精品解析：浙江省慈溪中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷强基 （二）

慈溪中学核心素养（二） —、选择题（每小题5分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 如果，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 2. 一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 3. 对于任意给定的，其所在平面上的点P满足，，的面积相等，则这样的点P的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．点P满足，，面积相等，即点P到三边距离与边长成反比. 满足面积比的条件可得点P轨迹为通过A、B、C的直线，这些直线相交产生4个点（包括重心和3个外部点），且均满足面积相等． 【详解】解：过点A作，过点B作，过点C作， 交点分别为， 则四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质，得，，的面积相等，同理可证，，，的面积相等，，，的面积相等， 故这样的点P有3个； 当点是三角形中线的交点时，，，的面积相等，都等于 面积的 故点P的个数为4． 故选：C． 4. 若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，完全平方公式和非负数的性质，熟练掌握相关知识的关键． 由，可得，．利用不等式的性质和完全平方公式，在左边配方成，此时右边为，运用非负数的性质判断的范围，同理②③也可以判断出范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故①正确； 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故②正确； 同理可得，③也正确，共3个． 故选：D． 5. 如图，在中，于D，交于E，交于F，点O在内，且到，，，的距离都相等，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O分别作、、、的垂线，垂足为、、、，连接并延长，交于点，连接，由题意可得，．根据三角形内角和定理，可以计算出，结合题干，容易证明出，，运用全等三角形的性质可以得出，进一步证明．通过等量代换可以得到，则可以证明，因此． 【详解】解：如图，过点O分别作、、、的垂线，垂足为、、、，连接并延长，交于点，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，四边形也是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，矩形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 6. 用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A. 1019090 B. 1021110 C. 1023132 D. 1025156 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小的规律，从特殊到一般的规律的探究是解题的关键．本题需要先找出的规律，再根据规律计算的值，最后根据已知条件求出的值． 【详解】解：设为距离最接近的整数，即， 当时，，解得， 所以，此时， 当时，， 解得， 所以，此时， 当时，，解得, 所以,此时， 以此类推，可以发现当时，的和为2，且对应的的个数为， 因为每个的和为2，所以，即一共有1012组，每组对应的的个数为个， 1025156． 故选：D． 二、填空题（每小题5分，共30分） 7. 有四名候选人A，B，C，D参加学生会选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A，B得票之和超过C，D得票之和，候选人A，C得票之和与B，D得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是______． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 不等式两边加上或减去同一个数或者式，不等式仍成立，根据不等式的性质比较每个人得票的数量即可． 【详解】解：设四名候选人A，B，C，D得票数分别为，，，， 由题意可知， ， 将，得， ， 化简，得， 将，得， ， 化简，得， 综上，． 故答案为：，，，． 8. 设x，y都是正整数，且满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，求一元一次不等式的整数解，已知字母的值，求代数式的值． 根据不等式的性质，可得，结合已知可得，求整数解，可得，，代入计算即可． 【详解】解：∵，都是正整数，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，，是正整数， ∴的可能取值为，，，， 当时，，， ∵， ∴，无正整数解， 当时，，， ∵， ∴，无正整数解， 当时，，， ∵， ∴，有正整数解， ∴，，，符合题意， ∴， 当时，，， ∵， ∴，有正整数解， 此时，，与“”矛盾， ∴的值为． 故答案为：． 9. 如图，是线段的中点，点在线段上，，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的内角和定理的应用，延长至，使得，证明，可得，，根据已知可得，则，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得 ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为：． 10. 小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支______元，蓝笔每支______元． 【答案】 ①. 13 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，正确掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据题意，列出二元一次方程，再通过排除法，笔价不能是35的因数或18的因数，从而判断出满足题意的二元一次方程的解即可求解． 【详解】解：设红笔单价为x元，蓝笔单价为y元， 根据题意，可得，， x，y都是正整数，且， 满足条件的解有8个，分别为， ，，，，，，，， 他无论怎样买都不能恰好把35元用完， x和y不能为35的因数，即不能为1，5或7， ， 如果 x和y 中有一个或两个是18的因数，则存在购买的个数使得费用为18元， 那么每种笔再多买一个即17元，总花费为元， x和y 不能为18的因数，即不能为1、2、3、6、9， 满足条件的解只有， 验证：设购买红笔a个，蓝笔b个， 根据题意可得，，此方程没有非负整数解， 即当红笔每支13元，蓝笔每支4元时，小张无论怎样买都不能恰好把35元用完． 故答案为：13；4． 11. 如图是3×3的正方形网格，在所给网格中以格点A，B为其中两个顶点，在下列每个网格图中各画出一个顶点都在格点上，有一组对角之差为，且互不全等的四边形． 【答案】 如图四边形即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了在正方形网格中作图，四边形的内角问题，勾股定理及其逆定理． 对于第一个图，由网格特征可得，；对于第二个图，由网格特征可得，；对于第三个图，若连接，根据勾股定理以及逆定理可得为等腰直角三角形，则． 【详解】略 12. 如图，已知O为原点，点A的坐标为，在直线上找一点B，使，点C在双曲线上，，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合等知识，过点作轴于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，设点，根据两点间的距离求出点的坐标，得到，通过解直角三角形得到，再得到，求出，证明，得到，再求出，得到，求出，再分别求出，，，的长，设点，求出，，得到点，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图： 设点， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 设点， ∴， ， ∴点， ∵点C在双曲线上， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第13题10分，第14、15题各16分，共42分） 13. 设正整数x，y，z满足，，求x，y，z． 【答案】 或或或或或或或或或． 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质；方程的解，由可得，进而解得，又有x，y，z为正整数可得，4，5，6，当时，可得，从而解得或或或或，同理解出当，5，6时y、z的值即可． 【详解】解：∵x，y，z为正整数，且，， ∴， ∵， ∴， ∴． 当时，原方程等价于，则，即， 当时，， ∴， 同理得：或或或， 当时，原方程等价于，则，即， 当时，， ∴， 同理得：或， 当时，同理得：， 当时，同理得：， 综上可得：或或或或或或或或或． 14. 设关于的方程两实根分别为，，已知，且． （1）求的值． （2）求代数式的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）的值为； （2）代数式的值为； （3） 的值为或． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，，代入完全平方公式计算，即可得的值； （2）由已知结合的值，可得，整体代入计算即可； （3）根据题意可得，，分类讨论，去绝对值，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程两实根分别为，， ∴，，， ∴，，或， 又∵，， ∴， ∴，或（舍去）， ∴的值为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ∴代数式的值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵关于的方程两实根分别为，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由得， 由得， ， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， ∵， ∴当时，无解， ∴的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式，已知式子的值，求代数式的值，解绝对值方程． 15. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在线段上运动，把线段绕点C沿顺时针方向旋转得线段，连接AD，作轴于点H． （1）当点C运动到时，求的长． （2）在（1）的条件下，求点D的坐标． （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，求出点，，通过解直角三角形得到，证明为等边三角形，得到，证明四点共圆，求出，得到，，根据勾股定理求出，再求出，即可求解； （2）求出，，即可得出的坐标； （3）延长到，使，连接，则，证明，得到，得到，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 对， 令，解得：， ∴ 令，解得：， ， ，， ， 又， 为等边三角形， ， 四点共圆， ， ， ， ，， 在中，， 由旋转可得：， ∵点， ∴， ∴， 在中，，即 解得：或(舍去)， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ； 【小问3详解】 解：如图，延长到，使，连接，则， ，， ， ， 又四点共圆， ， ，即， 又，， ， ， 在中，， ∴， ，即． 四、综合实践类试题（共18分） 16. 矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． （1）如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． （2）如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 【答案】（1）①的长为或；②的长度为 （2） 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，具有极强的综合性，解题的关键在于添加准确的辅助线确定运动状态． （1）①对点P的落点进行分类讨论，分析当点落在、边上，结合折叠性质，矩形的性质，勾股定理，依次计算可得的边长，令，通过等量关系得出对应方程，进行求解即可；②由关键信息，结合折叠性质，可得出，，通过假设，得出相关线段的表达式，利用方程解出答案； （2）令，，根据特殊平行四边形的性质，得出其他线段的表达式，结合勾股定理，得出，通过角度关系，证出，也能得出的另一种表达式为，故可得方程，解出即可得出的值． 【小问1详解】 解：①当点落在边上时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∵，得， 在中，由勾股定理得， ∴， 令， ∴， 又∵， 由得， 得方程， 解得， 故此时的长度为； 当点落在边上时，连接，如下图所示： 由，可得， 解得， ∴， 令， ∴， 在和中， ，, ∴， 可得方程 解得， 故此时的长度为； 综上，当点落在矩形的一边上，的长为或． ②连接、、、、，过点作交于点，延长交于点，如下图所示： 根据翻折的性质，可得， ∴， ∵， 故， 观察图象，可知， ， ∴要满足，应满足， 令，则， ∵翻折的性质， ∴， 在中，可得， 在中，可得， ∴， ∵， ∴为的角平分线，结合， ∴，且点为中点， ∴， ∵， ∴， 得方程， 解得或， 故的长度为． 【小问2详解】 解：延长交于点，如下图所示： ∵翻折的性质， 得，， ∵平分， ∴，， 故四边形为正方形， 令，， ∴， 由， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 得方程， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 慈溪中学核心素养（二） —、选择题（每小题5分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 如果，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（ ）． A. B. C. D. 3. 对于任意给定的，其所在平面上的点P满足，，的面积相等，则这样的点P的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，在中，于D，交于E，交于F，点O在内，且到，，，的距离都相等，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A. 1019090 B. 1021110 C. 1023132 D. 1025156 二、填空题（每小题5分，共30分） 7. 有四名候选人A，B，C，D参加学生会选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A，B得票之和超过C，D得票之和，候选人A，C得票之和与B，D得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是______． 8. 设x，y都是正整数，且满足，，则的值为______． 9. 如图，是线段的中点，点在线段上，，，，则的度数为______． 10. 小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支______元，蓝笔每支______元． 11. 如图是3×3的正方形网格，在所给网格中以格点A，B为其中两个顶点，在下列每个网格图中各画出一个顶点都在格点上，有一组对角之差为，且互不全等的四边形． 12. 如图，已知O为原点，点A的坐标为，在直线上找一点B，使，点C在双曲线上，，，则k的值为______． 三、解答题（第13题10分，第14、15题各16分，共42分） 13. 设正整数x，y，z满足，，求x，y，z． 14. 设关于的方程两实根分别为，，已知，且． （1）求的值． （2）求代数式的值． （3）若，求的值． 15. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在线段上运动，把线段绕点C沿顺时针方向旋转得线段，连接AD，作轴于点H． （1）当点C运动到时，求的长． （2）在（1）的条件下，求点D的坐标． （3）求的值． 四、综合实践类试题（共18分） 16. 矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． （1）如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． （2）如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $