24.2 应用技巧专题 圆的基本性质的应用-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

应用技巧专题 圆的基本性质的应用 题型① 点与圆的位置关系 题型③ 利用隐圆求最值 1.如图，在平面直角坐标系中，⊙M的一段圆 4.在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E是BC 弧经过A,B,C三点，已知点A,B,C的坐标 右侧一点且CE⊥BE,G是AB上一点，F是 分别为(0,4)，(-4,4)，(-6,2). DE的中点.已知∠DGE=90°，则FG的最 (1)圆心M的坐标为 大值为 () （2)⊙M的半径为 A.73+3 B.√7T+3 2 (3)点D(-5,-2)在 ⊙M (填 C.65+4 D.6T+4 B y 2 2 “内”“外”或“上”)； (4)点O到⊙M上最近的 点的距离为 0 第1题图 题型②利用半径相等解题 第4题图 第5题图 2.如下图，已知BD=OD,∠B=38°，求∠AOD 5.如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是 的度数 射线AD上的一个动点，点Q在BP上，且 满足∠BCQ=∠BPC,则线段CQ的最小值 为 () A.√2 B.1 C.√5-1 D.22-1 题型④ 利用垂径定理解题 6.如右图，AB是⊙O的直径， CD∥FG,FG⊥AB交AB于 3.如下图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分 点H,CD交AB于点E,连接 别交BA的延长线与AC于点E,F,连接EF AC,AD.求证：AC=AD. 并延长交BC于点G,且EG⊥BC.求证：AB =AC. 16 九年级数学HK版 7.(2024六安期中)如下图，AB为⊙O的弦，点 题型⑥三角形的外接圆、外心及其性质 C在AB上，AC=4,BC=2,CD⊥OC交⊙O 9.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,⊙O是 于点D.求CD的长. △ABC的外接圆. 0 0 B 图① 图② (1)如图①，求⊙O的半径长； (2)如图②，∠ABC的平分线交半径OA于 点E,交⊙O于点D.求OE的长. 题型⑤利用圆心角、弧、弦、弦心距间关系 解题 8.如下图，∠AOB=90°，C,D是以O为圆心的 AB的三等分点，连接AB分别交OC,OD于 点E,F (1)求出∠AEC的度数； (2)求证：AE=BF=CD. 下册第24章 7△AE-CE-AC-1.AC-BC-OB-2. ∴.OE=√OC-CE=3, .BE=√OE+OB=√(3)2+22=7. 第4课时圆的确定 1.D2.C 3.解：如图，⊙O即为所求 4.解：(1)如图所示.点O即为所求. (2)如图，连接AO,OB,设BC交OA 于点D. 由题意易得OA垂直平分BC. .'BC=16 cm,AB=AC, ∴.BD=8cm. .'AB=10 cm,.'AD=AB-BD=6 cm. 在Rt△BOD中，OD=(R-6)cm, 小R=8+(R-6),解得R=25, 31 “圆的半径R为罗cm 5.D6.B 7.解：如图，⊙M即为所求作的圆. ,△AOB是直角三角形， .△AOB的外心M是斜边AB的 中点 过点M分别作MC⊥x轴于点C,MD⊥y轴于点D,则 MD∥OA,MC∥OB ∴C是OA的中点，D是OB的中点， ∴0C-号0A=4.0D-号0B=2. .点M的坐标是（一4，一2） 8.B9.C10.D11.A12.①13.8或2 14.证明：连接FG,GH,HI,IF,FH,IG,设 FH,IG交于点O,如图所示. :F,G,H,I分别是四边形ABCD各边中 点，∴GH是△BCD的中位线，FI是 △ABD的中位线，FG是△ABC的中位线， ∴GH∥BD,GH=BD,FI∥BD,FI=2BD, FG∥AC,∴.GH∥FI,GH=FI, .四边形FGHI是平行四边形. AC⊥BD,∴.FG⊥GH, .四边形FGHI是矩形， 3131431 140 九年级数学HK版 ..OF=OG=OH=OI F,G,H,I四个点在同一个圆上 15.证明：(1)D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， ,.DE和EF都是△ABC的中位线， .ED∥BC,EF∥AC, .ED∥FC,EF∥DC, .四边形EFCD是平行四边形 (2)假设线段EC与FD垂直. 四边形EFCD是平行四边形， ∴.平行四边形EFCD是菱形.∴EF=DE. :DE和EF都是△ABC的中位线， DE=BC,EF=AC,∴BC=AC, .这与BC,AC均不相等相矛盾， ∴.该假设不成立，∴线段EC与FD不垂直， 应用技巧专题圆的基本性质的应用 1.(1)(-2,0)(2)25(3)内(4)25-2 2.解：BD=OD,∠B=38°， .∠DOB=∠B=38°， ∠ADO=∠DOB+∠B=76°. ,OA=OD,.∠A=∠ADO=76°， ∠AOD=180°-∠A-∠ADO=180°-76°-76°=28°. 3.证明：AE=AF,.∠E=∠AFE '∠AFE=∠CFG,.∠E=∠CFG. ,EG⊥BC,∴.∠E+∠B=90°，∠C+∠CFG=90°， .∠B=∠C,.AB=AC 4.A5.C 6.证明：，FG⊥AB,CD∥FG,.AB⊥CD AB是⊙O的直径，∴.AC=AD,.AC=AD. 7.解：如图，过点O作OE IAB于点E, 连接OA,OD. AC=4,BC=2, .AB=6. .OE⊥AB, .'.AE=BE=3, .CE=3-2=1. 设OE=x.由勾股定理，得OA=x2十9，OC=x2+1. CD⊥OC, .CD2=OD2-OC2=x2+9-(x2+1)=8, .CD=22 8.解：(1)连接AC,DB,如图 ,C,D是AB三等分点， ..AC-CD-DB. 又∠AOB=90°， .∠AOC=∠COD=∠DOB=30°. ,OA=OB,∠AOB=90°， .∠OAB=∠OBA=45°， ∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75. (2)证明：：∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，∠AEC= 75.0A=00,∠AC0=2(180-∠A00=2× (180°-30°)=75°， .∠AEC=∠ACO,.AE=AC. 同理可得BF=DB. AC=CD=BD,∴.AE=BF=CD 9.解：(1)过点A作AH⊥BC于点H,连接OB,如图①. AB-AC,.BH-CH-7BC-3, 即AH垂直平分BC,∴.点O在AH上. 在Rt△ABH中，AH=√AB-B=√5-3=4. 设⊙O的半径为r,则OB=r,OH=AH-OA=4-r 在R1△0BH中，十(4-=r,解得， 放⊙0的半径长为得 图① 图② (2)过点E作EF⊥AB于点F,延长AO交BC于点G, 如图②. 由(1)可知，OG⊥BC,AG=AH=4. BD平分∠ABC,.EG=EF. 又：SE=2BG·AE=2AB·EE, 器器号G=号4G-2×4=子 “0G=AG-0A=4-5- 0E-c-0G-是-名-景 应用技巧专题垂径定理的应用 1.解：(1)连接OD,如图.设⊙O的半径 长为r AB⊥CD,.∠OED=90°，DE=CE =CD=×8=4. 在Rt△ODE中，OE=r-2,OD=r,DE=4, .(r-2)2十42=r2, 解得r=5,即⊙O的半径长为5. (2)在Rt△BCE中，.CE=4,BE=AB-AE=8, ∴.BC=/4+8=45. OFLBCBF-CF-C-25ZOFB-90 在Rt△OBF中，OF=√OB-BF=√52-(25)2= √5，即OF的长为√5. 2.解：(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB, 延长OF交⊙O于点E. CD是⊙O的直径， ∴.CE=DE,AE=BE, ∴CE-AE=DE-BE,即AC=BD,∴AC=BD. (2)OFLAB,∴AF=2AB=4. 设OC=OE=OA=r,则OF=OE-EF=r-2. 在Rt△AOF中，有OF2+AF=OC, 即(r-2)2+42=r2,解得r=5, .CD=2r=10. 3.证明：连接AC,如图. :直径AB垂直于弦CD于点E, ..AC=AD,.'.AC=AD. CF⊥AD,AC=CD, .'.AC=CD, AC=AD=CD,则△ACD是等边三角形， ∴∠PCD=∠ACD=30 在R△C0E中，0E=20C. ∴OE=2OB,即E为0B的中点. 4.解：(1)证明：：OD⊥AB,OE⊥AC, ∴AD-合AB,AE=2AC :AB=AC,∴，AD=AE. 又：∠ADO=∠A=∠AEO=90°， .四边形ADOE是正方形 (2)连接OA,如图 .'AC=4 cm,.'.AE=2 cm. 在Rt△AOE中，OA=√22+2=22 (cm),即⊙O的半径长是22cm. 5.解：如图，连接OD. 设⊙O的半径为r. .CD⊥OC,∴.∠DCO=90°， ∴.CD=√OD-OC=√P-OC. 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OCLAB时，OC最小，此时D,B两点重合， :CD=号AB=号XI=号，即CD的最大值为号 6.解：如图，连接AD,交MN于点P,连接PC,过点D作 下册参考答案 141