04回归教材 球类运动中的抛物线-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

回归教材 球类运动中日 教材母题 如下图，排球运动员站在点O处练习发球，将 球从点O正上方2m的点A处发出，把球看成 点，其运行的高度y(单位：m)与运行的水平距 离x(单位：m)满足表达式y=a(x-6)2+h.已 知球网与点O的水平距离为9m,高度为2.43m, 球场的边界距点O的水平距离为18m. (1)当h=2.6时，求y关于x的函数表达式： (2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会 出界？试说明理由 球 边界 18元 【思路点拨】(1)利用h=2.6,球从点O正上方 2m的点A处发出，将点(0,2)代入表达式求 出即可；(2)利用当x=9时，代入函数表达式 求出y的值比较高度，当y=0时，代入函数表 达式求出x的值比较距离即可. 【我的解答】 变式训练 1.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境 编制了一道数学题，请解答这道题. 如下图，在平面直角坐标系中，一个单位代 表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成 的抛物线（教材第38页题12） 点)抛出，其运动路线为抛物线C:y=a(x 3)2十2的一部分.淇淇恰好在点B(0,c)处 接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为 抛物线C:y=一言+号x十c+1的一 部分. (1)写出C的最高点坐标，并求ac的值； (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到 点A水平距离不超过1m的范围内可以接 到沙包，求符合条件的n的整数值. y/m个 3外 -C2 B A 0 6 x/m 2.任意球是足球比赛的主要得分手段之一.在 某次足球比赛中，李明站在点O处发出任意 球，如下图.把球看作点，其运行轨迹的高度 y(单位：m)与水平距离x(单位：m)满足函 数表达式y=a(x-12)2+h.李明罚任意球 时，防守队员站在李明前方8m处组成人 墙，防守队员的身高为2m,对手球门与李明 的水平距离为18m,已知足球球门的宽是 7.32m,高是2.43m. 下册限时周测 113 0 12 18x (1)当h=3时，求y与x的函数表达式； (2)在第(1)问的前提下，足球能否越过人 墙？足球能否直接射进球门？请说明理由. 3.如下图，某学校九年级的一场篮球比赛中， 队员甲正在投篮.已知球出手时离地面的高 度为9m,与篮圈中心的水平距离为7m,当 球出手后，水平方向行进4m时到达最大高 度4m.设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地 面3m. (1)此球能否准确投中？ 0-4m平3m 114 九年级数学XJ版 (2)如果此时对方队员乙在甲前1m处跳起 盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么 他能否成功拦截？ 4.(2024娄底新化模拟)甲、乙两人进行羽毛球 比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部 分，如下图，甲在点O正上方1m的点P处 发出一球，羽毛球飞行的高度y(单位：m)与 水平距离x(单位：m)之间满足函数表达式y =a(x-4)2十h.已知点O与球网的水平距 离为5m,球网的高度为1.55m. y个 、0 乙 0八 (1)当a= 24时，求h的值并判断此球能否 过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m,离地面的高度为号m的 Q处时，乙扣球成功.求a的值.则ME=(号x-4）-(号-音x-4=-号2+4x -专(x-8）+3. :-专<0，ME有最大值. 由题意可知，0<x<3, “当x=号时，ME有最大值，最大值为3， 此时点M的坐标为（名，-5）： 13.解：1)由题意可得m=51-3,m,=2+10=6, 2 2 .EF=6-3=3. (2)> (3)f1<f,.点P离抛物线L1的对称轴更近， .n+3-3<|2n-1-3|, .(n+3-3)2-(2n-1-3)2<0,.n2-(2n-4)2<0, .(n+2n-4)(n-2n+4)<0,即(3n-4)(-n+4)<0, 3m-4<0·或 n一0解得<号或心>4n的取 -n十4>01-n+4<0, 值范围为a<号或>4 周测三(1.5) 1.D2.C3.A4C5.D6号7告8，@© 9.解：(1)设降价x元. 根据题意，得(120-x-80)(20+2x)=1200, 解得1=10，x2=20. 故为兼顾顾客利益，应降价20元销售，此时售价为100 元/件. (2)①设涨价a元，每天的利润为1元， 则=(120-80+a)(20-a)=-a2-20a+800=-(a+ 10)2+900. :a≥0，-1<0，∴.当a=0时，取得最大值，最大值为 800元， 此时售价为120元/件； ②设降价b元，每天的利润为2元， 则2=(120-80-b)(20+2b)=-262+60b+800=一2(b -15)2+1250. -2<0,.当b=15时，取得最大值，最大值为1250元， 此时售价为105元/件， 800<1250,.售价定为105元/件时，每天的利润最大，最 大利润为1250元. 10,解：(1由题意可知，弛物线C:y=一名+十c过点0， )和(6，号)将其代入， 4=c, fc=4, 得17=-1×6+6b什c, 解得 1b= 3 2 8 2 (2)由1)可知，抛物线C的表达式为y=-令x+号x +4. 设当小张滑出后离点A的水平距离为mm时，他与小山坡 的竖直距离为专m 根搭题意，得一名m十号m十4一（一立m十专m十专）】 整理，得(m十4)(m-8)=0,解得m=8,2=-4(不符合 题意，舍去) 故当小张滑出后离点A的水平距离为8m时，他与小山坡 的竖直距离为专m (3)抛物线C2经过点(0,4)，∴.c=4. :范物线C:y=一立r+学+号=立x一8)+号 .当x=8时，小张到达坡顶正上方 '小张在坡顶正上方时，与坡顶的距离不低于3， 吉×8+86叶≥3+婴6>费 回归教材球类运动中的抛物线 教材母题 解：(1)当h=2.6时，y关于x的函数表达式为y=a(x-6)2 +2.6. 将点(0,2)代入，得2=36a+2.6,解得a=一60： 1 故y关于x的函数表达式为y=一品（红一6)+26 (2)球能越过球网，但会出界.理由如下： 当=9时=高×9-6+2.6=2.46 当y=0时，一而（红-6）十2.6=0，解得=6+2丽，西 =6-2√39（不符合题意，舍去）. 2.45>2.43,6+2√39>18， 球能越过球网，但会出界. 变式训练 1.解：(1)抛物线C:y=a(x-3)2十2， .C1的最高点坐标为(3,2). .点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2十2上， .1=a(6-3)2+2, a=-， “抛物线Cy=一号（红-3）十2. 当x=0时，y=1,∴c=1. (2)由题意可知，嘉嘉可以在连接点(5,1)，(7,1)的线段上的 一点接到沙包. 当抛物线C经过(6,1时，1=一令×25+名×5+1+1， 解得=。 当抛物线C经过(7,1)时，1=一日×49+公×7+1十1， 解得n=号≤<号 .n为整数，∴.n可以为4或5. 2.解：(1)当h=3时，y=a(x-12)2十3. :抛物线y=a(x-12)2十3经过点(0,0)， .0=a(0-12)2+3,解得a=一481 下册参考答案 185 1 六y与x的函数表达式为y=一48x-12)+3. (2)足球能越过人墙，能直接射进球门.理由如下： 当x=8时y=一衣×(8-12y+3=号>2， ∴足球能越过人墙， 当x=18时，y=一8×(18-12)2+3=2.25<2.43， .足球能直接射进球门 3.解：(1)由题意可知，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为 (0,9)4,40.73. 设该抛物线的表达式为y=a(x一4)”十4. 将(0，智）代人，得9-16a十4，解得a=古 9 ∴该抛物线的表达式为y=一g(x-4)2十4. 当x=7时y=-日×7-4+4=3， ∴·此球能准确投中 (②》将=1代入一-4+4，得y=3. 3<3.1,.他能成功拦截. 4.解：(1)当a= 一时y=一一0+h 将P(0,1)代人，得一×16十h=1,解得A=吾， 函数表达式为y=一 x-0+号 把x=5代入y=红-4+号， 得y=-7×6-40+号-1.625. .1.625>1.55,.此球能过网 (2)将0,1).(1，号)代入y=a(x-4)2+, 1 16a+h=1, a= 51 (9a十h=12解得 故a的值为一合 5 周测四（第1章） 1.C2.C3.D4.D5.D6.47.1≤x48.-1 9.y=-日2+号x+410.180 11.解：(1)二次函数的图象经过点(0,4)，.c=4. ”对称轴为直线x=一合=1,6=一2， ∴此二次函数的表达式为y=x2-2x十4. (2)设函数为=-y1=x2十3x十m-4, 则对称轴为直线x=一是<0， ∴.当0≤x≤1时，y随x的增大而增大， .当x=0时，y有最小值，即2一y有最小值，最小值为 m-4. 总有2≥y12-y1≥0， ∴.m一4≥0，∴.m≥4.故实数m的最小值为4. 12.解：(1)：抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A(-4,0), B(2,0)两点， 186 九年级数学J版 :16a-6-8=0解得a=1, (4a+2b-8=0, b=2, .抛物线的函数表达式为y=x2十2x一8. y=x2+2x-8=(x十1)2-9， .抛物线的顶点坐标为（一1，一9）. (2).抛物线y=x2十2x一8与y轴交于点C, .C(0,-8). 设直线AC的表达式为y=mx十n, 则/4n十n=0,】 n=-8, 解得m一2， n=-8, .直线AC的表达式为y=-2x-8. 设P(t,t+2t-8). 如图，过点P作PF∥y轴，交AC于点F,A 则F(t,一2t-8), .PF=-2t-8-(t+2t-8)=-t2-4t, i.Sme-SmP(4 +2PF.(-)=2PF=2(-t-4)=-2+22+8. -2<0, .当t=一2时，S△Pc有最大值，最大值为8，此时点P的坐 标为(-2，一8). 13.解：1在=子十6中，令x=0,得y=6 .B(0,6): 令y=0,得x=-8,∴A(-8,0). (2)设C(m,子m十6），设抛物线的表达式为y=a(x m)+m十6 抛物线M经过点B, 将B0.6代人，得am十子m十6=6 m0m=一子即m=品 将m=是代入y=a一m+子m十6， 整理，得y=ar十号十66=是=6， (3)如图. :CD∥x轴，点P在x轴上， ∴设P(p.0).C(m,是m+6) 点C,B分别平移至点P,D, ∴点B,C向下平移的距离相同， “子m十6=6-（子m十6），解得m=-4 由2)可知m=一最， 3 .a=16 “抛物线N的函数表达式为y=是（红一p) 将B(0,6)代入，可得p=士4W2, :抛物线V的函数表达式为y=是红-4)或y=。红 +42)2.