24.8综合与实践 进球线路与最佳射门角 课件 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件围绕“进球线路与最佳射门角”，核心讲解射门角、最佳射门点及圆的性质应用。通过足球跑动情境导入，衔接第24章圆的知识，以横向、直向等线路探究为支架，将体育场景转化为几何模型。 其亮点在于以足球情境培养数学眼光，通过证明切线位置体现数学思维，用圆周角与圆内外角关系强化数学语言。如横向跑动中用垂径定理计算最佳射门角，采用建模与数形结合方法，帮助学生提升知识应用能力，教师可增强教学实践性。

一、实践背景与核心概念 1. 现实情境与探究意义 足球比赛中，运动员带球跑动时，射门角大小直接影响进球概率（射门角越大，进球可能性越高）。本实践通过分析横向、直向等典型跑动线路，探究 “最佳射门点”（射门角最大的位置），本质是将体育场景转化为圆的几何问题，深化对圆周角、切线性质的理解与应用。 2. 核心概念界定（配图：球门与射门角示意图） 球门：用线段\(AB\)表示，\(A\)、\(B\)为球门边框两端点； 射门点：运动员持球位置，记为点\(C\)； 射门角：射门点与球门两端点的夹角，即\(\angle ACB\)； 最佳射门点：在某条跑动线路上，使\(\angle ACB\)达到最大值的点。 二、核心探究：不同跑动线路的最佳射门角 1. 横向跑动线路（平行于球门的跑动） （1）射门角变化规律 如图 1，直线\(l\)为横向跑动线路，\(C_0\)为球门中心线（\(AB\)的垂直平分线）与\(l\)的交点。当点\(C\)沿\(l\)自左向右移动时： 射门角先增大，后减小，在\(C_0\)处达到最大值。 （2）几何原理证明（关键：圆周角性质） 过\(A\)、\(B\)、\(C_0\)三点作\(\odot O\)，则\(\angle AC_0B\)为弦\(AB\)所对的圆周角； 在\(l\)上另取一点\(C_1\)（非\(C_0\)），连接\(AC_1\)、\(BC_1\)，\(BC_1\)与\(\odot O\)交于点\(D\)； 由圆周角定理推论：\(\angle AD B = \angle AC_0B\)（同弧所对圆周角相等）； 又\(\angle AD B > \angle AC_1B\)（三角形外角大于不相邻内角），故\(\angle AC_0B > \angle AC_1B\)。 （3）核心结论 横向跑动的最佳射门点\(C_0\)是过\(A\)、\(B\)的圆与直线\(l\)的切点； 直线\(l\)离球门\(AB\)越近，最佳射门角\(\angle AC_0B\)越大。 2. 直向跑动线路（朝向球门的纵向跑动） （1）射门角变化规律 如图 2，直线\(CD\)为直向跑动线路（点\(D\)在\(AB\)延长线上）。当点\(C\)沿\(CD\)向球门方向移动时： 射门角逐渐增大，在 “过\(A\)、\(B\)的圆与\(CD\)的切点\(C'\)” 处达到最大值。 （2）与横向跑动的共性 最佳射门点均满足 “过球门两端点的圆与跑动线路相切”，切点处的射门角为该线路上的最大值。 3. 拓展：斜向跑动线路 斜向跑动可分解为横向与直向的合成运动，最佳射门点同样遵循 “切圆原理”： 过\(A\)、\(B\)作圆与斜向线路相切，切点即为最佳射门点，且线路与球门的夹角越小（越接近横向），最佳射门角越易达到峰值。 三、关键知识关联：衔接第 24 章核心模块 实践中的问题 关联的圆的知识点 应用逻辑 比较不同点的射门角大小 圆周角、圆内角、圆外角的关系 同弦同侧：圆内角 > 圆周角 > 圆外角（最佳射门角为圆周角，非圆内 / 外角） 确定最佳射门点的位置 直线与圆的位置关系（相切） 最佳射门点是 “直线与圆相切的切点”，此时圆心到直线的距离等于半径（\(d=r\)） 证明射门角的最大值 圆周角定理推论、三角形外角性质 利用 “同弧圆周角相等” 和 “外角大于内角” 推导角度大小关系 计算最佳射门角的度数 垂径定理、勾股定理、圆周角与圆心角关系 由垂径定理求圆心到\(AB\)的距离，结合半径用三角函数求圆心角，再得圆周角 四、案例解析与实践应用 例题：计算横向跑动的最佳射门角 已知球门\(AB=7.32m\)（标准足球门宽度），横向跑动线路\(l\)与\(AB\)的距离为\(10m\)，求最佳射门角\(\angle AC_0B\)的度数。 （1）解题步骤 作\(AB\)的垂直平分线交\(AB\)于\(M\)，交\(l\)于\(C_0\)，则\(AM=3.66m\)，\(MC_0=10m\)； 过\(A\)、\(B\)、\(C_0\)作\(\odot O\)，\(O\)在\(MC_0\)延长线上（垂径定理：圆心在弦的垂直平分线上）； 设\(\odot O\)半径为\(R\)，则\(OM = R - 10\)，在\(Rt\triangle AOM\)中：\(R^2 = AM^2 + OM^2\)，即\(R^2 = 3.66^2 + (R - 10)^2\)； 解得\(R \approx 10.67m\)，由圆周角与圆心角关系：\(\sin\frac{\angle AOB}{2} = \frac{AM}{R} \approx 0.343\)，故\(\angle AOB \approx 40^\circ\)，则\(\angle AC_0B = \frac{1}{2}\angle AOB \approx 20^\circ\)。 （2）结论 当跑动线路距球门 10m 时，最佳射门角约为 20°；若线路靠近球门（如 5m），计算可得最佳射门角约为 37°，印证 “距离越近，角度越大”。 五、实践总结与思想方法提炼 1. 核心结论 无论横向、直向还是斜向跑动，最佳射门点均是过球门两端点的圆与跑动线路的切点； 同弦同侧的角的大小关系：圆内角 > 圆周角 > 圆外角（最佳射门角为圆周角）； 跑动线路与球门的距离直接影响最佳射门角大小，距离越近，角度越大。 2. 数学思想方法 建模思想：将足球射门场景转化为 “线段与圆的位置关系” 几何模型； 转化思想：将 “求最大射门角” 转化为 “找直线与圆的切点”，用圆的知识解决实际问题； 数形结合思想：通过画图标注已知量，利用圆周角、切线等性质建立数量关系。 3. 拓展作业 测量校园足球门宽度，模拟横向跑动线路，计算不同距离下的最佳射门角； 探究：为何足球比赛中 “底线传中” 后，中路包抄球员的射门角更大？（结合直向跑动最佳射门点原理）； 用几何画板模拟：当跑动线路与球门成 45° 角时，最佳射门点的位置变化。 沪科版数学九年级下册 24.8综合与实践　 进球线路与最佳射门角 第24章　圆 合作探究 A B C 球门 射门角 射门点 足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点. 射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角. 在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性就越大. 一级标题：黑体， 2 合作探究 你知道运动员带球跑动的几种常见路线吗？ A B C 球门 l A B C 球门 l A B C 球门 l 把握最佳射门点，有助于提高运动员进球成功率.下面我们一起来研究! 横向跑动 直向跑动 斜向跑动 一级标题：黑体， 3 探究 如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上由左边(或右边)逐渐向球门的中心靠近时，∠ACB怎样变化？当点C在什么位置时，∠ACB最大？ A B C 球门 l C0 ∠ACB逐渐增大. 根据对称性可知，当点C在直线l上移动到离球门中心最近的位置，即线段AB的垂直平分线与直线l的交点C0时，∠AC0B最大. 猜想 你能证明你的猜想吗？ 一级标题：黑体， 4 证明猜想 A B C 球门 l C0 证明：如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上移动时，∠ACB的最大值为∠AC0B. 证明：过A，B，C0三点作⊙O，由于AB//l， AC0=BC0，C为直线l上任一点 (不同于点 C0) ，易知⊙O与直线l相切于点C0，BC与 ⊙O交于点D.则∠ADB=∠AC0B. ∵ ∠ADB＞∠ACB， ∴ ∠AC0B＞∠ACB. 即点C在直线l上移动时，∠ACB的最 大值为∠AC0B. D O 一级标题：黑体， 5 A B C 球门 l C0 当直线l向上平移到直线l'时， ∠ACB的最大值会发生什么变化？ 延伸 l' C0 → C2 ∠AC0B →∠AC2B ∠AC2B＞∠AC0B C2 根据刚才的探究你能得出什么结论？ 一级标题：黑体， 6 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 归纳 创设情境 当运动员沿直线l横向跑动时，他的位置离球门的中心越近，射门角越大，离球门的中心最近(点C0)时，射门角最大. A B C 球门 l C0 最佳射门角 最佳射门点 最佳射门角的大小与直线l到AB的距离有关，当直线l与AB的距离越近，最佳射门角就越大，射门进球的可能性也就越大. 你还能得出其它的结论吗？ 一级标题：黑体， 7 归纳 如果⊙O过点A，B，而直线AB同侧的三点C1，C0，C2分别在⊙O外，⊙O上和⊙O内，则有∠AC1B＜∠AC0B＜∠AC2B. A B C1 球门 l C0 简单地说，在弦的同侧，同弦所对的圆外角α、圆周角β和圆内角θ的大小关系为α＜β＜θ. l' C2 O 一级标题：黑体， 8 典型例题 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (1)作出过A，B，C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系； (2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角； (3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长； (4)向左平移直线l到直线l'，观察直线l上的最佳射门角与直线l'上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论. A B C 球门 l D l' 一级标题：黑体， 9 典型例题 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (1)作出过A，B，C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系； 解：(1)直线l与该圆有两种位置关系：相交、相切. 一级标题：黑体， 10 典型例题 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角； (2)直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l上的最佳射门角. 一级标题：黑体， 11 典型例题 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角； A B C 球门 l D O 证明：设C1为直线l上任一点 (不同于点 C) ，连接AC1交⊙O于点H，连接BC1， BH， 因为⊙O与直线l相切于点C，则 ∠AHB=∠ACB. ∵ ∠AHB＞∠AC1B， ∴ ∠ACB＞∠AC1B. 即直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l 上的最佳射门角. C1 H 一级标题：黑体， 12 典型例题 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长； (3)如图，过点O作OE⊥AD， 连接OB、OC.则四边形OEDC是矩 形，OE=CD. ∵ AB=m，BD=n， ∴ OB=OC=DE= . A B C 球门 l O D E 一级标题：黑体， 13 典型例题 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长； ∴ 在Rt△OEB中，由勾股定理得 A B C 球门 l O D E ∴ CD的长为 . 一级标题：黑体， 14 典型例题 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (4)向左平移直线l到直线l'，观察直线l上的最佳射门角与直线l'上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论. (4)直线l上的最佳射门角比直线l'上的最佳射门角小. 一级标题：黑体， 15 项目探究 最佳射门角度的选择 1.如图，足球运动员在球门AB前横向带球准备射门，下列说法正确的是( 　　) A．在C处射门进球的可能性大 B．在D处射门进球的可能性大 C．在C，D两处射门进球的可能性一样大 D．无法判断C，D两处哪处进球的可能性大 B 16 项目探究 进球线路与最佳射门角的个例分析 2.【提出问题】如图①，直线l是足球场底线，AB是球门，点P是射门点，连接AP，BP，则∠APB叫做射门角．如图②，在足球比赛场上，甲、乙两名球员互相配合向对方球门AB进攻， 17 当甲带球冲到点Q时，乙跟随冲到点P，仅从射门角度大小考虑(射门角越大，足球越容易被踢进)，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 18 项目探究 【经验感知】如图③，若球员在直线MN上跑动，随时准备射门，是否存在某一点S，使得射门角∠ASB最大．人们发现：当且仅当经过A，B两点的圆与直线MN相切于点S时，∠ASB最大，并称此时的∠ASB为最大射门角． 20 如图④，AB为球门，直线l是足球场的底线，直线m⊥l，垂足为C，若AB＝2a，BC＝a，球员丙带球沿直线m向底线l方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是∠ASB. 21 (1)尺规作图：作经过A，B两点并且与直线m相切于点S的⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； 【解】如图②，⊙O即为所求. 22 (2)求出最大射门角∠ASB的度数． 23 【理解应用】 (1)如图⑤，在正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，AB为球门，球员丁带球沿CD方向进攻，最好的射门点在(　　) A．点C　　　　　　　　　　　　　　　 B．点D或点E C．线段DE(异于端点)上一点 D．线段CD(异于端点)上一点 C 25 (2)如图⑥，矩形CDEF是足球场的示意图，其中宽CD＝66 m，球门AB＝8 m，且AC＝BD.点P，Q分别是DE，CF上的点，DP＝7 m，∠DPQ＝135°，一位 左前锋球员戊从点P处带球，沿PQ方向跑 动，球员戊在PQ上何处才能使射门角 (∠ASB)最大，直接写出此时PS的长度． 26 27 28 29 30 射门角的概念： 进球线路与最佳射门角 注意： 射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角. 影响进球可能性大小的因素有进球线路、射门角大小等.若不考虑其他因素，一般最佳射门角越大，射门进球的可能性就越大. 一级标题：黑体， 31 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 【解】甲自己射门好．理由如下： 如图①，记AP与过AB两点的圆的交点为C，连接BC. ∵＝， ∴∠AQB＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠APB＋∠PBC， ∴∠AQB＞∠APB. ∴甲自己射门好. 【解】如图②，连接OA，OB，OS，设OD⊥AB于D. ∵S是⊙O的切点，∴OS⊥m. ∵m⊥l，OD⊥AB， ∴四边形CDOS是矩形. ∴OS＝CD.易知AD＝BD.∴BD＝AB＝a. ∴OS＝CD＝BD＋BC＝2a. ∴OA＝OB＝OS＝2a＝AB. ∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°. ∵∠ASB＝∠AOB，∴∠ASB＝30°. 即最大射门角∠ASB的度数为30°. 球员戊在PQ的点S处时才能使射门角(∠ASB)最大．PS的长度为(12－7) m. 【点拨】∵CD＝66 m，AB＝8 m，AC＝BD， ∴AC＝BD＝＝29(m). 如图，过点A，B作⊙O与PQ相切， 切点为S, 线段AB的垂直平分线交AB， PQ于点N，K，过点K作KM⊥DE于点M， QP，CD的延长线交点为G，则∠ASB是最大的射门角， ∠KNG＝90°，DN＝CD＝33 m，BN＝AB＝4 m， DP∥KN，OS⊥PQ.∴∠PDG＝∠KNG＝90°. 易知四边形KNDM为矩形，∴∠NKM＝90°.∵∠DPQ＝135°，∴∠NKG＝∠DPG＝180°－∠DPQ＝45°. ∴∠G＝45°.∴∠G＝∠DPG，∠G＝∠NKG. ∴DG＝DP＝7 m，KN＝NG＝DN＋DG＝40 m. 易知∠KOS＝180°－∠NKG－∠OSK＝45°， ∠PKM＝90°－∠NKG＝45°＝∠KPM， ∴△OKS，△KPM均为等腰直角三角形. ∴KS＝OS，MP＝KM＝ND＝33 m，PK＝＝33 m. 设⊙O的半径为r m，则KS＝OS＝OB＝r m，OK＝＝ m，∴ON＝KN－OK＝(40－r) m. 在Rt△OBN中，由勾股定理，得BN2＝OB2－ON2，即42＝r2－2， 解得r＝40－12或r＝40＋12(不合题意，舍去)， ∴SP＝KP－KS＝33－＝(12－7) m. ∴要使射门角(∠ASB)最大，此时PS的长度为(12－7)m. $