5.1 导数的概念及其意义 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义导学案2026-1-21 问题一：“飞矢不动”吗？ 古希腊哲学家芝诺提出一个运动悖论，一支飞行的箭在任何一个特定的瞬间（一个时刻：一个无限短的时间点），必然占据一个与它自身大小相等的空间位置。在这一瞬间，箭无法同时占据两个位置，也不能在同一个位置中“运动”（因为运动需要时间）。因此，在每一个瞬间，箭都是静止的。如果时间由无数个瞬间组成，而每个瞬间箭都是静止的，那么箭在整个飞行过程中始终是静止的，所以“飞矢不动”。 问题二：什么是“瞬时速度”（某一个时刻的速度）？ 问题三：“平均速度”与“瞬时速度”的什么关系？从数学角度来看，函数是描述物体运动变化的，我们虽然不知道什么是“瞬时速度”，但知道什么是“平均速度”（某一个时段的速度）.我们先来研究. 例1.（课本P59改编）全红婵在一次跳水中，身体重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，记为，请回答以下问题： （1）全红婵参加的项目是（ D ） A.男子三米跳板 B.男子十米跳台 C.女子三米跳板 D.女子十米跳台 （2）当 时，全红婵达到最高，最高时 ； （3）计算全红婵从起跳到达到最高点的这个时段的平均速度为 ； （4）计算当，全红婵的平均速度 ； （5）当时， ①在之前或之后任意取一个时刻（且） 计算与之间的平均速度 ； ②当无限趋近于0时，无限趋近于定值 ，即为全红婵在时的瞬时速度. 解：（1）当时，，所以身体重心离水面11米，是十米跳台； （2）抛物线的对称轴公式时，； （3）即当时，（米/秒） （4）当时，； （5）① ②当无限趋近于0时，无限趋近于定值，即为全红婵在时的瞬时速度. 总结：平均速度与瞬时速度的区别与联系， 已知路程与时间的函数为，则 1.平均速度：函数在时段上的平均速度为； 2.瞬时速度：函数在的瞬时速度： （1）在附近的平均速度： 函数在上的平均速度为； 注：是时间改变量，表示时刻附近的时刻，当，在之后的时刻，当，在之前的时刻，但. （2）在的瞬时速度： 当（趋向于）时，某个值，这个值称为“瞬时速度”. 我们称瞬时速度是平均速度的极限值. 问题四：一般地，在点处的瞬时变化率如何求？. 例2.已知函数，回答以下问题 （1）当时候，函数的平均变化率为 1 ； （2）当时候，函数的平均变化率为 3 ； （3）当时，函数的瞬时变化率为 2 . 解：（1）； （2）； （3）先算 再取极限，当时， 导数的定义：对于函数，记， 若当无限趋近于0时，无限趋向于一个确定的值，则记这个值为，即.称为函数在处的导数值. 的物理意义：函数在处的瞬时变化率. 问题五：的几何意义？过，斜率公式为. 例3.（割线斜率与切线斜率）如下示意图，已知函数，回答以下问题： （1）函数在与（且）两点间的割线斜率 ； （2）当无限趋近与0是，割线趋向于切线，斜率无限趋近于定值 2 ，即为在时的切线斜率 2 ； （3）函数在时的切线的方程为 即 . 例4.已知函数，求在处的切线方程. 解： ，即在处的切线斜率， 且，即切点为 由点斜式，得切线方程为，即. 【课堂小结】 1.导数的定义：对于函数，记，若当无限趋近于0时，无限趋向于一个确定的值，则记这个值为，即. 2.导数的意义： （1）物理意义：表示函数在处的瞬时变化率； （2）几何意义：表示函数在处的切线的斜率. 泉港二中高二数学历史组合校本作业 （导数的定义及意义）2026-1-21 班级 姓名 座号 1. 函数，当自变量由变化到时，函数的变化率（ D） （A） （B） （C） （D） 2.若函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为( C ) A.-5 B.-3 C.3 D.5 2.答案：C 解析：由题意，得，即，解得. 3. 在曲线y＝x2＋1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1＋Δx，2＋Δy），则为（　C　） A. Δx＋＋2　　　　 B. Δx－－2 C. Δx＋2 D. 2＋Δx－ 3.【答案】C 【解析】∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝（1＋Δx）2＋1－2＝2Δx＋（Δx）2，∴＝2＋Δx。 4.（多选）若当时，，则下列结论中正确的是( AD ) A.当时， B.当时， C.曲线上点处的切线斜率为-1 D.曲线上点处的切线斜率为-2 4.答案：AD 解析：由题意，得曲线上点处的切线斜率为-2，故C错误，D正确；当时，，则当时，，故A正确，B错误.故选AD. 5.函数在处的瞬时变化率为 2 ，函数在处的瞬时变化率为 3 . 6. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示。在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，其三者的大小关系是________。 6.【答案】3>2>1 【解析】∵，， 由图象可知：kMA<kAB<kBC，∴3>2>1。 7.求函数y＝3x2在x＝1处的切线方程. 【思路分析】求函数f（x）在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′（x0）。 【解析】 ∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝3（1＋Δx）2－3＝6Δx＋3（Δx）2， ∴＝6＋3Δx， ∴f′（1）＝＝（6＋3Δx）＝6。 ∴在处的切线斜率为6，且当时，，即切点坐标为， 由点斜式得，切线方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1导数的概念及其意义导学案2026-1-21 问题一：“飞矢不动”吗？ 古希腊哲学家芝诺提出一个运动悖论，一支飞行的箭在任何一个特定的瞬间（一个时刻：一个无限短的时间点），必然占据一个与它自身大小相等的空间位置。在这一瞬间，箭无法同时占据两个位置，也不能在同一个位置中“运动”（因为运动需要时间）。因此，在每一个瞬间，箭都是静止的。如果时间由无数个瞬间组成，而每个瞬间箭都是静止的，那么箭在整个飞行过程中始终是静止的，所以“飞矢不动”. 问题二：什么是“瞬时速度”（某一个时刻的速度）？ 问题三：“平均速度”与“瞬时速度”的什么关系？从数学角度来看，函数是描述物体运动变化的，我们虽然不知道什么是“瞬时速度”，但知道什么是“平均速度”（某一个时段的速度）. 例1.（课本P59改编）全红婵在一次跳水中，身体重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，记为，请回答以下问题： （1）全红婵参加的项目是（ ） A.男子三米跳板 B.男子十米跳台 C.女子三米跳板 D.女子十米跳台 （2）当 时，全红婵达到最高处，最高时 ； （3）计算全红婵从起跳到达到最高点的这个时段的平均速度为 ； （4）计算当，全红婵的平均速度 ； （5）当时， ①在之前或之后任意取一个时刻（且） 计算与之间的平均速度 ； ②当无限趋近于0时，无限趋近于定值 ，即为全红婵在时的瞬时速度. 解：（1）当时， ； （2）抛物线的对称轴公式 时， ； （3）当时， （米/秒）； （4）当时， （米/秒）； （5）① ， ②当无限趋近于0时，即当时， 无限趋近于定值 ，即为全红婵在时的瞬时速度. 总结：平均速度与瞬时速度的区别与联系. 已知路程与时间的函数为，则 1.平均速度：函数在时段上的平均速度为； 2.瞬时速度：函数在的瞬时速度： ①在附近的平均速度： 函数在上的平均速度为； 注：是时间改变量，表示时刻附近的时刻，当，在之后的时刻，当，在之前的时刻，但. ②在的瞬时速度： 当（趋向于）时，某个值，这个值称为“瞬时速度”. 我们称瞬时速度是平均速度的极限值. 问题四：一般地，在点处的瞬时变化率如何求？. 例2.已知函数，回答以下问题 （1）当时候，函数的平均变化率为 ； （2）当时候，函数的平均变化率为 ； （3）当时，函数的瞬时变化率为 . 解： 导数的定义：对于函数，记，若当无限趋近于0时，无限趋向于一个确定的值，则记这个值为，记. 称为函数在处的导数值. 导数值的物理意义： . 问题五：的几何意义是什么？（注：过，的直线斜率）. 例3.（割线斜率与切线斜率）如下示意图，已知函数，回答以下问题： （1）函数在与（且）两点间的割线斜率 ； （2）当无限趋近于0时，割线趋向于切线，斜率无限趋近于定值 ，即为在时的切线斜率 ； （3）函数在处的切线的方程为 . 例4.已知函数，求在处的切线方程. 【课堂小结】 1.导数的定义：对于函数，记，若当无限趋近于0时，无限趋向于一个确定的值，则记这个值为，即. 2.导数的意义： （1）物理意义：表示函数在处的瞬时变化率； （2）几何意义：表示函数在处的切线的斜率. 泉港二中高二数学历史组合校本作业（导数的定义及意义）2026-1-21 班级 姓名 座号 1. 函数，当自变量由变化到时，函数的变化率为（ ） （A） （B） （C） （D） 2.若函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为( ) A.-5 B.-3 C.3 D.5 3. 在曲线的图象上取一点及附近一点，则为（　 　） A. 　 B. C. D. 4.（多选）若当时，，则下列结论中正确的是( ) A.当时， B.当时， C.曲线在处的切线斜率为-1 D.曲线在处的切线斜率为-2 5.函数在处的瞬时变化率为 ，函数在处的瞬时变化率为 . 6. 汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如下图所示。在时间段，，上的平均速度分别为，，，其三者的大小关系是 . 7.求函数在处的切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $