辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

绝密★启用前 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二期末考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 2．在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，利用向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】对于双曲线，，，， 设双曲线的两个焦点为，，不妨设点到的距离为， 已知，由双曲线定义，即，解得或， 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为， ， 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以舍去， 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 4．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 5．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求点面距离即可. 【详解】以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，则. 又，故点到平面的距离为. 故选：B 6．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为， 故选：C. 7．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 则 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除， ，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以， 所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小， 则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值， 故系数最小的项为第项. 故选：A. 8．在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求. 【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形的边长为2，则， 设，则 ， ， 即，即， 点轨迹为：， 则， 所以 ， 当时，，即； 当时，令，则表示与连线的斜率，如图2，且， 设直线与圆相切，直线化为， 则圆心到直线距离， 解得或 ， 故， 则当时，取得最大值为 的最大值为； 综上：的最大值为． 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 【答案】AC 【分析】利用独立事件的定义判断A，利用互斥事件的定义判断B，利用独立事件的概率公式判断C，结合题意与古典概型概率公式判断D即可. 【详解】对于A，对于事件A与事件B，可得， 且， 即事件A与事件B是相互独立事件，故A正确； 对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生， 如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误； 对于C，与相互独立，所以，故C正确. 对于D，因为，，， 所以，而事件等价于事件， 即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数， 可得，故D错误. 故选：AC. 10．已知抛物线的焦点为F，点在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则B点的坐标为或 C．若，则点P到y轴的距离为3 D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的性质、定义、准线方程、直线与抛物线的关系等知识逐项计算即可. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为. 由抛物线，得准线的方程为，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， 当且仅当三点共线，即点与点重合时取等号， 因为，， 所以，解得，故A正确. 设点的坐标为，且， ，解得， ，解得， 点的坐标是或，故B错误. 设点，则，解得， 又为线段的中点，则，所以点P到y轴的距离为，故C正确. 依题意，过点F的直线的斜率不为0，设过点F的直线方程为， 由消去x，得，显然， ，则， ，故D正确. 故选：ACD    11．如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 【答案】AC 【详解】对于A，直接根据四棱锥体积公式定性判断即可；对于B，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，通过空间向量法即可求解；对于C，设，则，同样通过空间向量法即可求解；对于D，对P点所在平面分类讨论，结合几何知识，判断各个面轨迹的形状，并求出各个面的轨迹长度，相加即可． 【分析】对于A，当在平面内运动时，P到平面的距离不变， 平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，设， 则， 设与所成角为，， 则 ， 因为，所以，则， 所以， 因为在上单调递减，所以，故B错误； 对于C，，设， 则， 设平面的法向量，则，即， 令，则，所以， 因为平面，所以，则， 所以， 即当时，PF长度的最小值是，故C正确； 对于D，已知直线AP与平面ABCD所成的角为， 若点P在平面和平面内， 因为，且为最大角，所以点P仅在点，处； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，作平面ABCD，如图所示， 因为，所以，因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一， 所以点P的轨迹长度为； 综上，点P的轨迹总长度为，故D错误． 故选：AC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以， 由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为， 所以，所以. 故答案为：. 13．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝ . 【答案】 【分析】根据概率和为1和均值的定义列出关于的方程组，解出即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得，，所以， 故答案为：. 14．已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，由向量共线求出的坐标，然后求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出，然后根据向量垂直求出直线的斜率，进而求出，从而得到的关系式，最后求出离心率即可. 【详解】设，则，所以， 由得，所以. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 将代入椭圆方程中，得到， 化简得，又满足， 即，根据韦达定理可得， 所以①. 由得，所以直线的斜率为. 而，解得②. ①②联立得，化简得. 所以离心率为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第四项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式定理所以二项式系数和为进行求解即可； （2）根据二项式展开式的通项得，再合理赋值进行求解即可； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【详解】（1）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为， 即，解得：. （2）二项式展开式的通项为， 令，解得：，所以当时，，故展开式中的系数为. （3）根据（2）可得：二项式展开式的通项为， 令，可得：，所以展开式的第四项为. 16．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)，线性相关性很强 (2)，8.5万元 【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； （2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可. 【详解】（1）由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强； （2）由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算10年的失效费为8.5万元． 17．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据面积最大值为，再结合离心率公式即可得到方程，解出即可； （2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再计算斜率之和的表达式，代入韦达定理式即可. 【详解】（1）当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为， 由题意得． 因为离心率，所以，所以． 因为，所以． 解得，所以， 所以椭圆的标准方程是． （2）当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称， 又点在轴上，所以的平分线在轴上． 当直线的斜率存在时，设为，由题意知，． 由（1）知，点，则直线的方程为． 由消去，整理得． 恒成立， 设，则． 设直线的斜率分别为． 因为点，所以， 所以 . 将代入， 得， 所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上． 综上，的平分线在轴上． 18．如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. (1)求证：平面平面AECD； (2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由，得到，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点， 可得，所以，所以，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则.， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量 ， 设平面与平面所成夹角为，则， 所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为. （3）解：由，可得，其中， 则， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量， 设平面与平面所成夹角为，则， 解得， 19．某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接. 已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响. (1)记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时， ①求； ②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率； (2)该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 【答案】(1)①，；②； (2)答案见解析. 【分析】（1）①根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式列式计算；②将所求概率的事件分拆成相互独立事件的积，再利用公式求出概率. （2）根据给定条件，求出新旧器件正常工作的概率，再作差比较大小即得. 【详解】（1）记事件表示元件正常工作，， ① ， . ②恰好一个指示灯亮的唯一可能情况是 ( a ) 不亮而 ( b ) 亮，即正常、 异常、 正常， 记事件C表示“一个模块中恰好有一个指示灯亮”， 因此： （2）设每个模块中指示灯b亮的概率为q，则，由0 < p < 1，得， 原器件：由2个独立模块构成，正常工作需至少一个模块指示灯 ( b ) 亮， 原器件正常工作的概率为， 新器件：由4个独立模块构成，正常工作需至少2个模块指示灯 ( b ) 亮， 新器件正常工作的概率为， 因此， 而，则，，即， 所以新器件正常工作的概率小于原器件正常工作的概率. 高二数学 第20页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二期末考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（   ） A． B． C． D． 3．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 4．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 5．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 7．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 8．在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，点在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则B点的坐标为或 C．若，则点P到y轴的距离为3 D． 11．如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 13．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝ . 14．已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第四项． 16．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 17．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 18．如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙. (1)求证：平面平面AECD； (2)若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值. 19．某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接. 已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响. (1)记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时， ①求； ②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率； (2)该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 高二数学 第2页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $