5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (一)课时教学内容 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (二)课时教学目标 通过小组合作动手作图、观察图象，经历从单位圆到函数图象的推导过程，学会利用单位圆和五点法绘制正弦函数、余弦函数的图象的方法，体会数形结合的数学思想. 能准确说出正弦函数、余弦函数的形状和特征，感受函数图象的对称美和周期性，激发学生对三角函数的学习兴趣. (三)课时教学重点与难点： 重点： 1. 用五点法画出正弦函数、余弦函数在上的图象. 2.正、余弦函数图象之间的平移变换. 难点： 1.用几何法绘制正弦函数图像上一个点，利用单位圆的几何意义推导正弦函数图象的过程 . 2. 正、余弦函数图象的平移变换关系后，用一对具体的点解释变换原理. (四)教学过程设计 环节一：规划研究方案，形成研究思路 教师活动 问题1：本单元我们学习了一类新的函数——三角函数，结合前面我们学习指数函数、对数函数的学习经验，思考一下，接下来我们应该如何研究三角函数? 追问： (1)研究指数函数，对数函数图象与性质的思路是怎样的？ (2)绘制一个新函数图象的基本方法是什么？ (3)根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？ 师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划、完善方案. 学生活动 预设回答： 1.研究函数的线路图： 情景问题→函数定义→函数图象→函数性质； 1. 绘制一个新函数图象的基本方法是描点法，分三步完成：列表——描点——连线； 3.对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数，余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数,的图象，再画正弦函数, 的图象. 设计意图： 1.规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习进程，形成整体观念. 2.类比已有知识，进一步巩固旧知识，有利于帮助学生把握学习方向，提升学习的能力. 环节二：探究正弦函数的图象 教师活动： 问题2：根据三角函数的定义，绘制函数的图象. 师：准确绘制图象上一点，比如绘制点 师总结：数形结合是高中数学里最重要的数学思维模式，在数行不通的情况下，我们可以从图形的角度考虑，即它们的几何意义。 追问(1)：在上任取一个值，根据1rad角的定义思考，在单位圆上表示哪个几何量？怎样把它表示在轴上？ 追问(2)：单位圆中的几何意义是什么（此处教师应该加问是不是线段长）？如何把这个几何量表示在轴上？ 追问(3)：根据上述分析，如何在坐标系中作出点. (教师引导学生，根据定义分析确定对应的几何量.) 学生完成图形后，教师用数学软件geogebra动图展示和在坐标平面内描绘. 学生活动： 1.学生尝试用传统的描点法作图： ①点的横坐标为无理数，在轴上的位置无法准确确定； ②它的正弦值同样也是无理数，无法准确确定它在纵轴上的位置. 2.学生完成以下问题： ①回顾1弧度角的定义： ，当时，，即在单位圆中，圆心角的大小就等于它所对的弧长； 把弧长的大小在轴上表示的方法（学生回答：细线缠绕法、软尺测量、圆滚动法，教师需及时给予鼓励）. ②回忆三角函数的单位圆定义可知.它的几何表示是什么？ ③尝试表示点，学生动手按自己想到的方法进行描点. 活动：小组合作，使用提前准备好的教具尝试利用细线缠绕法，分别画出在坐标轴上对应的点，再绘制图象上的点. 设计意图： 从单位圆出发，让学生明白，研究函数的性质也可以从几何直观的角度，进一步培养学生直观想象、逻辑推理的核心素养; 教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点. 教师活动： 问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，如何画出函数 ,的图象？你能想到什么办法？ 师生活动：学生给出设想，师生讨论后选择一种或者多种适合的方法实施， 预设的答案： 方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接。 方案2：为方便操作，可以在区间内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接。 追问：这两种绘制方法的异同是什么?(两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下,用方案2比较可行。) 师生活动：学生用方案2绘制函数图象，教师借助信息技术，用方案1绘制函数图象.学生完成后，教师用数学软件geogebra动图展示方案2绘图. 师:增加分点,动图展示: 学生活动： 学生小组合作用等分点法（如常用的十二等分圆周），绘制 ,的函数图象. 生：把轴上从0到这一段分成十二等份，使值分别为，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述方法就可以画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点. 展台展示学生绘图的成功案例，让所有学生都动手经历绘图的过程. 设计意图： 确定画出一个周期内正弦函数图象的方法，同时双管齐下，先让学生动手用方案1绘图，完成后教师再用方案2动图演示. 问题串环环相扣步步深入，信息技术的直观演示使学生经历从直观想象到理性刻画的过程，完善了对正弦函数几何意义的理解，活动中增强了学生的合作意识、动手能力，让学生体会到实践出真理的快乐. 问题4：如何画出函数，图象的简图? 追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点? 师生活动：教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法. 教师总结：只要描出这五个点，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点（画图）法”. 学生活动： 学生观察图2，按照正弦函数图象的走势,其形状由五个点其基本确定:最高点、最低点以及零点. 预设的答案: 学生动手描绘简图，小组互评. 设计意图： 观察函数图象，概括其特征，并发现图象的“关键点”，获得"五点法"画图的简便画法. 小组绘制简图并互评，对照正弦函数图象查找作图不规范的地方. 问题5：根据函数 ,的图象，你能想象正弦函数,的图象吗? 追问1：正弦函数的定义域是，上的图象只是一部分，试想，的图象应该如何得到？呢？ （教师演示：单位圆里终边逆时针旋转一周后，继续旋转时正弦值变化规律，学生总结） 追问2：正弦函数,的图象是怎样的？ 师生活动：学生画图，教师予以指导. 教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)，是一条"波浪起伏"的连续光滑曲线. geogebra动图展示平移得R上图象的过程： 学生活动： 1.学生知道三角函数值的变化是周而复始、循环往复的，每旋转一周，函数值就会重复出现一次.此结论也可用诱导公式一：,其中佐证说明. 2.函数,且的图象与 ,的图象形状完全一致.因此将函数 ,的图象不断向左，向右平移(每次移动个单位长度)，就可以得到正弦函数,的图象，如图所示. 设计意图： 从局部图象到实数集R上的整体图象，是从有限到无限的推广，既深化了学生对正弦函数定义的理解，又提升了学生推理、概括的能力. 绘制函数,的图象，并培养说理的习惯. 环节三：探究余弦函数的图象 问题6：如何画出余弦函数,的图象? 追问(1)：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数.诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化.相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？ 从数的角度看，可以选择关系.记，则.因此函数的图象，可以看作将函数的图象上的点向左平移个单位得到. 追问(2)：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗? 师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范，教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析. 得到图象之后还可以再利用图象进行验证. 教师指出，余弦函数,的图象叫做余弦曲线(cosine curve).它是与正弦曲线具有相同形状的"波浪形"曲线。 geogebra动图展示平移过程： 学生活动： 生作答：类比正弦函数图象的画法，可以用类似的方法画余弦函数的图象.(对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题.) 学生作答：下面两个诱导公式可实现正弦函数和余弦函数的相互转化： （师引导学生通过比较进行选择，要简洁、易行的公式，作为正弦函数，余弦函数关系研究的依据.） 预设的答案：设(是函数图象上任意一点，则有. 令，则，即在函数 图象上有对应点(. 比较两个点：(与(,因为，即 所以点(可以看做是点(向左平移个单位得到的. 只要将函数图象上的点向左平移个单位即可得到函数的图象. 设计意图： 利用诱导公式，通过图象变换，增强对两个函数图象之间的联系性的认识. 信息技术动态展示图象变换，通过对正弦曲线上一个具体点的变化，理解图象平移的实质，化抽象为直观，加深了对正余弦函数关系的理解，体现了化归思想. 教师活动： 问题7：类似于用"五点法"作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图? 追问：余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些?请将它们的坐标填入下表，然后作出,的简图。 学生活动： 学生根据平移原理得出上的五点 0 0 1 0 设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得"五点法". 环节四： 巩固新知 教师活动： 先用“五点法”画出下列函数的图象，再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象： (1) ,; (2) ,. （学生用描点法做完后，教师可引导学生用图象平移和变换法得到图象） 学生活动： 学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答. 设计意图： 巩固学生对正弦函数，余弦函数图象特征的掌握，熟练"五点法"画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫， 环节五： 目标检测 教科书第200页练习第2题：用五点法分别画出下列函数的图象 ： (1) , ； (2) , . （该题目在课堂上灵活处理，时间允许的情况下完成，时间不否则可做为课后练习题处理） 学生活动： 注意范围的变化，归纳出横坐标的取法 鼓励学生一题多解完成（五点法和图象变换法）. 环节六：课堂小结、作业布置 1.师生共同从知识层面和数学思想方法两个方面对本节课进行总结.正、余弦函数图象 知识体系 思想方法 正弦曲线 余弦曲线 类比 数形结合 由特殊到一般 几何描点法 五点作图法 变换作图法 作图方法 研究方法 2.课本200页练习题3. 选做题：如何把正弦曲线通过变换得到余弦曲线. 设计意图： ①小结从两个方面回顾本节课的内容，起到梳理、提炼、升华、检验的效果，也启发了学生知识生成和发展的过程. ②作业目标：掌握正，余弦函数图象的特征，会用五点作图法和变换作图法作函数图象.先做题的设定是为了让学生都有成就感，同时与课堂内容相呼应，有利于拓展思维，让本节课的教学目标在课后有所延展. 学科素养：培养学生动手操作能力，将科学的态度落实到具体实践活动中；培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养. 环节七：板书设计 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 1. 正弦函数图象（红色标注五点） 表格：“五点”： 2. 余弦函数图象（红色标注五点） 表格：“五点”： 3.两种常用的绘图方法： 1. 研究函数一般路径：背景→函数→图象→性质 2. 1rad角的定义 3. 三角函数定义 4. 诱导公式 ,其中. 学科网（北京）股份有限公司 $