辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高三期末考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的运算以及模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 故． 故选：D 2．已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分性证明：根据，解得代入并根据奇函数定义判断；必要性证明：根据奇函数定义求，再对比题干中的值. 【详解】证明充分性：因为，解得，当时，，则，所以是偶函数； 当时，，则，所以是奇函数，故不充分. 证明必要性：若为奇函数，则，即， 整理得，因为，所以，即，故必要， 综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件， 故选：B. 3．为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从8000名小学生、8000名初中生，4000名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取100名学生进行调查，则应选取的高中生人数为（   ） A．10人 B．20人 C．33人 D．40人 【答案】B 【分析】设选取的高中生人数为人，根据分层抽样的定义，列出方程，即可求解. 【详解】设选取的高中生人数为人， 根据题意，可得，解得， 所以应选取的高中生人数为人. 故选：B. 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 5．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6．正三棱台上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正三角形的中心（重心）性质，通过边长计算中心到顶点的距离（即底面外接圆半径），再通过勾股定理 计算棱台的高，最后代入正棱台体积公式完成计算即可. 【详解】由题知当上底面边长时，则正三角形中心（重心）到顶点的距离：， 当下底面边长时，正三角形中心到顶点的距离：， 设棱台的高为，侧棱长， 由勾股定理得： ， 则，， 将，， 代入体积公式： 故选：C. 7．已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】合理赋值即可判断A；根据，再升幂作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C；求出，再代入求解一元二次不等式即可判断D. 【详解】对于A，由，得，，两式相减得，故A正确； 对于B，又由，， 两式相加得，故B正确； 对于C，由，可得，又，两式相减得， 所以 ，故C错误； 对于D，由 ， 即，结合，得，故 D正确. 故选：C. 8．已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象平移及伸缩变换得到，由，结合函数图象即可求解. 【详解】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度， 可得：， 当，可得， 则， 因为存在唯一实数，使得， 即是的子集，且唯一， 由图像可知， ， 所以实数的取值范围为， 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（    ） A． B．是和的等差中项 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题目条件列出方程，求出等比数列的首项和公比，即可判断A；结合等差中项的概念可判断B；利用等比数列的通项公式和前项和公式，即可判断BD. 【详解】对于等比数列，有，依题意，，解得或（舍），，选项A正确； 结合A的分析可知，则， 则，即是和的等差中项，选项B正确； 对于等比数列，有， 因此，选项C错误； 对于等比数列，有，， 则， ，选项D正确. 故选：ABD. 10．已知抛物线的焦点为F，直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则下列正确的有（    ） A．线段AB的长度最短为2 B．若，则M到y轴的距离为2 C．M到y轴的最短距离为1 D．当的斜率存在时，的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，当垂直于轴时，即可判断，对于B，利用焦点弦公式即可判断，对于C，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可判断，对于D，当直线的斜率存在时，设为，与抛物线方程联立，结合韦达定理得，进而得，即可判断. 【详解】由题意有：抛物线的方程为，焦点，准线：， 设，点， 对于A，当垂直于轴时，的长度最短为4，故A错误； 对于B，由抛物线的定义知，，有， 所以到轴的距离为，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，到轴的距离为1. 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为， 联立，得， 则，所以到轴的距离为， 综上，到轴的最小距离为1. 故C正确； 对于D，当直线的斜率存在时，同上设为， 则 ， ， 则 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，即，故D错误. 故选：BC. 11．若定义域为. 对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（    ） A．是倒数函数 B．是倒数函数 C．若在上是倒数函数，则 D．若存在，使得 在定义域上是倒数函数，则 【答案】AC 【分析】翻译题目可得在定义域上是“倒数函数”当且仅当，其中的值域、的值域分别为，对于AB，直接根据等价命题判断即可，对于C，首先求得，根据倒数函数的定义可得（1）且（2），解出即可判断；对于D，对进行适当划分并分类讨论，由必要性得，反过来验证充分性是否成立即可. 【详解】由题意对任意，存在唯一，使得， 则称在定义域上是“倒数函数”， 则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一， 使得； 即当且仅当的值域是的值域的子集， 定义的值域、的值域分别为， 所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当； 对于A，的值域为， 而的值域为，显然满足， 又为增函数，故唯一性成立，故A正确； 对于B，由对勾函数性质可得，的值域为， 而的值域为，不满足，故B错误； 对于C，由题意在上是倒数函数， 首先当时，单调递减， 此时， 由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）； 从而在时的值域为， 由题意， 所以要满足题意，还需满足（2）； 只需（1）（2）式子同时成立即可， 所以当且仅当，解得， 又在上递减，故唯一性成立，故C正确； 对于D，必要性： 情形一：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形二：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形三：当时，注意到的对称轴为， 则， （i）当时，， 由二次函数性质可知存在使得，即此时， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； （ii）当时， 由二次函数性质可知， 即此时，注意到， 若在定义域上是倒数函数， 首先，其次结合，可得应该满足； 充分性：，有， 此时的值域为，，， 故存在，使， 此时存在两个，使，不合题意，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：．    13．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】对进行讨论，利用导数求解函数的单调性，可得最值，进而得，构造函数，利用导数求解最值即可得解. 【详解】由可得， 当时，此时恒成立，在上单调递增，当时，，不满足，故不合题意； 当时，此时； 当时，令得，故在单调递增， 令得，故在单调递减， 要使恒成立，则，故， 所以， 记，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，故的最大值为． 故答案为： 14．已知函数，若对任意，，存在，使得不等式成立，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】存在，使得不等式成立即对于任意，数形结合即函数与函数图象上横坐标相同时，纵向距离的最大值中的最小值，求出函数的边界线，当直线在边界线正中间时符合题意. 【详解】由题意可得，若存在，使得不等式成立，则， 即对于任意，则， 可看作函数与函数图象上横坐标相同时，纵向距离的最大值中的最小值， 由正弦函数性质作出函数的图象如下：    可取. 设与直线平行，且与的图象相切的直线为， 则的方程为， 当直线与两条直线的距离相等时，即恰好在与直线的中间时， 函数与函数图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值， 即，，此时，，故， 所以的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列. (1)求； (2)若，点在BC上，满足，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差中项可得，由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解； （2）因为，得，设，由三角形面积公式可得，根据同角三角函数基本关系计算求解. 【详解】（1）因为成等差数列， 所以， 由正弦定理可得， 因为，所以且， 所以，故， （2）因为，， 设，则， 因为，， 所以， 因为，所以，即， 所以，则， 因为，故，即. 16．已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程，求得，再由，化简，代入计算，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的离心率为，且经过点， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：设的坐标分别为，直线的方程为， 联立方程，消去后整理为， 则有， 由，令，解得，即点， 则 ， 所以的值为. 17．如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为直线上的点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)已知． （i）求； （ii）若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，由线面平行的性质定理可得，由可证四边形为平行四边形； （2）（i）由余弦定理计算即可求解；（ii）由勾股定理可得，建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可. 【详解】（1）证明：因为，平面，平面， 故平面， 因为平面，平面平面， 则， 又，所以四边形为平行四边形； （2）（i）如图，在四边形中，连接， 由（1）知，故， 由余弦定理，有， 故，解得， 故， （ii）如图，在梯形中，作于， 由， 故，则， 又等腰梯形，，， 故，，则， 又，有，即， 故两两互相垂直，以为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 点在上，故平面即平面， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 所以， 由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为． 18．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)直线l是曲线的一条切线，且l与曲线有无穷多个切点，求l的方程并求出关于x的方程的所有实数解； (3)已知，且当，都有恒成立，求正整数a的所有可能取值. 【答案】(1)单调减区间为，无单调增区间 (2)直线的方程为或， 当时，方程的所有实数解为或，； 当时，方程的所有实数解为 ()； 当时，方程的解为全体实数. (3) 【分析】（1）求导判断的正负性即可； （2）设直线的方程为且与曲线相切于点，首先根据导数的几何意义得到切线方程为，然后根据极限分析可得到即可求出的方程，根据三角函数的周期性即可解出关于的方程. （3）根据，分三种情况进行讨论即可得出答案. 【详解】（1）当时，，则，此时， 所以的单调减区间为，无单调增区间. （2）由，得， 由直线与曲线有无穷多个切点知直线斜率一定存在. 设直线的方程为且与曲线相切于点， 则直线的方程也为， 即， 化简得，    则.     由与曲线有无穷多个切点，即存在无穷多个满足， 若，则可以无穷大，也可以无穷大. 与矛盾，故必有. 此时，解得，，， 则直线的方程为或. 而，即为， 当时，方程的所有实数解为或，. 当时，方程的所有实数解为 ()； 当时，方程的解为全体实数. （3）因为，，则在上恒成立， 则，且. 当，，不合题意舍去； 当，则， 故. 令，则. 令，由（1）知在上递增，所以， 所以，即在上递增. 又，则，所以在上递增. 又，即，，符合题意； 当，令，则， 所以，不合题意舍去， 综上，正整数a的取值集合为 19．某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为． (1)当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； (2)定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； (3)求使取得最大值的整数． 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）先计算该研究员未获得邀请的概率，再借助对立事件计算即可得； （2）借助对立事件概率可求出，再结合期望公式计算即可得； （3）表示出基本事件总数与事件所包含的基本事件数可得，再解出不等式可得，则可分是否为整数进行讨论得解. 【详解】（1）设事件表示“研究员甲即没被“理论组”邀请，也没有被“应用组”邀请”， 则； （2） ； 由， 则； （3）当时，只能取，有， 当，整数满足，其中是和中的较小者， “两组各自独立、随机的选择人发出邀请”所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到两组人邀请的人数恰为， 仅收到一组人邀请的人数为， 则事件所含基本事件数为， 此时， 当，，即， 即， 化简得， 即，则， 假如成立， 则当能被整除时， ， 故在和处达到最大值； 则当不能被整除时， 在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 下证：， 因为，所以， ，故，显然 因此. 高三数学 第22页（共22页） 高三数学 第21页（共22页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高三期末考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 2．已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从8000名小学生、8000名初中生，4000名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取100名学生进行调查，则应选取的高中生人数为（   ） A．10人 B．20人 C．33人 D．40人 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 6．正三棱台上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 8．已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（    ） A． B．是和的等差中项 C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则下列正确的有（    ） A．线段AB的长度最短为2 B．若，则M到y轴的距离为2 C．M到y轴的最短距离为1 D．当的斜率存在时，的取值范围为 11．若定义域为. 对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（    ） A．是倒数函数 B．是倒数函数 C．若在上是倒数函数，则 D．若存在，使得 在定义域上是倒数函数，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ． 13．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ． 14．已知函数，若对任意，，存在，使得不等式成立，则的最大值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列. (1)求； (2)若，点在BC上，满足，求. 16．已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的值. 17．如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为直线上的点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)已知． （i）求； （ii）若，求二面角的余弦值． 18．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)直线l是曲线的一条切线，且l与曲线有无穷多个切点，求l的方程并求出关于x的方程的所有实数解； (3)已知，且当，都有恒成立，求正整数a的所有可能取值. 19．某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为． (1)当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； (2)定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； (3)求使取得最大值的整数． 高三数学 第2页（共4页） 高三数学 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $