4.4.3不同函数增长的差异 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异. 2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 3.了解函数的建模过程。 学 习 目 标 4.4.3 不同函数增长的差异 指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)，一元一次函数y=kx(k>0)，虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 下面就来研究一次函数y=kx，k>0 ，指数函数y=ax(a>1) ，对数函数y=logax(a>1) 在定义域内增长方式的差异. 我们采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法. 一.以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异 x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 ··· ··· ··· 观察两个函数图象及其增长方式回答下面问题： 1、两图象的交点是什么？ 2、两图象的关系是什么？ 3、总结两图象增长变化情况？ 4、请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？ 综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快. 随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道. 尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x. 5、类比上述能否推广到一般情况？ 推广：一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度. 二.以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. x y=lgx 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 ··· ··· ··· y=lgx y=lgx 观察两个函数图象及其增长方式回答下面问题： 1、根据图象分析两函数增长快慢？ 2、将y=lgx扩大1000倍，y=1000lgx与 比较，是否仍有上述规律？ 3、x的一定范围内，比较lgx与0.1x 的 大小，是否存在一个x0，恒有0.1x>lgx。 4、类比上述能否推广到一般情况？ y=1000lgx与 图象 虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化. 随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样. 推广：一般地，虽然对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢. 不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有 . 推广： 讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. 直线上升：增长速度不变，是一个固定的值； 对数增长：增长速度越来越慢，图象越来 越平缓，就像与x轴平行一样； 指数爆炸：增长速度越来越快，以相同 倍数增加，图象越来越陡，最终 就像与x轴垂直一样. 比较y=2x y=x2 y=log2x的图像 幂函数模型： 幂函数y=xn(n>0)的增长速度 介于指数增长和对数增长之间. x y o 1 1 2 4 y=2x y=x2 y=log2x 三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同. (2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax. 类型一　函数增长速度的差异(数学抽象、直观想象) 类型二　函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理) 例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 022)，g(2 022)的大小. 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下: 甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番. 你觉得哪个公司捐款最多? 分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数. 解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示. 某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示. (1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元) 某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品 的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与 投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元) 练1 当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应___；B对应___；C对应__；D对应___.  练2 下列选项是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶. 已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如图所示，试确定水瓶的形状是选项中的(　　) 1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数f(x)=kx+b，k>0，指数 函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数 在定义域上的 不同增长方式. 课堂小结 2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 33 函数性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x增大逐 渐变陡 随x增大逐 渐变缓 随n值不同 而不同 公司捐款数量/万元 时间　　　　　　 甲 乙 丙 第1天 5 1 0.1 第2天 5 2 0.2 第3天 5 3 0.4 第4天 5 4 0.8 第5天 5 5 1.6 第6天 5 6 3.2 第7天 5 7 6.4 第8天 5 8 12.8 第9天 5 9 25.6 第10天 5 10 51.2 总计 50 55 102.3 解:(1)A:y=k1x过点(1,0.5),∴k1=. B:y=k2xα过点(4,2.5),(9,3.75), ∴ ∴A:y=x(x≥0),B:y=(x≥0). (2)设投资B产品x(百万元), 则投资A产品(10-x)(百万元), 总利润y=(10-x)+=-(0≤x≤10). 所以当=1.25,x=1.562 5≈1.56时,ymax≈5.78. 指数爆炸与生活哲学 指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟 悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差． 例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？ 1.01365≈？ 1.02365≈？ 0.99365≈？ 1.01219×0.98146≈？ 0.9550≈？ 有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象 地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？ eq \x(\a\al(1.01365≈37.78,0.99365≈0.03,积跬步以至千里,积怠惰以至深渊))　　eq \x(\a\al(1.02365≈1 377.41,1.01365≈37.78,多百分之一的努力,得千份收获)) eq \x(\a\al(1.01219×0.98146≈0.46,三天打鱼两天晒网,终将一无所获)) eq \x(\a\al(0.9550≈0.08,如果每次失败的概率是95%,连续失败50次的概率不到8%)) $