精品解析：河南省南阳市桐柏县桐柏县方树泉、一初中两大教育集团联考2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

2025秋期第三次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 给出下列7个实数：，2.5，，0，，，．其中无理数共（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，立方根和算术平方根的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：是整数，是有理数；2.5是有限小数，是有理数；是无理数；0是整数，是有理数；是整数，是有理数；不是整数且不能化为分数，是无理数；是分数，是有理数， ∴ 无理数共2个， 故选：B． 2. 用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（ ） A. 三个内角都小于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个不小于 D. 三个内角至多有两个不小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反证法与命题的否定，熟练掌握反证法和命题的否定是解题的关键，反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不小于60°”的反面是“所有内角都小于”，即可得到答案． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不小于”， ∴其反面为“所有内角都小于”， 故选：A． 3. 下列运算正确的是( ) A. 3a–2a= 1 B. a2·a3=a6 C. (a–b)2=a2–2ab+b2 D. (a+b)2=a2+b2 【答案】C 【解析】 【分析】分析：利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及完全平方公式的知识求解即可求得答案． 解答：解：A、3a-2a=a，故本选项错误； B、a2·a3=a5，故本选项错误； C、（a-b）2=a2-2ab+b2，故本选项正确； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误． 故选C． 【详解】请在此输入详解！ 4. 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）. A. BD=DC，AB=AC B. ∠ADB=∠ADC，BD=DC C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC 【答案】D 【解析】 【分析】两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形． 【详解】∵AD=AD， A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确； B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确； C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确； D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键． 5. 下列命题是假命题的是　　 A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C. 平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D. 全等三角形的周长相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定，绝对值和全等三角形的性质判断即可． 【详解】A．同旁内角互补，两直线平行，是真命题； B．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，是假命题； C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行，是真命题； D．全等三角形的周长相等，是真命题． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 6. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理逆定理和三角形内角和定理.通过判断每个选项是否满足直角三角形条件，通过计算得到选项D的角比例计算后均为锐角，因此不是直角三角形，从而得到答案. 【详解】解：A、∵ ∴ ， 由勾股定理逆定理，是以b为斜边的直角三角形. B、 ∵ ，且， ∴是直角三角形. C、 ∵ ，且， 代入得， ∴ ，是直角三角形. D、 设，则， 解得：， ∴ ，均小于， ∴不是直角三角形. 7. 如果的乘积中不含项，则m为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的乘积中不含项，可得含项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 乘积中不含项， ∴， ∴ 故选：A． 8. 如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【详解】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°， ∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°， 故选A． 【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线 9. 如图，在中，，，点是边上的动点，过点作于，于，则的长是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质的刚刚定理可得AF的长，由图形得，由面积公式代入数值计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过A点作AF⊥BC于F，连结AP， ∵， ∴△ABC为等腰三角形， ∵，AF⊥BC， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得： ， ∴， ∵，， ∴， 即，整理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是将三角形的面积转化为两个三角形的面积之和． 10. 如图，．点，，，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和，可求得，进而证得是等腰三角形，可求得的长，同理可得是等腰三角形，可得，同理得规律，即可求得结果． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵， ∴=1，， 同理可得是等腰三角形，可得=2， 同理得、， 根据以上规律可得：，即的边长为， 故选：B． 【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 计算： _____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用平方差公式进行简算即可． 【详解】原式 ， ， ； 故答案为：1． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行简算．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13. 已知： ，，化简的结果是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形的判定与性质及三角形三边关系；正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长到，使，连接，利用证明，得到，在中利用三角形三边关系求出的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线 在和中，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为： 15. 在中，，，边上的高为，则的面积为______． 【答案】36或84 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵边上的高为8cm， ∴AD=8cm， ∵AC=17cm， 由勾股定理得： cm， cm， 如图1，点D在边BC上时， BC=BD+CD=6+15=21cm， ∴△ABC的面积==×21×8=84cm2， 如图2，点D在CB的延长线上时， BC= CD−BD=15−6=9cm， ∴△ABC的面积==×9×8=36 cm2， 综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2， 故答案为：36或84． 【点睛】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，多项式除以单项式的计算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算立方根、算术平方根、绝对值，再进行加减计算； （2）利用多项式除以单项式运算法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，熟练运用公式是解题的关键． （1）运用平方差公式两次，即可解答； （2）直接提取公因式，即可解答； （3）根据完全平方公式，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先根据平方差公式和完全平方公式，多项式乘以单项式的计算法则去掉中括号里面的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式． 19. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接，若，证明为等边三角形． 【答案】（1）如下图： （2） 证明：连接， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，点在线段的垂直平分线与的交点，作出线段的垂直平分线即可； （2）利用直角三角形的性质可得，即可求证． 【小问1详解】 解：由题意可得：点在线段的垂直平分线与的交点； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图－垂直平分线，等边三角形的判定，等边对等角等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 20. 八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图． 请根据图中信息解决下列问题： （1）共有多少名同学参与问卷调查； （2）补全条形统计图和扇形统计图； （3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少． 【答案】（1）参与问卷调查的学生人数为100人； （2）补全图形如下： （3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人． 【解析】 【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比； （3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例． 【详解】（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%=100人， （2）读4本的女生人数为100×15%﹣10=5人， 读2本人数所占百分比为×100%=38%． （3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝44°时，求∠DEF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DEF＝68°． 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△CEF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣44°）＝68° ∴∠1+∠2＝112° ∴∠3+∠2＝112° ∴∠DEF＝68°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定和三角形内角和定理，解题关键是熟练运用已知证明全等，根据三角形内角和进行导角． 22. 如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》也称（《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，试求的值． 【答案】196 【解析】 【分析】先用大正方形的面积得到三角形的斜边的平方为100，则，利用大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和可得到，由完全平方公式即可求得结果． 【详解】解：∵大正方形的面积是100， ∴直角三角形的斜边的平方100， ∵直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为， ∴， ∵大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和，小正方形的面积是， ∴，即， ∴=． 【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 23. （1）问题：如图，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_______，位置关系是_______． （2）探索：如图，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1），（2），理由见解析（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质． （1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋期第三次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 给出下列7个实数：，2.5，，0，，，．其中无理数共（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（ ） A. 三个内角都小于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个不小于 D. 三个内角至多有两个不小于 3. 下列运算正确的是( ) A. 3a–2a= 1 B. a2·a3=a6 C. (a–b)2=a2–2ab+b2 D. (a+b)2=a2+b2 4. 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）. A. BD=DC，AB=AC B. ∠ADB=∠ADC，BD=DC C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC 5. 下列命题是假命题的是　　 A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C. 平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D. 全等三角形的周长相等 6. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果的乘积中不含项，则m为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 9. 如图，在中，，，点是边上的动点，过点作于，于，则的长是（ ） A. B. 或 C. D. 10. 如图，．点，，，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_______． 12. 计算： _____． 13. 已知： ，，化简的结果是_____． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是_________． 15. 在中，，，边上的高为，则的面积为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接，若，证明为等边三角形． 20. 八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图． 请根据图中信息解决下列问题： （1）共有多少名同学参与问卷调查； （2）补全条形统计图和扇形统计图； （3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝44°时，求∠DEF的度数． 22. 如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》也称（《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，试求的值． 23. （1）问题：如图，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_______，位置关系是_______． （2）探索：如图，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $