24.4 方法技巧专题 切线的判定方法-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 切线的判定方法 题型① 利用“连半径，证垂直”判定圆的切线 3.如下图，已知BC是⊙O的直径，D是BC延 1.(2024芜湖镜湖区模拟)如下图，AB为⊙O 长线上一点，AB=AD,AE是⊙O的弦，∠E 的直径，C是AD的中点，过点C作射线BD =30°. 的垂线，垂足为E (1)求证：直线AD是⊙O的切线； (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为 (2)若BE=3,AB=4,求BC的长 10,求AE的长. 2.如下图，四边形ABCD是矩形，E是BC边 的中点，连接AE,以AD为直径的⊙O交 4.（2024黄山一模)如右图，在 AE于点F,连接CF.求证：CF与⊙O相切. Rt△ABC中，∠ACB=90°， D为边AC上的点，以AD 为直径作⊙O,连接BD并延 0 长交⊙O于点E,连接CE,CE=BC (1)求证：CE是⊙O的切线； 430 九年级数学HK版 (2)若CD=2,BC=4,求AC的长. 7.如右图，在以点O为圆心的两个 同心圆中，大圆O的弦AB和 0 CD相等，且AB与小圆O相切 于点E.求证：CD与小圆O 相切. 题型②利用“作垂直，证半径”判定圆的切线 5.如下图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线 上一点，满足AO=BO=BC,过点C作射线 CM.若∠ACM=30°，求证：CM是⊙O的 切线 名 8.如右图，在矩形ABCD中，以 BC边为直径作半圆O,连接 OA,作OE⊥OA交CD边于 点E,连接AE.求证：AE是半圆O的切线. 6.如下图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC 的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC 是⊙O的切线 D 下册第24章 31△(2)在Rt△ABC中，BC=5-4=3. 设OE=r,则OA=5-r. OE∥BC,∴.△AOEp△ABC, 小船即5号=专解得 8， A0=5-r=81 25 在R△A0E中，AE=√()-(g)-, :.CE=AC-AE=4-2=2 53 11.解：(1)证明：连接OC,如图①. ,CE为⊙O的切线，.OC⊥CE, ∴.∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°. ,OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC. OD⊥BC,.∠BOD+∠OBD=90°， ∴.∠BOD+∠OCB=90°，.∠BCE=∠BOD. 图① 图② (2)连接AC交OP于点F,如图②. AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°， AC=√AB2-BC=√132-5=12. P为AC的中点，.OF⊥AC,AF=CF=6, 0F-2-号Fp-0p-0F-号号-4 在Rt△APF中，AP=√AF+FP=√6+4 2√/13. 方法技巧专题切线的判定方法 1.解：(1)证明：如图，连接OC. :C是AD的中点，.AC=DC, .∠ABC=∠EBC. ,OB=OC,∴.∠ABC=∠OCB, ∴.∠EBC=∠OCB,∴.OC∥BE. BE⊥CE,.OC⊥CE. 又：OC是⊙O的半径，∴.CE是⊙O的切线. (2)连接AC,如图. AB是⊙O的直径，BE⊥CE, ∴.∠ACB=∠E=90. 又：∠ABC=∠CBE, .△ABC∽△CBE, 带能 亮-gBc=25 2.证明：如图，连接OF,OC ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°. E是BC边的中点，AO=DO, ..AO=CE, .四边形OAEC是平行四边形，∴.AE∥OC, ∴∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA. OA=OF,∴.∠OAF=∠OFA, ∴.∠DOC=∠FOC OD=OF, 在△ODC和△OFC中， ∠DOC=∠FOC, LOC=OC, △ODC≌△OFC(SAS),.∠ODC=∠OFC=90°， 即OFI CF 又OF是⊙O的半径，∴.CF与⊙O相切. 3.解：(1)证明：如图，连接OA. ∠E=30°，.∠B=∠E=30°， ∠AOC=2∠E=60°. .AB=AD, ∠D=∠B=30°， .∠OAD=180°-∠AOC-∠D=90°，即AD⊥OA. 又OA是⊙O的半径，∴直线AD是⊙O的切线. (2)BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M, .∴.AM=EM. :∠AMO=90°，∠AOM=60°，.∠OAM=30°， 0M=20A=2×10-5, ∴.AM=√OA2-Of=√102-5=55， ∴.AE=2AM=2×5√3=10√3. 4.解：(1)证明：如图，连接OE,则OE=OD, ∠OED=∠ODE. ∠ODE=∠BDC, ∴.∠OED=∠BDC. CE=BC,∴.∠CEB=∠CBE. :∠ACB=90°， ∴.∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE=90°， 即CE⊥OE. 又OE是⊙O的半径，∴.CE是⊙O的切线. (2)∠OEC=90°，∴.OE+CE=OC. .CD=2,BC=4,OE=OD, ..CE=BC=4,OC=OD+CD=OD+2, .OD+4=(OD+2)2,解得OD=3, AD=2X3=6,.AC=AD+CD=6+2=8. 5.证明：如图，过点O作ON⊥CM于点N,则∠ONC =90°」 :∠ACM=30°，0N=20C 下册参考答案 145 .AO=BO=BC,..ON=BO 即ON是⊙O的半径，∴.CM是⊙O 的切线。 6.证明：过点O作OE⊥AC于点E,连 接OD,OA,如图. :AB与⊙O相切于点D, ∴.AB LOD. :△ABC是等腰三角形，O是底边BC 的中点， .AO是∠BAC的平分线， .OE=OD,即OE是⊙O的半径， AC是⊙O的切线. 7.证明：如图，连接OE,OA,OC,过点O作 OF⊥CD于点F :AB与小圆O相切于点E, .OE⊥AB .AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD, AE-2AB-CD-CF. (OA=OC, 在Rt△AOE和Rt△COF中， AE=CE. ..Rt△AOE≌Rt△COF(HL), .OE=OF,即OF为小圆O的半径， .CD与小圆O相切. 8.证明：在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90° .OE⊥OA,.∠AOE=90°， ∴.∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°， ∠BA0=∠COE,△ABO△OCE.A5-AC OC OE 0B=0心8-0架即80 AB BO 又'∠ABO=∠AOE=90°， .△ABO∽△AOE, .∠BAO=∠OAE,.AO平分∠BAE. 如图，过点O作OF⊥AE于点F. BO⊥AB,.OB=OF,即OF是半圆O的半径， .AE是半圆O的切线. B 0 第3课时切线长定理 1.C2.D3.D4.C5.246.219 7.(1)30°(2)2/3 8.解：PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B, .∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB. 又∠APB=90°， 1433433 146 九年级数学HK版 .四边形OAPB为正方形， ..OA=PA. 在Rt△AOP中，2OA2=OP2,即OA2=8, ∴.OA=2√2，即⊙O的半径为22. 9.A10.D1.15°12.号 13.解：(1)连接OF,如图. 根据切线长定理，得BE=BF,CF=CG, ∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG. AB∥CD, .∠ABC+∠BCD=180°， ∴.∠OBF+∠OCF=90°，∴.∠BOC=90°. (2)10 (3),BC与⊙O相切于点F,∴.OF⊥BC, ÷Sam=20F·B0=20B.0C.即20F10=号 ×6×8,.OF=4.8cm,即⊙O的半径长为4.8cm. 14.解：(1)证明：如图，连接OB,延长AO交⊙O于点D ,PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点， .∠OBP=∠OAP=90°， ∴.∠P+∠AOB=180°. ∠AOB+∠BOD=180°， ∴∠BOD=∠P. :∠COA=∠P,∠COA=∠BOD. OB=OC,∠BCO=∠CBO. :∠COB+2∠BCO=180°，∠COB+2∠COA=180°， .∠COA=∠BCO,∴.BC∥OA. (2)如图，延长BC交PA于点E,过 点O作OF⊥BC于点F, ∴BF=CF=2BC=5. .OC=OA=13, .由勾股定理，得OF=√132-5=12. BC∥OA,OF⊥BC,OA⊥PA, ∴.四边形AOFE是矩形， ∴AE=OF=12,EF=OA=13,∠PEB=90°. PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点， ..PA=PB. 设PA=x,则PB=x,PE=x-12. 由勾股定理，得PB=PE+BE, x2=(x-12)2+(13+5)2, 解得=号PA=婴 24.5三角形的内切圆 1.C 2.解：如图所示，⊙P即为所求.