精品解析：四川省南充市西充中学2025-2026学年高一上学期1月期末模拟考数学试题（18-21班）

四川省南充市西充中学2025-2026学年高一上学期1月期末模拟考数学试题（18-21班） 时长：120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例可判断A、B、D是假命题；利用作差法比较大小可判断C正确. 【详解】对于A，当时，不成立，故A是假命题； 对于B，当时，不成立，故B是假命题； 对于C，因为，则，所以，故C是真命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：C 3. 设有意义，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由有意义，可得，此时显然成立， 若，显然成立，但是没有意义， 故选：A 4. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， 由扇形的面积公式,得，解得， 由弧长公式， 故选：B 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性并借助“媒介”数即可得解. 【详解】函数在R上单调递减，则有， 函数在上单调递减，则有， 函数在上单调递增，则有，所以. 故选：B. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 7. 已知是第三象限角，化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由是第三象限角，得，再根据同角三角函数的关系化简求出. 【详解】是第三象限角， ， 故选：C. 【点睛】本题考查同角三角函数的化简，属于基础题. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若时，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】结合为偶函数与可得函数周期，结合函数周期计算即可得解. 【详解】由函数是定义域为的偶函数，则有， 由，则，故， 则，即， 则，故周期为， 则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法中正确的是（ ） A. 若角是锐角，则是二象限角 B. C. 在中， D. 若角终边关于y轴对称，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据角的概念直接运算求解；对于B,利用化简求解；对于C,利用三角形的内角和为，诱导公式求解；对于D, 根据角的概念直接运算求解； 【详解】对于A，，则，故不一定是二象限角，A错误； 对于B, ，故B正确； 对于C, 在中，，故C正确； 对于D, 若角终边关于y轴对称，则，故D错误； 故选：BC. 10. 若，函数值域是，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD 11. 已知函数以下说法正确的是（ ） A. 对，都有 B. 若且，则 C. 若有4个不相等的实根，则的范围是 D. 函数有4个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据解析式画出函数图象，利用定义域得出值域即可判断A正确，再利用作差法可得B错误，由方程根的个数限定出各根的取值范围，再由对称性得出的表达式求出其范围取值，可判断C正确，令，可得与的图象仅有3个交点，可知D错误. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 对于A，由可得， 且可得， 因此对，都有，即A正确； 对于B，若且， 可知 ， 所以，即B错误； 对于C，若有4个不相等的实根，由图可知， 不妨设，可得关于对称，即； 且，且，即； 则， 因此可得的范围是，即C正确； 对于D，令，可得或或 显然与的图象仅有3个交点，和与的图象各有1个交点； 即函数有5个零点，即D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象再由方程根的个数和零点与图象交点个数的关系，计算出各零点的取值范围可得所有零点之和的取值范围，得出结论. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 从四个函数，，，中选出两个函数，分别记为和，若的图象如图所示，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】观察图像确定函数的定义域和奇偶性，再结合函数的单调性，确定的解析式. 【详解】根据图像可知，函数的定义域为， 所以一定包含,一定不包含, 故或者, 若,则为奇函数,图象关于原点对称，与题中图像不符合, 故,不成立. 若, 当时,单调递减,单调递减,所以在上单调递减； 当时， 任取,,且, 则, , 因为,，且,所以,, 当时, , 所以,即所以在上单调递减 当时,, 所以,即所以在上单调递增, 符合题意. 故答案为： 14. 已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据对数型函数的图象，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 当时，，因此有， 由， 于当，即当时，因为， 所以，由函数图象可知， ，， 因为， 所以，所以， 因为函数在上的最大值与最小值之差为2， 所以， 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想得到，再根据函数的单调性进行求解. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）若集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的值域求出集合A，解一元二次不等式求出集合B，再结合并集与补集的概念及运算求解即可； （2）由可得，列不等式组即可求得a的取值范围. 【小问1详解】 由已知 即． 由得：或 ∴．． ∴． 【小问2详解】 ∵ ∴． ∴．． 解得： 即a的取值范围为． 16. 已知函数. （1）若无零点，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数性质及零点个数有，即可求参数范围； （2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. 【小问1详解】 由无零点，则，可得； 【小问2详解】 由，即， 当，可得解集； 当，可得解集为； 当，可得解集为. 17. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解，代入计算即可； （2）结合弦切互化利用诱导公式化简，代入计算即可. 【小问1详解】 由三角函数定义可得， 所以； 【小问2详解】 . 18. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. （1）求； （2）小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】（1） （2）至少需要等待60min （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入相应数据运算即可； （2）根据题意可知，，代入运算即可； （3）根据题意可得水的温度由冷却到，需要，再加热8min，结合题意求水温即可. 【小问1详解】 已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，， 可得，解得， 所以至少需要等待60min. 【小问3详解】 设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要8min加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要60min， 显然，则， 所以经过98min后，此时壶中水的温度是. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）求证：； （3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据，函数为上的奇函数，为上的偶函数得联立方程组即可求解； （2）由（1）得函数和的解析式代入即可得证； （3）由（1）知，函数为上的单调增函数， 函数在区间上的值域是，得关于的方程有两个互异实根，令，方程有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解. 【小问1详解】 函数为上的奇函数，为上的偶函数，且， 即 解得. 函数均为上增函数， 函数为上的增函数，合乎题意. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， . 又，则. 由（1）知，函数为上的单调增函数. 函数在区间上的值域是， 即 关于的方程有两个互异实根. 令方程有两个互异正根. 解得. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省南充市西充中学2025-2026学年高一上学期1月期末模拟考数学试题（18-21班） 时长：120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 设有意义，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 设，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是第三象限角，化简得（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若时，，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法中正确的是（ ） A. 若角是锐角，则是二象限角 B. C. 在中， D. 若角终边关于y轴对称，则 10. 若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 已知函数以下说法正确的是（ ） A. 对，都有 B. 若且，则 C. 若有4个不相等的实根，则的范围是 D. 函数有4个零点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 13. 从四个函数，，，中选出两个函数，分别记为和，若图象如图所示，则__________. 14. 已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为__________. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）若集合，若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数. （1）若无零点，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 17. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值：. 18. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min. （1）求； （2）小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？ 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）求证：； （3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $