理，垂线段最短，锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 54．如图，在四边形中，，，，于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的有关性质、解直角三角形等知识点，以为直径作与对角线交于点，连接、，因为，为圆上的一个定点，当为的直径时，与重合，的值最小，解直角，即可求出的长． 【详解】解：以为直径作与对角线交于点，连接、，过点作于点，因为所以点一定在上． 如图1所示，设对角线、交于点， 设，∵ ∴为定值， ∴当在上运动时，总经过定点 当不经过圆心时，点一定在圆外， ∵ ∴当经过圆心时，是直径， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，点与点重合，与重合， 此时， 即与重合，的长度为的最小值． 为圆上的一个定点，且 的最小值为． 故答案为： ． 55．等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 【答案】 【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可． 【详解】解：如图一，连接、． 是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ． ， 如图二， 点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动， 当、、在同一直线上最长， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 56．如图，在四边形中，，，，求的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 考点08 圆相关折叠问题 57．小周同学在学习了折叠专题后，决定对扇形的折叠进行研究，首先他剪出一张扇形纸片，按如图1所示方法进行折叠，，为扇形半径，，为折痕，则 ；然后小周又剪出了一个扇形进行不同的尝试，按如图2所示方法进行折叠后，恰好与相切于点F，，为折痕，则 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解；过点F作，交延长线于一点M，连接，，设，，由（1）易得，然后可得，则由勾股定理可得，进而问题可求解 【详解】解：由折叠的性质可知，，设， ∴， ∴在中，， ∴； 过点F作，交延长线于一点M，连接，，如图所示： 设，， 同理可得， ∵恰好与相切于点F， ∴点M即为所在圆的圆心， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为， 【点睛】本题主要考查折叠的性质、切线的性质、圆的基本性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握折叠的性质、切线的性质、圆的基本性质、勾股定理及三角函数是解题的关键 58．如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 【答案】 【分析】连接，设关于的对称点为，连接，根据折叠的性质得出，进而证明，设半径，得出，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，；进而可得，过点作于点，根据，求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设关于的对称点为，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵将劣弧沿弦折叠，关于对称， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 设， ∵是的切线， ∴ ∴， ∵，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， 设半径 ∵，即， ∴， ∴ ∵是直径， ∴， 在中， ∴ ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， ∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】考查了圆周角定理，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，切线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 59．如图，为的直径，将沿弦折叠，折叠后的弧与交于点E，延长与交于点D，若，则 ；当时， ． 【答案】 【分析】当时，连接在上取点E的对称点，连接，证明是等边三角形，此时，点O和点E重合，，即可解答；当时，连接，设，求出，再证明，设，则，得到即，求出，解得解答． 【详解】解：当时，如图，连接在上取点E的对称点，连接， 则是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴此时，点O和点E重合， ∴， ∴； 如图，当时，连接，设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，即， 令，则，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 60．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，为上一点，连接、，与交于点，则 ；若，则 ． 【答案】 / 【分析】如图，作半径于D，连结、． 证明，可得．进一步可得．如图，连接，过作于，证明为等边三角形，设，而，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作半径于D，连接、． ∵将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，，，过作于， 由对折可得：，， ∴， ∴所在的圆的圆心为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴设，而， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 61．图，扇形的圆心角，点C在上，将沿折叠得到，交弧于点E，连接，恰有，若，则的半径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，利用折叠的性质可得：，，，证明是等边三角形，可得，利用四边形内角和可得，进而可得，，从而可得，再在和中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】解：连接，作于点F，如图， 则，， 将沿折叠得到，交弧于点E， ，，， ， ，，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长是， 故答案为： 62．如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠性质、弧与圆心角的关系、勾股定理，补全折叠后的圆并确定最小情况，结合弧的圆心角推导与勾股定理建立方程是解题的关键． 补全弧所在的圆及圆心，连接，，，，由三角形任意两边之差小于第三边得当，，三点共线时最小，所对圆心角的度数为，所对圆心角的度数为，再设半径为，利用勾股定理列方程求解，即可求出． 【详解】解：如图，补全弧所在的圆及圆心，连接，，，， 由三角形任意两边之差小于第三边，得当，，三点共线时最小，设所对圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为， ∵， ∴所对圆心角的度数为， 由折叠得所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为， ∵点为中点， ∴所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为，即， 设半圆的半径为，则由对折可得，， 在中， ， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 63．如图，点是半圆上一点，将弧沿弦折叠交直径于点，点是弧中点，连结并延长交半圆于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接，作于点，圆周角定理得到，，进而推出，三线合一得到，设，，进而得到，，勾股定理推出，，根据等角的正切值相等，推出，进而得到，进而求出的值，勾股定理求出的值即可． 【详解】解：连接，作于点， ∵点是弧中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则：， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 64．如图，AB为半径为8的的弦，弧沿弦折叠经过圆心O，点D为弧上一动点，连接交于点C，点P为的中点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，，作交于点G．连接，．首先证明是等边三角形，再证明点在以为直径的圆上运动．得出当、、在同一直线时，长度最小，再求解可得结论． 【详解】解：连接，，，作交于点G．连接，． 由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 是中点， ， 又， 是中点， 即是斜边中线， ， 即点在以为直径的圆上运动． 所以，当、、在同一直线时，长度最小， 此时，，， 的半径是8，即，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． 考点09 圆相关动点问题 65．如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 66．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作AF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质得BF=CF=4,利用切线的判定方法，当BE⊥DE,直线DE与 相切，则∠BED=90°,然后利用cosB =, 可得cosB =，可求出t的值. 【详解】由题意可知，过点A作AF⊥BC于点F， ∵AB=AC， 则BF＝CF＝4cm， ∴cosB＝， 当直线DE与⊙O相切时，DE⊥AB， 则cosB =， 即，解得. 故选A. 【点睛】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，等腰三角形的性质、三角函数性质，掌握三角函数的性质是解题的关键. 67．如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值． 【详解】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， 设，，则， ∵，， ∴，， 解得：， ∵的半径为1， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质． 68．如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：， ∴， 随着点P在圆上逆时针运动，则当点P与点C重合时，所以，但此时不是面积的最大值； 向下平移直线，得到直线，当与圆O相切于点H时，停止平移， 所以当点P运动到与H重合时，面积达到最大，如图所示，此时排除A、B选项； ∵的面积变化不是随点P的运动成一定确定速度变化的， ∴选项C符合题意； 故选C． 69．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 70．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 71．如图，点A，B的坐标分别为（0，8），（10，0），动点C，D分别在OA，OB上且CD＝8，以CD为直径作⊙P交AB于点E，F．动点C从点O向终点A的运动过程中，线段EF长的变化情况为（　　） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】D 【分析】如图，连接OP，PF，作PH⊥AB于H．点P的运动轨迹是以O为圆心、OP为半径的⊙O，易知EF＝2FH＝2，观察图形可知PH的值由大变小再变大，推出EF的值由小变大再变小． 【详解】如图，连接OP，PF，作PH⊥AB于H． ∵CD＝8，∠COD＝90°， ∴OP＝CD＝4， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心OP为半径的⊙O， ∵PH⊥EF， ∴EH＝FH， ∴EF＝2FH＝2， 观察图形可知PH的值由大变小再变大， ∴EF的值由小变大再变小， 故选：D． 【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知勾股定理及直角坐标系的特点. 考点10 圆与二次函数综合问题 72．如图，线段，点是线段上一动点（不与点，重合），以为直径作，过点作的切线，切点为，若，，则关于的函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，函数图象以及勾股定理，设半径为，连接，则，由得，可求出，由勾股定理得，把代入得，结合可得函数图象． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴ 设则 ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 整理得，， 把代入，整理得， 又 ∴函数图象如图， 故选：C． 73．如图，半径为，圆心，点是上动点，点在二次函数图象上运动，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象及性质，圆，熟练掌握二次函数图象及性质是解题关键． 设出点坐标，求出长度的最小值，进而可求出长的最小值． 【详解】解：设点， ， ， ， 有最小值为， 最小值为， 半径为， 的最小值为． 故选：． 74．已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连，连，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意； ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，，解得：或， ，； ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， ，解得：或， ， ， 四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意； 由抛物线可知， ， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 75．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点与轴交于，的半径为，为上一动点，连接，若为的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，OE是△BAP的中位线，当AP最大时，OE取得最大值，即可求解； 【详解】解：如图1，连接AP， ∵点O是AB的中点，E是BP的中点，则OE是△BAP的中位线， 当AP最大时，OE取得最大值， 当A、P、C三点共线时，AP最大； ∵， 令，解得：； 令，则； ∴点A的坐标为：（，0），点C的坐标为：（0，）， ∴， ∴， ∴OE的最大值为：， 故选：C； 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及圆的基本知识、勾股定理，三角形的中位线的性质等，解题的关键是正确找到点P的位置，使得OE得到最大值. 76．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由得出，，，即可得，过作于，连接，，，再根据圆的性质得，再由垂径定理得，再由的弦心距为得，进而可得点P的坐标，由勾股定理得，再由列等式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C， ∴，，， ∴， 如图，过作于，连接，，，    ∵（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∵的弦心距为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：或． 77．如图，二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，若点D坐标为（0，2），以D点为圆心，R为半径作圆，P为⊙D上一动点，当△APC面积最小为5时，则R＝ ． 【答案】 【分析】如图，作所在直线，垂足为点H．AC为定值，因此当PH取最小值时，△APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H，D共线时，△APC面积最小，根据△APC面积最小为5求出PH，利用求出DH，则． 【详解】解：如图，作所在直线，垂足为点H．AC为定值，因此当PH取最小值时，△APC面积取最小值，连接PD，可知当P，H，D共线时，△APC面积最小． ∵二次函数与x轴交于AB两点（点A在点B左边）， ∴令，得， 解得或， ∴，． 令，得， ∴， ∴，， ∴． ∵△APC面积最小为5，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，三角形的面积，圆的基本知识，解直角三角形等，解题的关键确定△APC面积最小时点P的位置． 78．如图，二次函数的图象与x轴负半轴于点A，与y轴负半轴于点B．点P是线段OA上的动点，以OP为直径构造圆，连结BP交圆于点Q，连结AQ，则AQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】以OB为直径作圆E，连接AE、QE；由∠PQO=90°=∠OQB，可得Q在圆E上，在△AQE中，AQ≥AE-QE，当A、Q、E在一条直线上时，AQ取最小值． 【详解】以OB为直径作圆E，连接AE、QE； ∵y=x2+x-2的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B， ∴A（-2，0），B（0，-2）， ∴E（0，-1）， ∴AE=， ∵PO是直径， ∴∠PQO=90°， ∴∠OQB=90°， ∴Q在圆E上， 在△AQE中，AQ≥AE-QE， ∴当A、Q、E在一条直线上时，AQ取最小值， ∴AQ=， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，以OB为直径构造圆，确定Q点的运动轨迹是解题关键． 79．已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，顶点为，作直线．点是抛物线对称轴上的一点，若以为圆心的圆经过，两点，并且和直线相切，则点的坐标为 ． 【答案】（4，0）， 【分析】先求出A、B、C、D、H点坐标；求出CD解析式，求出与x轴的交点G坐标，利用勾股定理求出DG，求出，过P作PF⊥CD于F，连结AP，易证△GDH∽△PDF利用性质有，设PH长为x，PD=x+，AH=5，AP==PF，解方程即可． 【详解】当x=0时，y=-3，C(0,-3)， ， 顶点D（4，）， 当y=0时，    ， ， A（-1，0），B（9，0）， AB中点H（4，0）， 设CD的解析式为y=kx+b， ， 解得， CD：， ， ， G（）， ∴HG=4-，DH=， 在Rt△DHG中，由勾股定理DG=， ， 过P作PF⊥CD于F，连结AP， 由圆P与CD相切， PF为圆P的半径， ∠GHD=∠PFD=90º， ∠GDH=∠PDF， △GDH∽△PDF， ， 设PH长为x，PD=x+，AH=5， AP==PF， ， 解得x=0或x=不合题意舍去， P（4，0）， 故答案为：（4，0）， 【点睛】本题考查抛物线与两轴的交点坐标，顶点坐标，切线CD的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程及其解解法等问题，掌握抛物线与两轴的交点坐标的方法，会用配方法求顶点坐标，会用待定系数法求切线CD的解析式，会证明相似三角形能利用相似性质求出线段比，会用勾股定理构造方程，一元二次方程及其解解法是解题关键． 80．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为2，M是⊙C上任意一点，连接MB，取MB的中点D，连接OD，则线段OD的取值范围是 ． 【答案】-1≤OD≤+1 【分析】连接AM，当点A、C、M共线时，来求AM的最值，结合三角形中位线定理可以求得OD的取值范围． 【详解】解：由y=-x2+4得到：A（-2，0），C（0，4）． 则AC=2． 连接AM，如图， ∵D为MB的中点，O为AB的中点， ∴OD为△ABM的中位线， ∴OD=AM． 当AM的值最小时，OD的值最小．当直线AC经过点M时，AM最小，此时AM=2-2，OD最小值=AM=-1． 当AM的值最大时，OD的值最大，当线段AC延长线经过点M时，AM最大，此时AM=2+2，OD最小值=AM=+1． 所以线段OD的取值范围是-1≤OD≤+1． 故答案是：-1≤OD≤+1． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，求出线段AM的最大值和最小值是解题关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $