精品解析：山东省菏泽市实验中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

2025-2026学年九年级12月学情调研数学试题（人教版） 本试卷满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上答案写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美流传了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（ ）． A. B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为n米，则铅垂高度约为（ ）米． A. B. C. D. 7. 已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于( ) A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 8. 如图所示，的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 喜欢探究数学问题的文文将一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，直尺的一边恰好经过原点且与x轴的夹角为，直尺的另一边与y轴交于点B，与函数交于点A和C．如果点B的纵坐标为2，点A的横坐标为1，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知抛物线（）的部分图像如图所示，当时，该函数在所给自变量取值范围内，函数值的范围是_________． 12. 计算：_______． 13. 石磨是古代劳动人民的食品加工工具（如图），石磨的磨盘可以看作圆的一部分，图是一个石磨磨盘的示意图，是上一点，经过圆心，且弦，垂足为．已知，则这个石磨磨盘的最大宽度（的直径）为_________． 14. 如图，点在平面直角坐标系中轴上，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，然后分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，过两点作直线交于点．当以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转，则点的对应点，则线段的长为_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线在直线上取一点，记为，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_______． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣5，2），C（﹣1，1）． （1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2，且A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出点A1的坐标． （2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C． （3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 18. 山东省丘陵众多，河流密布，易于灌溉，适合种植大葱．章丘某村为了解本村大葱种植户收入增长情况，从全村户大葱种植户中随机调查户大葱种植户去年和今年平均每亩的收入（单位：千元）情况，调查结果整理、分析如下： （一）户大葱种植户去年和今年平均每亩的收入情况： 大葱种植户编号 收入（千元） 去年 今年 （二）根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 不低于千元的百分比 收入（千元） 去年 今年 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_________，_________． （2）请估计全村户大葱种植户中今年平均每亩的收入不低于千元的有多少户． （3）大葱不仅是一种常见的调味品，还具有多种对人体有益的作用，某超市出售种气味的大葱：分葱、楼葱、胡葱、羊角葱，许大娘到该超市买大葱（假设许大娘选择大葱的气味是随机选择的） 许大娘买楼葱的概率是_________； 若许大娘准备买种不同气味的大葱，试用列表或画树状图的方法，求许大娘买分葱和胡葱的概率． 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 20. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 21. 消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） （1）求出水口在D点时抛物线的解析式: （2）若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ （3）若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 22. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级12月学情调研数学试题（人教版） 本试卷满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上答案写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美流传了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合；轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形； 根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故此选项正确； 故选：D． 2. 圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】∵圆锥的底面半径为2，母线长为3， ∴这个圆锥的侧面积为． 故选：D． 3. 已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，即根的和等于，代入已知根求解另一个根即可． 【详解】∵方程 的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先将一元二次方程化成一般式，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：方程可化为， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式为， 解得． 故选：A． 5. 如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（ ）． A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 6. 如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为n米，则铅垂高度约为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，得到，设，勾股定理求出米，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：由题意，得：， 设， 在中，， ∴米， ∴米； 故选B． 7. 已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于( ) A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 8. 如图所示，的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得到是解题关键． 由，根据等边对等角可得，结合已知条件可得，然后根据圆内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：C． 9. 喜欢探究数学问题的文文将一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，直尺的一边恰好经过原点且与x轴的夹角为，直尺的另一边与y轴交于点B，与函数交于点A和C．如果点B的纵坐标为2，点A的横坐标为1，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：直尺过原点的一边与x轴的夹角为，与双曲线交于点A和C．若点A的横坐标为1， ， 反比例函数的解析式为，直线的解析式为， ，且， 设直线的解析式为， 将，代入得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ， 解得（负值已舍去）， 故选：B． 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移、最短路径问题，利用轴对称转化线段，将四边形的周长转化为“两点之间线段最短”的模型求解． ①通过联立方程，利用判别式判断是否有解；②结合抛物线的开口方向和对称轴，分析点到对称轴的距离与函数值的关系；③掌握“左加右减、上加下减”的平移规律；④利用轴对称转化线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【详解】解：①已知抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为， 抛物线与直线有交点， ， ， ， ∴抛物线与直线有交点，故①判断正确； ②的对称轴为直线，， 抛物线上的点离对称轴越远，的值越小， ，，， ， ， 故②判断错误； ③由抛物线， 该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 平移后的解析式为， 故③判断正确； ④时，抛物线的解析式为， ，，， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度为， ∴此时，四边形周长为且长度最小：， 故④结论不正确； 综上所述，正确的结论是①③． 故选：． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知抛物线（）的部分图像如图所示，当时，该函数在所给自变量取值范围内，函数值的范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图像性质，掌握二次函数的开口方向、顶点、函数的最值与取值范围是解题关键． 通过抛物线图像，确定开口方向、顶点坐标、区间端点的函数值，从而分析在内的的范围． 【详解】解：观察图像可得： 当时，函数有最小值； 当或时，函数值为， 可知当时，函数值的范围是． 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值．掌握实数混合运算的运算法则及特殊角的三角函数值是解题关键． 分别计算各部分值：利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13. 石磨是古代劳动人民的食品加工工具（如图），石磨的磨盘可以看作圆的一部分，图是一个石磨磨盘的示意图，是上一点，经过圆心，且弦，垂足为．已知，则这个石磨磨盘的最大宽度（的直径）为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是相关定理的熟练掌握．由垂径定理得到，设的半径是，由勾股定理得到，据此列方程求出半径，再求出直径即可． 【详解】解：∵经过圆心，且弦，， ∴， 设的半径是， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴，即这个石磨磨盘的最大宽度是． 故答案为：． 14. 如图，点在平面直角坐标系中轴上，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，然后分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，过两点作直线交于点．当以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转，则点的对应点，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据作图可知是等边三角形，过点的直线垂直平分线段，即垂直平分线段，可知，，，由勾股定理得，，根据旋转可得：，，即可求得线段的长． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可知是等边三角形，过点的直线垂直平分线段， 即垂直平分线段， ， 根据旋转可知点的对应点在所在的直线上， ， ， 在等边中，， 垂直平分线段，， 在等边中，， 在中， ， 根据旋转可得：， ， 线段的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，旋转的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形等知识． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线在直线上取一点，记为，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每4次变化为一个循环组依次循环，用2026除以4，根据商的情况即可得． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， … 由上可知，，4个为一组依次循环， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的配方法、因式分解法解方程是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程的一般步骤：移项、配方、开平方、转化为两个一元一次方程、解方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项、整理、因式分解、转化为两个一元一次方程、解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， 即． 开平方，得， ∴或． 解得，； 【小问2详解】 解：移项，得， 整理，得， 因式分解，得， ∴或． 解得， 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣5，2），C（﹣1，1）． （1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2，且A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出点A1的坐标． （2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C． （3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 【答案】 （1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）； （2）如图，△A2B2C为所作； （3） 【解析】 【分析】（1）延长BC到B1，使B1C=2BC，延长AC到A1，使A1C=2AC，再顺次连接即可得△A1B1C，再写出A1坐标即可； （2）分别作出A，B绕C点顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，再顺次连接即可得△A2B2C． （3）点B的运动路径为以C为圆心，圆心角为90°的弧长，利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）CB=， 所以点B经过的路径长=π． 【点睛】本题考查网格作图与弧长计算，熟练掌握位似与旋转作图，以及弧长公式是解题的关键． 18. 山东省丘陵众多，河流密布，易于灌溉，适合种植大葱．章丘某村为了解本村大葱种植户收入增长情况，从全村户大葱种植户中随机调查户大葱种植户去年和今年平均每亩的收入（单位：千元）情况，调查结果整理、分析如下： （一）户大葱种植户去年和今年平均每亩的收入情况： 大葱种植户编号 收入（千元） 去年 今年 （二）根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 不低于千元的百分比 收入（千元） 去年 今年 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_________，_________． （2）请估计全村户大葱种植户中今年平均每亩的收入不低于千元的有多少户． （3）大葱不仅是一种常见的调味品，还具有多种对人体有益的作用，某超市出售种气味的大葱：分葱、楼葱、胡葱、羊角葱，许大娘到该超市买大葱（假设许大娘选择大葱的气味是随机选择的） 许大娘买楼葱的概率是_________； 若许大娘准备买种不同气味的大葱，试用列表或画树状图的方法，求许大娘买分葱和胡葱的概率． 【答案】（1），； （2）估计全村户大葱种植户中今年平均每亩的收入不低于千元的有户； （3）；． 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，样本估计总体，用列表或画树状图的方法求概率等知识点，熟练掌握是解题的关键． （）根据中位数和众数的定义作答； （）根据表可得今年平均每亩的收入不低于千元的百分比为，用样本估计总体，得出全村户大葱种植户中今年平均每亩的收入不低于万元的有户； （）用概率公式直接求解即可； 用列表或画树状图的方法列出所有组合，进而求得正好买分葱和胡葱的概率． 【小问1详解】 解：去年收入为的有户，的有户，的有户，的有户， ∴中位数为； ∵今年收入为的有户，的有户，的有户，的有户，的有户， ∴众数为 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：（户）， 答：估计全村户大葱种植户中今年平均每亩的收入不低于千元的有户； 【小问3详解】 解：许大娘买楼葱的概率是； 故答案为：； 分葱、楼葱、胡葱、羊角葱分别用表示，画树状图得： 共有种等可能的结果，其中许大娘买分葱和胡葱的有种情况， 则许大娘买分葱和胡葱的概率是． 19. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 20. 停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ， 的平分线AC， ， ， ， ， ， ， 为圆O的半径， 是的切线； （2） 证明：连接， ， ， ， ， 与相切于点C， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，，根据切线性质可得，即，由此即得出 （3）先证明是等边三角形，得出，求出，，最后根据阴影部分的面积求出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点O作于点H，如图， 的半径为， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积 21. 消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） （1）求出水口在D点时抛物线的解析式: （2）若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ （3）若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 【答案】（1） （2）水能够射进窗户 （3） 由题意可得，抛物线的解析式为， 此时着火点的横坐标为40，当时，， 因此，正好能击中火苗． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，设顶点式，代入点即可； （2）经过平移后抛物线的解析式为，当时，则，即可比较； （3）由题意可得，抛物线的解析式为，，此时着火点的横坐标为40，当时，，因此可以击中火苗． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点， 设解析式为，代入得：， 解得：. ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：经过平移后抛物线的解析式为， 即为： 当时，， ∵， ∴水能够射进窗户； 【小问3详解】 略 22. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案． 【小问1详解】 解：该抛物线经过点， ， 解得， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 对称轴为，函数图象开口向上， ， ，， 当时，取最大值4， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ∴当，即时，， ∴抛物线过定点，且该点在x轴的上方， 由抛物线的对称轴的不同位置，分三种情况： 第一种，当抛物线的对称轴在点的左侧，即时， ∵，抛物线的对称轴右侧的部分，y随x的增大而增大， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 第二种，当抛物线的对称轴在线段上，即时， ∵抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点， 由抛物线的增减性可知，该交点为顶点，则当时，， 解得，，均不满足的前提条件，故舍去； 第三种，当抛物线的对称轴在点的右侧，即时， ∵，抛物线的对称轴左侧的部分，y随x的增大而减小， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 【答案】（1）等边对等角， （2） ①证明：∵，， ∴， 又， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解； （2）①利用证明即可； ②证明可得出，证明可得出，则点为的中点，利用勾股定理求出，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可； （3）分， 两种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：等边对等角，； 【小问2详解】 ①略 ②如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点为的中点． 在中，． ∵是中点，． 在与中，∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：当时，过D作于H， 则， ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H，过M作于G， 则， 又， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的面积是为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $