5.2.1 基本初等函数的导数 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 【学习目标】 1. 能根据导数的定义，求函数 ，，， 的导数. 1. 熟记基本初等函数的导数公式（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）. 1. 能利用导数公式求简单函数的导数，并能解决切线问题及实际应用问题. 1. 体会从定义到公式的简化过程，培养数学抽象与运算素养. 【学习重点】 1. 用定义求几个常用函数的导数（，，，）. 2. 基本初等函数的导数公式表. 【学习难点】 1. 理解幂函数 的导数公式 的推导思想. 2. 利用导数公式解决曲线的切线方程. 学习任务一 用导数定义求几个常用函数的导数 【合作探究】 1. 回顾导数的定义及用定义求函数 在点 处导数的步骤（一差、二比、三极限）.如何用定义求导函数 ？（提示：将 换成 即可） 1. 请根据导数的定义，分别求出下列函数的导数（即导函数 ）： (1) （ 为常数） (2) (3) (4) · 写出详细的计算过程. · 1. 观察上面求出的结果，你能猜测出幂函数 （）的导数公式吗？ 1. 物理意义解释： 若 表示路程关于时间的函数，则 的物理意义是什么？ 若 表示路程关于时间的函数，则 的物理意义是什么？ 若 表示路程关于时间的函数，则 的物理意义是什么？当 和 时，速度的变化趋势有何不同？ 1. 几何意义解释： · 函数 在点 处切线的斜率为 .当 从负数变为正数时，切线斜率如何变化？这对于曲线的形状说明了什么？ 【自主梳理】 1. 几个常用函数的导数（用定义推导的结果）： 函数 导数 （常数） · 推广：对于幂函数 （），有 . 1. 基本初等函数的导数公式（阅读课本，填写下表）： 基本初等函数 导数公式 （常数） （） （，） （，） 学习任务二 导数公式的直接应用 【合作探究】 求下列函数的导数： (1) (2) （提示：写成 ） (3) （提示：写成 ） (4) (5) (6) 1. 已知曲线 ，点 是曲线上一点. · (1) 求曲线在点 处的切线方程； · (2) 求曲线过点 的切线方程.（注意：点 不在曲线上，需设切点） 【自主梳理】 利用导数公式求切线方程的步骤： 1. 确定切点 （若已知点不在曲线上，需设出切点坐标）； 2. 求导得 ，计算斜率 ； 3. 利用点斜式写出切线方程：； 4. 若已知点不在曲线上，还需联立切点在曲线上和切线过已知点两个条件解出切点. 学习任务三 导数公式的实际应用 【合作探究】 1. 某工厂每日产品的总成本 （单位：元）与产量 （单位：件）的关系为 .求： (1) 边际成本 的表达式； (2) 当产量 件时，边际成本是多少？并解释其实际意义. 1. 已知某商品的价格 （单位：元）与时间 （单位：年）的函数关系为 .求第 个年头该商品价格的上涨速度（即瞬时变化率）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 函数 的导数是 . （ ） 1. 函数 在点 处的切线斜率为 . （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 幂函数的导数公式 对 也成立（此时 ，导数为 ）. （ ） 【典例分析】 例1：求下列函数的导数： · (1) · (2) · (3) 解： 例2：已知曲线 ，求： · (1) 曲线在点 处的切线方程； · (2) 曲线过点 的切线方程. 解： 【习题巩固】 1. 下列导数运算正确的是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 函数 的导数为（ ） · A.  B.  C.  D. · 1. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知函数 ，，则曲线 与 的公切线（与两曲线都相切的直线）的斜率为（ ） · A.  B.  C.  D. 5.（选做）设函数 （，），，则 的值为______. 学科网（北京）股份有限公司 $