四川省雅安市2025-2026学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

雅安市高2023级第一次诊断性考试 数学试题 （本试卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。 3. 考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1. 已知集合| <0}，，0，1，2，3}，则 A.{-1，0，.{-1，0，1，.{1，2，.{2，3} 2. 若复数z满足，则z = A.1 + i   B..i   D. 3. 若，则 A.    B.    C.    D. 4. 已知平面向量a与b的夹角为，(0，1)，|b|，则||= A.2   B.    C.    D. 5. 已知函数则方程f(x)的实数根的个数为 A.1   B.2   C.3   D.4 6. 已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为 A.（1，2）   B.    C.    D.（2，+∞） 7. 在钝角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 A.    B.   C   D 8.在正四棱台 中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为 A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，函数 的图象过 ， 两点，则 A. B. C. 在区间 上的值域为 D. 将 的图象向右平移 个单位后得到的函数的图象关于直线 对称 10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 为 上异于顶点的一点，则下列说法正确的是 A. 当 时， 的离心率为 B. 当 的面积的最大值为2时， 的长轴长的最小值为4 C. 已知 ，，，当点 位于第一象限时，四边形 的面积的最大值为 D. 已知 ，，则直线 与直线 的斜率之积为 11.如图，已知正方体 的棱长为4，， 分别是 ， 的中点， 是正方形 内（含边界）一动点，则下列说法正确的是 A. 当 ，，， 四点共面时，点 的轨迹的长度为 B. 平面 截正方体所得的截面的形状可能是五边形 C. 一定是锐角三角形 D. 当正方形 内（含边界）一点 满足平面 平面 时， 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上 12.计算： 13.甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为____. 14.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线C为卡西尼卵形线且过坐标原点O，其中两定点为，，曲线C上点P在第一象限内且满足的面积为2，则 四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知等差数列的前n项和为，且，. （1） 求数列的通项公式； （2） 数列满足，为的前n项和，证明：. 16.（15分）某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）： 专业类型 阅读偏好 合计 喜欢阅读纸质书 不喜欢阅读纸质书 文科 150 120 270 理工科 50 80 130 合计 200 200 400 （1） 依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型有关？ （2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为X，求X的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)如图所示，在中，，，E，F分别是边BA，BC上的动点，且，将沿EF折起，将点B折至点P的位置，使得二面角为直二面角。 （1） 证明：平面PAC； （2） 证明：平面AEFC； （3） 若，D为AC的中点，求直线PD与平面PCE所成角的正弦值。 18.（17分）已知函数。 （1） 若，证明：； （2） 令，若函数F（x）在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； （3） 若，证明：。 19.（17分）已知曲线C上的动点Q满足，其中，，抛物线的焦点为F，点M在抛物线E的准线l上，线段MF与抛物线E交于点N，，。 （1）求曲线C的方程和抛物线E的方程； （2） 点是抛物线E上的动点，过点P作曲线C的两条切线分别与l交于S，T两点，求的面积的最小值及此时点P的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $