精品解析：湖北省武汉市江岸区三校教联体2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025—2026学年上学期九年级1月月考 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 经过红绿灯路口，遇到红灯 C. 任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、分别是边、上的点，，若，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 10. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 13. 如图，在中，，若，，则的值为_________． 14. 已知、是方程的两个实数根，若，则______． 15. 如图①，在中，．动点P从的顶点A出发，以的速度沿匀速运动回到点A．图②是点P运动过程中，线段的长度y（单位：cm）随时间t（单位：s）变化的图象，其中点Q为曲线部分的最低点．则 （1） ______； （2）m的值为______． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 18. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． （1）请你在图中画出； （2）在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． （3）在x轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 20. 某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 22. 综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）由于经费有限，演出主办方只能开通7条安检通道，但要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；请问能满足要求吗？请说明理由． 23. 在中，，是中线，，M是边上一动点，连并延长交的延长线于F，将射线绕点D顺时针旋转角得； （1）当的边交于N，的延长线于E，如图1，若，求证：； （2）在射线绕点D旋转的过程中，当的边交于N，的延长线于E，如图2：①若，时，求的长； ②若时，探究与的数量关系并说明理由． 24. 如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，直线与抛物线交于点A及点，点P为抛物线上一动点，其横坐标为m，顶点为F． （1）求抛物线解析式及顶点坐标F； （2）如图1，若点P为抛物线对称轴右侧x轴下方的一动点，连接、、，交线段于点M，N是AF上一动点（均含端点），连接，若并且时，求点P的坐标． （3）如图2，若点P为x轴上方的抛物线上的一动点，点N是点P关于对称轴的对称点，连接与直线交于点M，过点M作轴于点E，过点N作轴于点D，设矩形的周长为C． ①求C与m的函数关系式； ②结合函数图像探究说明，当C随m的增大而增大时m的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期九年级1月月考 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；通过计算每个一元二次方程的判别式，判断实数根的情况，若判别式大于零，则有两个不相等的实数根，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，则，故无实数根，不符合题意； B、中，，，则，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，则，无实数根，不符合题意； D、中，，，则，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 经过红绿灯路口，遇到红灯 C. 任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，三角形三边关系，平行线的性质．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．选项A需要两直线平行才成立，否则不一定；选项B和C是随机事件，具有不确定性；选项D是三角形的基本性质，总是成立，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、内错角相等需两直线平行，否则不成立，不是必然事件； B、经过红绿灯路口可能遇到红灯、绿灯或黄灯，不是必然事件； C、抛掷硬币可能正面朝上或反面朝上，不是必然事件； D、三角形任意两边之和大于第三边是三角形的三边关系定理，对于任何三角形都必然成立，是必然事件． 故选：D 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为．已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为. 故选：B． 5. 已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的性质，比较大小即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点在函数图象上，且 ∴； 故选：D． 6. 平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是利用旋转的性质求坐标.过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，证即可得到答案. 【详解】解：过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∵将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故选：B. 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：设门对角线长为x尺，根据勾股定理可得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 8. 如图，分别与相切于A，B两点，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理．根据切线的性质得，则利用四边形内角和可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：在优弧上取点D，连接、，、，如图， 、分别与相切于、两点， ，， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，、分别是边、上的点，，若，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质；由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 10. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：由题意，得： ，． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ，， 且． 故答案为：且． 13. 如图，在中，，若，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质的应用，根据，可得：，得到，然后根据，，求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知、是方程的两个实数根，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根和系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据方程有两个根，可得，求出，再根据一元二次方程根与系数的关系，表示出两根和与积，代入条件方程求解m，最后确定的值即可． 【详解】解：∵方程有两个根， 又∴， ∴． 在方程中，，，． ∴，． ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍）或． 故答案为：1． 15. 如图①，在中，．动点P从的顶点A出发，以的速度沿匀速运动回到点A．图②是点P运动过程中，线段的长度y（单位：cm）随时间t（单位：s）变化的图象，其中点Q为曲线部分的最低点．则 （1） ______； （2）m的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了动点图象问题，弄清楚不同时间段图象和图形的对应关系是解题的关键． 根据图象可知，，当点在上，且时，，由勾股定理求出的长，根据等腰三角形的三线合一，求出的长，从而求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图象可知，当时，点与点重合， ∴． 故答案为：6． （2）当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时，如图1， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，公式法是关键． （1）运用因式分解法计算即可求解； （2）运用公式法计算即可求解． 【小问1详解】 解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得，． 17. 关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以，且， 解得， 所以的取值范围是． 【小问2详解】 解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 18. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1） （2）长为9m，宽为5m 【解析】 【分析】（1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 故答案为:； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为9m，宽为5m． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． （1）请你在图中画出； （2）在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． （3）在x轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 【答案】（1） ，如图即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，求弧长，勾股定理的应用，一次函数的性质，掌握旋转的性质并作图，坐标与图形，弧长公式的应用是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据弧长的计算方法求解即可； （3）如图所示，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P即为所求，然后求出的表达式，然后令即可求出P点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理可得：， ∵绕到的过程中所经过的路径长等于以为圆心，半径为，圆心角为的弧长． ∴弧； 【小问3详解】 如图所示， 由对称得，， ∴ ∴与x轴的交点P即为所求， 设所在直线的表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线的表达式为 ∴当时， 解得 ∴． 20. 某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）400，60，D， 补全学生成绩频数分布直方图如下： （2）估计该校成绩优秀的学生有人 （3） 【解析】 【分析】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键。 （1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，进而根据中位数的定义判断其范围范围，再根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图； （2）根据样本中优秀人数占比即可估计2000人中成绩优秀的数量； （3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∵所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且， ∴所抽取学生成绩的中位数落在D组， E组的人数为：（人） 故答案为：400，60，D； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有人； 【小问3详解】 解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示， 共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 21. 如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1） 证明：如图，作，垂足为点H，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 即是的平分线， ∵点O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∴，是的半径， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点H，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，然后根据角平分线的性质，即可求证； （2）根据勾股定理求出的长，可得，设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 22. 综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）由于经费有限，演出主办方只能开通7条安检通道，但要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；请问能满足要求吗？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； （3） 由题意可知，开通7条安检通道， 已入场人数为， 排队人数w， 对称轴为直线， ， 当时，随的增加而减小， 即安检开始9分钟后，排队人数开始减少， 能满足演出主办方要求排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）根据平均每条通道每分钟可安检人数安检通道数量时间，可得已入场人数，再根据排队人数现场总人数已入场人数，可得到排队人数w与安检时间x的函数关系式； （2）将（1）所得关系式化为顶点式，求最大值即可； （3）由题意可知，开通7条安检通道，进而求出此时排队人数w与安检时间x的函数关系式，再根据二次函数的增减性，得到当时，随的增加而减小，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，平均每条通道每分钟可安检6人， 当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为； 由题意可知，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：，且排队人数现场总人数已入场人数 则排队人数w与安检时间x的函数关系式为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， ，， 当时，有最大值为， 即排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； 【小问3详解】 略 23. 在中，，是中线，，M是边上一动点，连并延长交的延长线于F，将射线绕点D顺时针旋转角得； （1）当的边交于N，的延长线于E，如图1，若，求证：； （2）在射线绕点D旋转的过程中，当的边交于N，的延长线于E，如图2：①若，时，求的长； ②若时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，，是中线，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）①； ②，理由如下： ， 设，， 同①可证，， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质和对顶角相等，可得，再根据“”证明，即可得出结论； （2）①利用等腰三角形三线合一的性质，证明，得到，即可求解； ②设，，同①可证，，根据对应边成比例，得出，则，进而证明出是等腰直角三角形，从而推出，，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，是中线，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，直线与抛物线交于点A及点，点P为抛物线上一动点，其横坐标为m，顶点为F． （1）求抛物线解析式及顶点坐标F； （2）如图1，若点P为抛物线对称轴右侧x轴下方的一动点，连接、、，交线段于点M，N是AF上一动点（均含端点），连接，若并且时，求点P的坐标． （3）如图2，若点P为x轴上方的抛物线上的一动点，点N是点P关于对称轴的对称点，连接与直线交于点M，过点M作轴于点E，过点N作轴于点D，设矩形的周长为C． ①求C与m的函数关系式； ②结合函数图像探究说明，当C随m的增大而增大时m的范围． 【答案】（1）抛物线解析式，F坐标为． （2） （3）①；②不存在． 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出点A、C坐标，再代入解析式求出未知系数，得到函数关系式，再配方求顶点F坐标即可； （2）由抛物线轴对称性得到点B坐标为，且，再由和外角性质证明，进而证明，求出点M坐标为，再求出直线解析式，联立方程求其与抛物线交点坐标即可； （3）①根据题意，得到当与直线有交点时，m的范围，分别求出对应的，再表示周长即可； ②由①的函数关系式和对应取值范围，分别求出对称轴，确定C随m的增大而增大时m的范围即可． 【小问1详解】 解：由直线与抛物线交于点A及点， ∴当时，，解得，， 当时，， 则， 把代入到， ， 解得， ∴抛物线解析式 配方得，， 则点F坐标为． 【小问2详解】 由抛物线对称性可知，点B坐标为，且， 则， ∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 故点坐标为， 设直线解析式为 ， 把点坐标为 ,坐标为代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，解得 （舍去） ∴ ∴点P的坐标为 【小问3详解】 ①由题意，关于对称轴对称点横坐标为1，点N的横坐标为， 由连接与直线交于点M，设点P的纵坐标为 故m的范围为或， 当时， ， 此时求M点的横坐标为 ， 则 ∴ 同理，当时， 则， ∴ 综上， ②当时，对称轴为直线，在对称轴左侧，C随m增大而减小，故此情况不存在符合要求答案， 当时，的对称轴为直线，在对称轴右侧，C随m的增大而减小，故此情况不存在符合要求答案， 故不存在m，使得C随m的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法、图象和性质、二次函数与一次函数的综合问题，以及全等三角形的性质和判定，运用了分类讨论和数形结合的数学，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $