《5.1分式及其基本性质》讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦分式概念及基本性质核心知识点，前承分数知识，通过类比迁移引入分式定义，明确分式有意义、无意义及值为0的条件，进而推导分式基本性质，结合约分、符号法则等应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以京张高铁行程、购买苹果等实际问题创设情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过类比分数性质推导分式性质，培养推理意识与数学思维。课堂探究与分层检测结合，课中助力教师高效授课，课后知识清单与强化训练帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第五章分式与分式方程第一节分式及其基本性质》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解分式的概念，能准确判断一个式子是否为分式，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件。 2.类比分数的基本性质，推导并掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的变形（约分、符号化简等）。 3.经历分式概念形成和性质探究的过程，体会从具体到抽象、类比迁移的数学思想，提升逻辑推理和运算能力。 4.能运用分式的概念和基本性质解决简单的实际问题，感受分式在生活中的应用价值。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.分式的概念及分式有意义、无意义、值为0的条件。 2.分式的基本性质及应用性质进行分式变形。 （二）难点 1.理解分式值为0的条件（同时满足分子为0且分母不为0）。 2.运用分式基本性质时，准确把握 “ 分子分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式 ” 的限制条件。 ) 三．课前预习 1.一般地，如果A、B表示两个______，并且B中含有______，那么式子叫做分式，其中A叫做分式的______，B叫做分式的______。 2.分数有意义的条件是分母不为0，类比分数，分式有意义的条件是______；无意义的条件是______。 3.当分式的______为0且______不为0时，分式的值为0。 4.分数的基本性质：分数的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的数，分数的值______。类比分数的基本性质，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的______，分式的值______。用式子表示为：= ， = （其中C是______的整式）。 5.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变______个，分式的值不变。用式子表示为：== -， = 。 四．课堂探秘 探究一：分式的概念 2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大编回了北京市到效家扫市的旅程时间，京张高速铁路正线全长174km；在这条线路上，早列车的平均行驶速度是已列车的2信， 设乙列车的平均行驶速度为xkm/h， 请回答下列问题： （1）乙列车从北京市到张家口市的行软时间是多少? （2）甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少? 【思考】 （1）李叔叔计划用x元购买一批单价为a元/kg的苹果，由于购买量大。现每千克便宜了b元，那么李权权现在可以购买多少千克苹果? （2）在2022年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续装播。据统计，这项赛事前a天目均收看人数为m万，后b天日均收看人数为 n万，那么这(a+b)天该赛事的日均收看人数为多少万? 【交流】 上面问题中出现了代数式,，，，它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?与同伴进行交流。 1.核心定义： 形如（A、B是整式，且B中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。 备注：л是常数，分母含л不算含字母。 2.关键条件 （1）分式有意义：分母不为0（B≠0）； （2）分式无意义：分母为0（B = 0）； （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（A = 0且B≠0，两者缺一不可）； （4）分式值为正：分子、分母同号（A > 0且B > 0，或A < 0且B < 0）； （5）分式值为负：分子、分母异号（A > 0且B < 0，或A < 0且B > 0）。 例1．下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 例2．若分式的值为0，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）判断分式时，只看原始形式，不化简； （2）分母为多项式时，需令整个多项式不为0。 探究二：分式的基本性质 问题：类比分数 = =， == ，思考分式是否有类似性质？ 猜想：分式的分子分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 验证：设 A = 2，B = 3，C = 4， 左边=，右边=； 左边=右边；性质成立； 再取 C = 2，；性质仍成立。 探究三：分式化简——约分 问题2：如何运用分式的基本性质化简？ 步骤1：找出分子分母的公因式（3xy）。 步骤2：根据分式基本性质，分子分母同时除以公因式3xy，得 1、约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2.约分的步骤 （1）找公因式： ①系数：取分子、分母系数的最大公约数； ②字母：取分子、分母中相同字母的最低次幂； ③多项式：先分解因式，再找相同因式的最低次幂。 （2）约去公因式：分子、分母同时除以公因式，化为最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。 例3：单项式型约分 化简： 例4：多项式型约分 化简： 探究四：分式的符号法则 观察：= -，= -，=，你发现了什么规律？ 结论：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中两个，分式的值不变；改变一个或三个，分式的值改变。 五．课堂检测 （一）．选择题 1．式子，，，，中是分式的有（　　）个. A．5 B．4 C．3 D．2 2.当时，对于分式的说法正确的是（　　） A．分式的值为0 B．分式的值为 C．分式无意义 D．分式有意义 3．若分式 有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．各边都不相等的三角形 D．直角三角形 4．若实数，满足，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的 6．下列各式中，正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 7．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知分式的值为0，那么x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2 9．当x=6，y=﹣2时，代数式的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 10．已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是（　　） A．3 B．2 C． D． （二）．填空题 11.若分式有意义，则a的取值范围是　　． 12.当x=　　时，分式的值为0． 13.当a=2024时，分式的值是　　． 14．某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是　　元/千克． 15.已知a=2x，b=2y，x+y=100xy，那么分式的值等于_______. 16．不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 17.已知分式的值为0，那么x的值是 18．下列式子：①；②；③；④．其中，成立的是 （填序号）． 19. 请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1．你所写的分式为 ． 20.已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为______. （三）．解答题 21. 已知分式． （1）当____时，分式的值等于零； （2）当____时，分式无意义； （3）当___且___时分式的值是正数； （4）当____时，分式的值是负数． 22．约分： （1）； （2）； （3）． 23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　　是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④． （2）若a为正整数，且为和谐分式，a＝　　； （3）利用和谐分式，化简 24.解不等式(x－2)(x＋3)>0. 解：由实数的运算法则“两数相乘，同号得正” 得①或② 解不等式组①得x>2， 解不等式组②得x＜－3， 所以原不等式的解集为x>2或x＜－3. 阅读例题，尝试解决下列问题： （1）平行运用：解不等式x2－9>0； （2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围． 25．已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 26．探索： （1）如果=3+，则m=　　； （2）如果=5+，则m=　　； 总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m　　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成______的形式，如果______中含有字母，那么称这个式子为分式，其中A叫做分式的______，B叫做分式的______。 2.分式有意义的条件是______不为零；分式无意义的条件是______为零。 3.分式的值为零的条件是：分子的值______且分母的值______。 4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个______的整式，分式的值______，用式子表示为=，= （其中M是______的整式）。 5.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的______约去，叫做分式的约分；约分的结果是______或______。 6.分子与分母没有______的分式叫做最简分式。 7.若分式有意义，则x的取值范围是______。 8.若分式 的值为零，则x的值为______。 9.化简分式的结果是______，依据是分式的______。 10.若=，则=________,=_________，体现了分式的______。 11.分式与的关系是______，与的关系是______。 12.把分式的分子分母同乘3，得到的分式是______，它与原分式的值______。 （二）强化训练 一．选择题 1．下列式子中，属于分式的是（　　） A． B． C．2x D． 2．若分式无意义，则x的值是（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 3．已知分式的值为0，则（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1 4．已知分式(其中，为常数满足表格中的信息： 的取值 分式 无意义 值为 值为 则的值是(　　) A． B． C． D． 5．关于分式，下列说法正确的是（　　） A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍 B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍 C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变 D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变 6.下列各分式约分结果正确的是（　　） A．＝ B．＝a+b C．＝1﹣a D．＝ 7．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（　　） A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍 8．下列分式运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　） A． B． C． D． 10．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 二．填空题 11．当x　 时，分式有意义． 12．当a＝4b时，的值是　　． 13．当a＝2023时，分式的值是　　． 14．已知，则＝　　． 15．化简：＝　　． 16．若，则的值是　6　． 17.当x的取值范围为　     　时，分式的值为负数． 18.当a　     时，分式的值不小于0． 19.已知a2﹣3a+1=0，则分式的值是（　　） 20.若表示一个整数，则整数a可以取　       　． 三．解答题 21. 已知，取哪些值时： （1）的值是正数； （2）的值是负数； （3）的值是零； （4）分式无意义． 22. 已知分式，根据给出的条件，求解下列问题： (1)当x＝1时，分式的值为0，求2x＋y的值； (2)如果|x－y|＋＝0，求分式的值． 23．约分： （1）； （2）； 24.已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）． （1）探究a，b的值； （2）求分式的值． 25．已知：， （1）若A=，求m的值； （2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数； （3）若a＞0，比较A与B的大小关系． 26．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ==1﹣； 再如： ===x+1+． 解决下列问题： （1）分式是　　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）假分式可化为带分式　　的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第五章分式与分式方程第一节分式及其基本性质》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解分式的概念，能准确判断一个式子是否为分式，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件。 2.类比分数的基本性质，推导并掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的变形（约分、符号化简等）。 3.经历分式概念形成和性质探究的过程，体会从具体到抽象、类比迁移的数学思想，提升逻辑推理和运算能力。 4.能运用分式的概念和基本性质解决简单的实际问题，感受分式在生活中的应用价值。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.分式的概念及分式有意义、无意义、值为0的条件。 2.分式的基本性质及应用性质进行分式变形。 （二）难点 1.理解分式值为0的条件（同时满足分子为0且分母不为0）。 2.运用分式基本性质时，准确把握 “ 分子分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式 ” 的限制条件。 ) 三．课前预习 1.一般地，如果A、B表示两个______，并且B中含有______，那么式子叫做分式，其中A叫做分式的______，B叫做分式的______。 2.分数有意义的条件是分母不为0，类比分数，分式有意义的条件是______；无意义的条件是______。 3.当分式的______为0且______不为0时，分式的值为0。 4.分数的基本性质：分数的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的数，分数的值______。类比分数的基本性质，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的______，分式的值______。用式子表示为：= ， = （其中C是______的整式）。 5.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变______个，分式的值不变。用式子表示为：== -， = 。 【答案】1.整式；字母；分子；分母 2.B≠0；B=0 3.分子；分母 4.不变；整式；不变；不等于0 5.两 四．课堂探秘 探究一：分式的概念 2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大编回了北京市到效家扫市的旅程时间，京张高速铁路正线全长174km；在这条线路上，早列车的平均行驶速度是已列车的2信， 设乙列车的平均行驶速度为xkm/h， 请回答下列问题： （1）乙列车从北京市到张家口市的行软时间是多少? 【解析】路程为 174km，乙列车速度为 xkm/h，根据“时间 = 路程 ÷ 速度”，可得行驶时间为：小时。 （2）甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少? 【解析】甲列车速度为 2xkm/h，同理可得行驶时间为：小时。 【思考】 （1）李叔叔计划用x元购买一批单价为a元/kg的苹果，由于购买量大。现每千克便宜了b元，那么李权权现在可以购买多少千克苹果? 【解析】原来单价为 a 元/kg，现在单价为 (a-b) 元/kg，总钱数为 x 元，因此购买重量为：kg。 （2）在2022年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续装播。据统计，这项赛事前a天目均收看人数为m万，后b天日均收看人数为 n万，那么这(a+b)天该赛事的日均收看人数为多少万? 【解析】前 a 天总收看人数为 ma 万，后 b 天总收看人数为 nb 万，总人数为 ma+nb 万，总天数为 a+b 天，因此日均收看人数为：。 【交流】 上面问题中出现了代数式,，，，它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?与同伴进行交流。 【解析】共同特征：都具有的形式（A、B 为整式）；分母 B 中含有字母。 与整式的不同： （1）整式：分母中不含字母（如 2x、a+b）； （2）分式：分母中含有字母（如 、）。 1.核心定义： 形如（A、B是整式，且B中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。 备注：л是常数，分母含л不算含字母。 2.关键条件 （1）分式有意义：分母不为0（B≠0）； （2）分式无意义：分母为0（B = 0）； （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（A = 0且B≠0，两者缺一不可）； （4）分式值为正：分子、分母同号（A > 0且B > 0，或A < 0且B < 0）； （5）分式值为负：分子、分母异号（A > 0且B < 0，或A < 0且B > 0）。 例1．下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：分母中不含有字母，所以不是分式，A不符合；B：分母中不含有字母，所以不是分式，B不符合；C：分母含有字母，但是有具体数值的，所以不是分式，A不符合；D：分母中含有字母a，是分式，D符合。故答案为：D 例2．若分式的值为0，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，2x+4=0，x-3≠0，解得：，故答案为：C． 【易错提醒】 （1）判断分式时，只看原始形式，不化简； （2）分母为多项式时，需令整个多项式不为0。 探究二：分式的基本性质 问题：类比分数 = =， == ，思考分式是否有类似性质？ 猜想：分式的分子分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 其中 A,B,C 均为整式。 验证：设 A = 2，B = 3，C = 4， 左边=，右边=； 左边=右边；性质成立； 再取 C = 2，；性质仍成立。 探究三：分式化简——约分 问题2：如何运用分式的基本性质化简？ 步骤1：找出分子分母的公因式（3xy）。 步骤2：根据分式基本性质，分子分母同时除以公因式3xy，得 1、约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2.约分的步骤 （1）找公因式： ①系数：取分子、分母系数的最大公约数； ②字母：取分子、分母中相同字母的最低次幂； ③多项式：先分解因式，再找相同因式的最低次幂。 （2）约去公因式：分子、分母同时除以公因式，化为最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。 例3：单项式型约分 化简： 【解析】：系数：-12与18的最大公约数是6；字母：a2与a3取a2，b3与b取b；公因式为6a2b。 例4：多项式型约分 化简： 【解析】：先分解因式：x2 - 4 = (x+2)(x-2)，x2 - 4x + 4 = (x-2)2；公因式为(x-2)。 = 探究四：分式的符号法则 观察：= -，= -，=，你发现了什么规律？ 结论：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中两个，分式的值不变；改变一个或三个，分式的值改变。 五．课堂检测 （一）．选择题 1．式子，，，，中是分式的有（　　）个. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】式子，，是分式，，不是分式.故答案为：C. 2.当时，对于分式的说法正确的是（　　） A．分式的值为0 B．分式的值为 C．分式无意义 D．分式有意义 【答案】C 【解析】由题意，当x=1时，分式的分母（x-1）（2x+3）=0，∴分式无意义.故答案为：C. 3．若分式 有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．各边都不相等的三角形 D．直角三角形 【答案】A 【解析】∵分式= 有意义且它的值为零， ∴a﹣c≠0且a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0，解a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0得：a＝b或b＝c，∵a﹣c≠0，∴a＝b或b＝c，即此三角形是等腰三角形，故答案为：A. 4．若实数，满足，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵2m-3n=0，∴2m=3n，∴，，∴.故答案为：D. 5．将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【解析】＝＝，即分式的值扩大到原来的3倍，故选：A． 6．下列各式中，正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】A 【解析】A．＝＝，故本选项符合题意；B．∵＝，＝＝﹣，∴≠，故本选项不符合题意；C．＝≠，故本选项不符合题意；D．∵＝＝，＝＝﹣， ∴≠，故本选项不符合题意；故选：A． 7．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：分式的分子和分母同时乘以一个不为0的数时，分式的值不变，即，故选项A错误；B：不能再进行约分，即，故选项B错误；C：只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分，即，故选项C错误；D：，故选项D正确.故答案选择D. 8．已知分式的值为0，那么x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2 【答案】B 【解析】∵分式的值为0，∴（x﹣1）（x+2）=0且x2﹣1≠0， 解得：x=﹣2．故选：B． 9．当x=6，y=﹣2时，代数式的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】∵x=6，y=﹣2，∴===．故选：D． 10．已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】已知等式整理得：x﹣=3，则原式===，故选D （二）．填空题 11.若分式有意义，则a的取值范围是　　． 【答案】a≠1 【解析】分式有意义，则a﹣1≠0，则a的取值范围是：a≠1．故答案为：a≠1． 12.当x=　　时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】∵分式的值为0，∴x﹣2=0，解得：x=2．故答案为：2． 13.当a=2024时，分式的值是　　． 【答案】2026 【解析】： ==a+2，把a=2024代入得：原式=2024+2=2026． 14．某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是　　元/千克． 【答案】 【解析】甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，保本价=（ax+by）÷（a+b）=． 15.已知a=2x，b=2y，x+y=100xy，那么分式的值等于_______. 【答案】50 【解析】∵a=2x，b=2y，∴a+b=2x+2y=2（x+y），ab=2x•2y=4xy．∵x+y=100xy，∴a+b=2（x+y）=2×100xy=200xy．∴==50 16．不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 【答案】． 【解析】． 17.已知分式的值为0，那么x的值是 【答案】﹣2 【解析】∵分式的值为0，∴(x﹣1)(x+2)=0且x2﹣1≠0，解得x=﹣2． 18．下列式子：①；②；③；④．其中，成立的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【解析】；故①正确；；故②正确；；故③错误； ；故④正确；故答案为：①②④ 19. 请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1．你所写的分式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】分式值不等于0，则分式的分子不等于0．取值范围要，则分式分母满足x=±2时，分母=0．且当x=0时，分式值要等于-1．可得，故答案为： 20.已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为______. 【答案】秒 【解析】依题意得小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，两人所行驶的路程之和为（500+m）米，又∵两人的速度之和为（x+y）米/秒，∴行驶的时间为秒． （三）．解答题 21. 已知分式． （1）当____时，分式的值等于零； （2）当____时，分式无意义； （3）当___且___时分式的值是正数； （4）当____时，分式的值是负数． 【答案】（1）；（2）；（3）；；（4） 【解析】(1)由题意得：a2=0，且1−2a≠0，解得：a=0，故答案为a=0；(2)由题意得：1−2a=0， 解得：a=，故答案为a=；(3)由题意得：1−2a>0，且a≠0，解得：a<且a≠0，故答案为a<且a≠0.(4)由题意得：1−2a<0，且a≠0，解得：a>，故答案为a>. 22．约分： （1）； （2）； （3）． 解：（1）原式＝＝； （2）原式＝＝m； （3）原式＝＝． 23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　　是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④． （2）若a为正整数，且为和谐分式，a＝　4或5　； （3）利用和谐分式，化简 解：（1）①的分子、分母都不能因式分解，故该分式不是“和谐分式”．②的分母可以因式分解，且这个分式不可约分，故该分式是“和谐分式”．③的分母可以因式分解，但是分子、分母中都含有（x+y），可以约分，故该分式不是“和谐分式”． ④的分子可以因式分解，但是分子、分母中都含有（a+b），可以约分，故该分式不是“和谐分式”．故答案是：②； （2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，∴a＝4，a＝5；故答案是：4或5． （3）原式＝﹣＝＝． 24.解不等式(x－2)(x＋3)>0. 解：由实数的运算法则“两数相乘，同号得正” 得①或② 解不等式组①得x>2， 解不等式组②得x＜－3， 所以原不等式的解集为x>2或x＜－3. 阅读例题，尝试解决下列问题： （1）平行运用：解不等式x2－9>0； （2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围． 解：（1）解不等式x2－9>0，即为解(x＋3)(x－3)>0， 根据“两数相乘，同号得正”，得①或② 解不等式组①得x>3，不等式组②得x＜－3，所以原不等式的解集为x>3或x＜－3. （2）由题意得不等式<0，根据“两数相除，同号得正，异号得负”，得①或②解不等式组①得，－1<x<2，解不等式组②，无解，所以原不等式的解集为－1<x<2. 25．已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 解：（1）∵x=6且分式M的值等于4，∴4=+，整理得：2=解得：y=6； （2）∵y=4，∴M=+4，当x=0时，M=4，当x=2时，M=2，当x=4时，M=0，当x=6时，M=6； （3）∵x、y均为正整数，使M的值等于2，∴2=+，∴所有x、y的值为：x=2，y=4；x=4，y=2． 26．探索： （1）如果=3+，则m=　　； （2）如果=5+，则m=　　； 总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m　　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 解：探索：（1）已知等式整理得： =，即3x+4=3x+3+m， 解得：m=1；故答案为：1；﹣13 （2）已知等式整理得： =，即5x﹣3=5x+10+m，解得：m=﹣13； 总结：m=b﹣ac； 故答案为：m=b﹣ac； 应用： ==4+，∵x为整数且为整数，∴x﹣1=±1， ∴x=2或0． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成______的形式，如果______中含有字母，那么称这个式子为分式，其中A叫做分式的______，B叫做分式的______。 2.分式有意义的条件是______不为零；分式无意义的条件是______为零。 3.分式的值为零的条件是：分子的值______且分母的值______。 4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个______的整式，分式的值______，用式子表示为=，= （其中M是______的整式）。 5.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的______约去，叫做分式的约分；约分的结果是______或______。 6.分子与分母没有______的分式叫做最简分式。 7.若分式有意义，则x的取值范围是______。 8.若分式 的值为零，则x的值为______。 9.化简分式的结果是______，依据是分式的______。 10.若=，则=________,=_________，体现了分式的______。 11.分式与的关系是______，与的关系是______。 12.把分式的分子分母同乘3，得到的分式是______，它与原分式的值______。 【答案】1.；B；分子；分母 2.分母；分母 3.为零；不为零 4.不等于零；不变；不等于零 5.公因式；整式；最简分式 6.公因式（1除外） 7.x≠2 8.2 9.；基本性质 10.；；基本性质 11.相等；相等 12.；相等 （二）强化训练 一．选择题 1．下列式子中，属于分式的是（　　） A． B． C．2x D． 【答案】B 【解析】A、是单项式，本项不符合题意；B、是分式，本项符合题意；C、是单项式，本项不符合题意；D、是单项式，本项不符合题意；故答案为：B. 2．若分式无意义，则x的值是（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】D 【解析】根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1， 故答案为：D. 3．已知分式的值为0，则（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1 【答案】A 【解析】由题可得，3x2﹣3＝0，且x+1≠0，解得x＝±1，x≠﹣1，∴x＝1，故答案为：A． 4．已知分式(其中，为常数满足表格中的信息： 的取值 分式 无意义 值为 值为 则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当x=0.5时，2x-b=0，∴2×0.5-b=0，∴b=1； 当x=-2时，x+a=0，∴-2+a=0， ∴a=2.当x=m时，，∴，∴m=3.故答案为：D。 5．关于分式，下列说法正确的是（　　） A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍 B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍 C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变 D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变 【答案】D 【解析】A．＝＝，即分式的值不变，故本选项不符合题意；B．＝＝，即分式的值不扩大2倍，故本选项不符合题意； C．＝≠，即分式的值和原分式不相等，故本选项不符合题意； D．＝＝，即分式的值不变，故本选项符合题意；故选：D． 6.下列各分式约分结果正确的是（　　） A．＝ B．＝a+b C．＝1﹣a D．＝ 【答案】C 【解析】A、＝，故本选项错误；B、是最简分式，不能化简为a+b，故本选项错误；C、正确；D、＝﹣，故本选项错误；故选：C． 7．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（　　） A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍 【答案】B 【解析】：，即分式的值不变．故选B． 8．下列分式运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵==，∴A是正确的，B、C、D是错误的． 故选：A． 9．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分式的分子和分母乘以6，原式=．故选D． 10．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】B 【解析】整理已知条件得y﹣x=2xy；∴x﹣y=﹣2xy将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得 ====．故答案为B． 二．填空题 11．当x　 时，分式有意义． 【答案】x≠﹣， 【解析】由题意得，2x+3≠0，解得，x≠﹣，故答案为：≠﹣． 12．当a＝4b时，的值是　　． 【答案】 【解析】因为a≠0，b≠0，把a＝4b代入得，＝＝＝， 故答案为：． 13．当a＝2023时，分式的值是　　． 【答案】2026 【解析】∵a＝2023，∴＝＝a+3＝2023+3＝2026． 14．已知，则＝　　． 【答案】 【解析】∵＝3，∴＝3，∴2y2﹣x2＝3xy，∴原式＝ ＝﹣﹣＝﹣3﹣＝，故答案为： 15．化简：＝　　． 【答案】 【解析】原式＝＝．故答案为：． 16．若，则的值是　6　． 【答案】6 【解析】由，可以得到：a﹣b=﹣4ab，∴=．故的值是6． 17.当x的取值范围为　     　时，分式的值为负数． 【答案】x＜2且x≠1 【解析】∵分式的值为负数，且|x﹣1|为正数，∴x﹣2＜0且x﹣1≠0，即x＜2且x≠1． 18.当a　     时，分式的值不小于0． 【答案】a≤ 【解析】≥0，又∵a2+1＞0，∴5﹣2a≥0，∴a≤． 19.已知a2﹣3a+1=0，则分式的值是（　　） 【答案】 【解析】∵a2﹣3a+1=0，∴a2+1=3a，∴（a2+1）2=9a2，∴a4+1=（a2+1）2﹣2a2=7a2，∴原式==． 20.若表示一个整数，则整数a可以取　       　． 【答案】﹣4或﹣2或0或2 【解析】原式==1+，∵结果为整数，a为整数，∴a+1为3的约数，即a+1=﹣3或a+1=﹣1或a+1=1或a+1=3，则a=﹣4或﹣2或0或2． 三．解答题 21. 已知，取哪些值时： （1）的值是正数； （2）的值是负数； （3）的值是零； （4）分式无意义． 解：（1）当或时，即时，y为正数； （2）当或时，即x>1或x<时，y为负数； （3）当时，即时，y值为零； （4）当时，即时，分式无意义. 22. 已知分式，根据给出的条件，求解下列问题： (1)当x＝1时，分式的值为0，求2x＋y的值； (2)如果|x－y|＋＝0，求分式的值． 解：(1)由x＝1时，分式的值为0，得，解得， 所以2x＋y＝2＋(－1)＝1； (2)由如果|x－y|＋＝0，得，解得， 所以＝2. 23．约分： （1）； （2）； 解：（1）=﹣； （2）==； 24.已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）． （1）探究a，b的值； （2）求分式的值． 解：（1）∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）．∴a=10，b=102-1=99． （2）原式==，将a=10，b=99代入得原式=20.8． 25．已知：， （1）若A=，求m的值； （2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数； （3）若a＞0，比较A与B的大小关系． 解：（1）由A=，得=1﹣=，2﹣m=1，解得m=1； （2）B==1﹣，∴当a+4=±1时B为整数a=﹣3，a=﹣5． （3）当a＞0时，A﹣B=﹣＜0，A＜B． 26．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ==1﹣； 再如： ===x+1+． 解决下列问题： （1）分式是　　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）假分式可化为带分式　　的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为　 　． 解：（1）分式是 真分式； （2）假分式=1﹣； （3）==2﹣．所以当x+1=3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数． 解得x=2或x=﹣4或x=0或x=﹣2．故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $