24.8 方法技巧专题 圆中常见的作辅助线的方法-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 圆中常见的作辅助线的方法 题型① 圆中有弦，常作弦心距或半径 题型② 圆中有直径，常作直径所对的圆周角 1.古代数学文化筒车是我国古代发明的一种 3.如下图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB,交 水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政 AB于点E,F是⊙O上一点，连接DF交 全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如 AB于点G,连接BF,AD,CF,且∠BFD 图①.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为 =60° 圆心的圆，如图②.已知圆心O在水面上方， (1)求证：FD平分∠BFC; 且⊙O被水面截得的弦AB长为6m,⊙O (2)若⊙O的半径长为1，当 G 半径长为4m.若C为运行轨道的最低点，则 DE=EG时，求CF的长 点C到弦AB所在直线的距离为 ( ) 水面 C 图① 图② 第1题图 A.1m B.(4-√7)m C.2m D.(4+√/7)m 2.如下图，OC为⊙O的半径，弦AB垂直平分 半径OC,垂足为E.若AB的长为6，求⊙O 的半径 0 4.(2024合肥一模)已知AB为⊙O的直径，E 为OA上一点，过点E作CD⊥AB,交⊙O 于点C,D 图① 图② (1)如图①，若AE=2,OE=3,求CD的长； 48 九年级数学HK版 (2)如图②，P为BC上一点，连接DP交直径6.(2024池州二模)如下图，在△ABC中，以 AB于点F,连接CF.若OC∥PB,求证： AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O ∠CFP=∠B. 的切线，且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交 ⊙O于点F. (1)求证：AB=AC; (2)若AE=4,DE=8,求AF的长. 0 题型③圆中有切线，常过切点连接半径作 垂直 5.(2024毫州一模)如下图，OA是⊙O的半径， 过点A作⊙O的切线AB,OC∥AB,∠OBC =∠OBA. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若OC=3AB,求cosC的值： 下册第24章 49△又⊙O的半径是2，AB=CD=4, ∴S6-AB,CD= -号×4X4=8. 99 12.2元+2 13.解：(1)由旋转的性质可知，△PAB≌△P'CB, .SAAB=S△rCB, Se=Sase一S影m=子（㎡一分）。 (2)如图，连接PP'.根据旋转的性质可 知，PB=PB=4,PC=PA=2,∠PBP =90°，∠BP'C=∠BPA=135°， △PBP是等腰直角三角形，∠BPP =45°，∴PP=2BP=42, ∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°， .△PPC是直角三角形， .PC=√PP+PC=6. 24.8综合与实践进球线路与最佳射门角 1.B2.(1)D和E(2)(4,3) 3.解：甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大. 理由：根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADB =∠ACB. 4.解：(1)射门角∠ACB逐渐变大。 (2)如图，在直线1上任取一点M,连接 AM,BM,作△ABM的外接圆与直线l 相交于另一点N.由同弧所对的圆内角 大于圆周角可知，当C位于MN的中 点时，射门角最大 5.二 6.解：(1)<< (2)∠APB>∠AQB.理由如下： 0 如图所示，设AQ与⊙O交于点G,连 接BG. 0 AB=AB,.∠APB=∠AGB. ∠AGB是△BGQ的外角，∴∠AGB>∠AQB, .∴.∠APB∠AQB. 7.解：(1)456 (2)不对.理由如下： OP=2,PQ=3,0Q=OH=4,而4≠3+22， 即OQ≠PQ+OP, ∴.OP与PQ不垂直，.PQ与⊙O不相切 方法技巧专题圆中常见的作辅助线的方法 1.B 2.解：如图，连接OA. OC为⊙O的半径，AB垂直平分半径OC,AB=6, OE-OC.AE-BE-TAB-3 设⊙0的半径为r,则0E=号 在Rt△OAE中，由勾股定理，得AE= OA-OE, 即3=-（分）°，解得=25（负值已含去）， .⊙0的半径为23 3.解：(1)证明：如图，连接OC,OD. :OA=OD,∠BAD=∠BFD=60°， ∴.△AOD是等边三角形. ,OC=OD,OA⊥CD,∴.∠AOC ∠AOD=60°， ∴.∠COD=120°，∠CFD= ∠c0D-60, ∠BFD=∠CFD,∴.FD平分∠BFC (2)延长CO交⊙O于点H,连接FH,如图. AB⊥CD,.∠DEG=90°. :DE=EG,.∠EDG=∠EGD=45°， .∠CHF=∠EDG=45. ,CH是直径，∴.∠CFH=90° 在Rt△CFH中，∠CHF=45°， :.CF=CH·sin∠CHF=2xg-E. 2 4.解：(1)如图①，连接OC :AB为⊙O的直径，CD⊥AB, .CE-DE-CD. AE=2,OE=3, 图① ..OC=OA=AE+OE=5, .CE=√OC-OE=4,∴.CD=8. (2)证明：如图②，连接AP. AB为⊙O的直径， .∠APB=90°，.BP⊥AP :OC∥PB,.OCLAP,∠B=∠AOC, 图② ∴.AC=PC,.∠AOC=2∠D=∠B. ,CD⊥AB,AB为⊙O的直径， AB垂直平分CD,CF=DF, ∠D=∠DCF, ∠CFP=∠D+∠DCF=2∠D, .∠CFP=∠B. 5.解：(1)证明：过点O作OE⊥BC于点E,如图. AB是⊙O的切线，∴.OA⊥AB. :∠OBC=∠OBA,∴.OA=OE, BC是⊙O的切线. (2)由(1)可知，OA=OE. 下册参考答案 151 OA=OE 在Rt△ABO与Rt△EBO中， OB=OB. .Rt△ABO≌Rt△EBO(HL),.AB=EB .OC∥AB,∴.∠ABO=∠BOC ∠ABO=∠OBC,∴.∠BOC=∠OBC,∴.BC=OC .OC=3AB,.'.BC=3BE,..CE=2BE=2AB, c-8装-A8- 6.解：(1)证明：连接OD,如图、 DE是⊙O的切线，OD为⊙O的半径， ..ODI DE. F DE⊥AC, 0 ∴.OD∥AC, ∴.∠C=∠ODB. OD=OB,∴∠B=∠ODB, .∠B=∠C,.AB=AC (2)过点O作OH⊥AF于点H,如图 设AH=x,则AF=2AH=2x .OD⊥DE,DE⊥AC, ∴.∠OHE=∠ODE=∠DEH=90°， .四边形OHED为矩形， ..OH=DE=8,OD=HE=x+4,..OA=x+4. 在Rt△OHA中，OH+AH=OA, 即82+x2=(x+4)2,解得x=6,.AF=12. 单元复习方案 1.B2.B3.D 4.解：(1)如图所示，△A1BC即为所求， (2)如图所示，△A2B2C即为所求 B M 5.解：(1)由旋转的性质可知，AB=AD,∠EAD=∠C =30°，∠DEA=∠BCA=90°，.∠EDA=60° .AB=AD, “∠ABD=∠ADB=号×180°-30)=75， .∠BDE=∠ADB-∠EDA=15° (2)证明：，F是AB的中点，∠BCA=90°， .CF-T BA. :∠CAB=30,∠CBA=60,BC=2BA, 152 九年级数学HK版 ∴.CF=BC. :△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE, ∴∠CAE=∠BAD=60°，AC=AE,BC=DE,AB=AD, .∠CBA=∠BAD,DE=CF,△CAE和△BAD是等 边三角形，.CE=AC,AD=BD. F是AB的中点，∴.DF⊥AB, .∠DFA=∠BCA=90°， .△AFD≌△BCA(AAS),∴.DF=AC,.DF=CE, .四边形CEDF是平行四边形 6.C7.C8.A9.25 10.解：(1)证明：如图，连接CD. AC为⊙O的直径， .∠ADC=90 .'AC=BC,..AD=BD. (2)如图，过点C作CM⊥DE于 点M. ∠ACB=90°，AC=BC=2, ∴.AB=√AC+BC=√/2+2=2W2,∠A=∠B=45°. AD-BD,:CD-AB-/ ∠ADC=90°，∴∠ACD=45° ∠ACE=30°， .∠DCE=∠ACE+∠ACD=30°+45°=75. :∠E=∠A=45°，∠CME=∠CMD=90°， ∴.∠ECM=∠E=45°，CM=EM, .∠DCM=∠DCE-∠ECM=30°， DM-CD- 21 EM-CM-/CD-DMF _6 1 ·DE=DM+EM=E+6 2 1.B2号 13.解：(1)证明：AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， .AC⊥BC OD∥AC,∴.OD⊥BC,∴.CD=BD, B .∠CAD=∠BAD,.AD平分∠BAC (2)如图，过点M作MN⊥AB于点N. 由(1)，得∠CAD=∠BAD,AC⊥BC, ∴.MC=MN,AN=AC=10.由勾股定 理，得BC=√JAB-AC=√26-10 =24. 设MC=MN=x, .BM=24-x,BN=AB-AN=16, ,.在Rt△MNB中，MN2+BN2=BMP,