24.5 应用技巧专题 切线的判定和性质的应用-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

3.B4.6变式题D5.110 6.解：设切点分别为D,E,F,连接 OD,OE,OF,如图，则OD=OE= OF=2. △ABC的周长为12， ..AB+BC+AC=12, ∴S=2AB·OD+7BC.0E+AC.OF (AB+BC+AC)X2-1X2-12. 7.B8.D9.20°10.1135°(215 3 11.解：(1)证明：点I是△ABC的内心， .∠BAD=∠CAD=∠CBD,∠ABI=∠CBI, .∠BID=∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI= ∠IBD,.DI=DB. (2)如图，过点O作OH⊥AD于 点H,则AH=DH. :O为AB的中点， 0H=2BD=1. AB为直径，∠D=90° :DI=DB,△BDI是等腰直角三角形， .ID=BD=2,∠BID=45°. O⊥BI,∠OIB=90°，∴∠OIH=45°， ∴.△OHI是等腰直角三角形， ..OH=HI=1,..AH=DH=HI+DI=1+2=3, .AI=AH+HI=3+1=4. 12.解：(1)证明：如图，，点I是△ABC的内心， ∠2=∠7=∠ABC. :DG平分∠ADF,∠I-名∠ADE :∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°， .∠ADF=∠ABC,.∠1=∠2. ∠3=∠2，.∠1=∠3，.DG∥AC. (2)证明：如图，点I是△ABC的内心， .∠5=∠6. ,∠4=∠7+∠5，∠3=∠2，∠7=∠2， .∠4=∠3+∠6，即∠4=∠DAI,.AD=ID. (3)DE=4,BE=5,.BD=9. ∠2=∠7，∠3=∠2，∠3=∠7. :∠ADE=∠BDA, △DAE∽△DBA,∴.AD:BD=DE：DA,即 AD9=4:AD,解得AD=6, .ID=AD=6,.BI=BD-ID=9-6=3. 应用技巧专题切线的判定和性质的应用 1.解：(1)证明：如图，连接OA,则OA=OB, .∠OAB=∠OBA. ,AE与⊙O相切于点A, AE⊥OA,∴.∠EAO=90. AD=CD,∴OB⊥AD, .∠ADB=90°， .∠DAB+∠OBA=90°. ∠EAB+∠OAB=∠EAO=90°， ∠EAB=∠DAB,∴.AB平分∠DAE. (2)由(1)，得∠ADO=90°， ..AD2+OD2=0A. .BD=6,AD=12,.OD=OB-6=OA-6, .122+(OA-6)2=OA,解得OA=15, .0D=15-6=9, ∠A0E-荒-铝告， AE=号0A=专×15=20，AE的长为20. 2.解：(1)证明：连接OD,如图①. CD与⊙O相切于点D, .∠CDO=90. :AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°， ∴.∠AEB=∠CDO. 图① :∠BAE=30,BE=号AB,BE=0D. AE∥CD,∠BAE=∠C, .△BAE≌△OCD(AAS),.AE=CD, .四边形ACDE为平行四边形. (2)连接OF,BF,过点B作BH⊥EF于点H,如图②. 由(1)可知，AE=CD=2√3. D ∠BAE=30°，.BE=2,AB=4, 01 0B=0P=2AB=2. F为AB的中点， 图② .∠BOF=90°， .BF=√OB+OF=√22+2=2/2. 下册参考答案 147 :∠BEF=号∠BOF=45, △BHE为等腰直角三角形，∴BH=EH=√E. 在Rt△BHF中 FH=√BF-BΠ=√(22)2-(W2)2=√6， .EF=EH+FH=√2+√6. 3.解：(1)连接CE,OA,如图 BC是⊙O的直径， .∠BEC=∠BAC=90°. ∠AEB=110°， .∠AEC=∠AEB-∠BEC=20°， .∠AOD=2∠AEC=40° .AD与⊙O相切于点A,.OA⊥AD, .∠OAD=90°，∠D=90°-∠AOD=50° (2)证明：由(1)可知，∠BAC=∠OAD=90° .∠BAO+∠OAC=∠CAD+∠OAC=90°， .∠CAD=∠BAO. .OA=OB, ∴.∠BAO=∠ABC, ∴.∠CAD=∠ABC 4.解：(1)如图，连接OE,则OE=OB ∠ABC和∠C互余，∴∠ABC+∠C=90°， ./A=90°. ⊙O切AC于点E,∴AC⊥OE ∠OEC=90°，∴∠OEC=∠A,.OE∥AB, .∠CBE=∠OEB=∠ABE=24°， .∠ABC=2∠CBE=2×24°=48°， .∴.∠C=90°-∠ABC=90°-48°=42° (2)如图，连接OP:F是BE的中点，BF=EF 由(1)，得∠CBE=∠ABE,∠OEC=∠A=90°， .ED=EF, .BF=EF=DE ∠B0F=∠FOE=∠E0C=3×180=60, .∠C=90°-∠EOC=30° AB=3,.'.BC=2AB=6. .'OC=20E=20B, .∴.BC=OB+OC=OB+2OB=6,獬得OB=2, .⊙0的半径是2. 5.解：(1)证明：连接OC,如图， 由题意，得CPF=BC,OA=OC, ∴.∠DAC=∠BAC=∠ACO,∴AD∥OC. 1311434 148 九年级数学HK版 ,AD⊥CD,.OC⊥CD. 又OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线. (2)AF十AB=2AD.理由如下： 过点C作CE⊥AB于点E,连接CF, BC,如图，则∠CDA=∠CEA=90°. ∠DAC=∠EAC, 在△DAC和△EAC中， ∠CDA=∠CEA, AC-AC, .△DAC≌△EAC(AAS),.CD=CE,AD=AE. :∠DFC+∠AFC=180°，∠AFC+∠B=180°， ∠DFC=∠B. ∠CDF=∠CEB, 在△CDF和△CEB中，∠DFC=∠B, CD=CE, △CDF≌△CEB(AAS),∴.DF=EB. .AF=AD-DF,AB=AE+BE, ..AF+AB=AD+AE=2AD. 6.解：(1)证明：连接OM,如图. ,四边形ABCD是正方形，∠A=∠B=90°. ,AB是⊙O的直径，∴AD,BC是⊙O的切线. 又EF始终与以AB为直径的⊙O相切于点M, ∴∠MOE=∠AOM.∠MOF-∠OM. ∠EOF= ∠A0M+号∠B0M=号×180°=90， .OE⊥OF. (2)tan∠OFE=5-1 2 24.6正多边形与圆 1.C 2.解：(1)证明：连接OE,如图。 由画图可知，AE=OA=OE, ∴△AOE是等边三角形，∴.∠AOE=60°， AE是⊙O的内接正六边形的一边. (2)正六边形AEGBHF如图所示. 3.B4.A5.C6.15应用技巧专题 切线的判定和性质的应用 题型① 应用于求线段的长度 (2)若CD=2√3，求EF的长. 1.(2024合肥肥西一模)如下图，△ABC内接 于⊙O,AC与OB相交于点D,且AD=CD, AE与⊙O相切于点A. (1)求证：AB平分∠DAE; (2)若BD=6,AD=12,求AE的长. 题型②应用于求角的度数 3.如下图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上， AD与⊙O相切于点A,交BC的延长线于点 D,E是AB上一点，连接AB,AC,AE,BE (1)若∠AEB=110°，求∠D的度数； (2)求证：∠CAD=∠ABC. 2.(2024天长一模)如右图，AB 为⊙O的直径，在BA的延长 线上取一点C,CD与⊙O相 切于点D,AE∥CD交⊙O于点E,且∠BAE 30°，F为AB的中点，连接EF,DE (1)求证：四边形ACDE为平行四边形； “36 九年级数学HK版 4.(2024宿州泗县一模)如下图，在△ABC中， (2)请判断线段AB,AF与AD之间的数量 ∠ABC和∠C互余，D是BC上一点，以BD 关系，并说明理由. 为直径作⊙O切AC于点E,AB与⊙O交于 点F,连接BE. (1)若∠ABE=24°，求∠C的度数； (2)若F是BE的中点，AB=3,求⊙O的 半径. 题型④应用于圆中的动点问题 6.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别是边 AD,BC上的动点，且EF始终与以AB为直 径的⊙O相切于点M,连接OE,OF. (1)求证：OE⊥OF; (2)当点O,M,D共线时，请直接写出tan∠OFE 的值. 题型③应用于探究数量和位置关系 5.如右图，AB是⊙O的直径， F,C是⊙O上两点，且C是 BF的中点.连接AC,AF,过 点C作CD⊥AF交AF的 延长线于点D. (1)求证：CD是⊙O的切线： 下册第24章 37△