专题02 相似三角形之X（8字）模型（几何模型讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦相似三角形“X（8字）模型”核心考点，围绕AA相似判定及对应边比例应用，构建“模型来源-真题现模型-提炼模型-模型运用”知识体系，涵盖“8字”“反8字”等四类模型，通过考点梳理、方法指导（角相等识别、比例建等式）、真题训练（2024-2025四川多地中考题）等环节，帮助学生突破几何相似难点。 亮点在于“真题驱动-模型迁移”教学策略，如结合2024自贡中考矩形折叠题，引导学生用几何直观识别模型结构，通过推理能力推导比例关系。设分层练习（3道例题+8道习题），培养模型意识，助力学生高效掌握相似计算技巧，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

专题02 相似三角形之X（8字）模型 “X”（“8” 字）模型是初中几何相似核心模型，均以 AA 相似为判定核心。“X” 模型对顶相交且对应边平行，对顶角与内错角相等。解题关键是快速识别角相等条件，锁定相似后套用对应边比例建等式。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 4 6 相似模型中的“X”字模型（“8”字模型）源于平面几何相似三角形的解题实践归纳，是对高频出现的固定图形结构的形象化命名，无单一独创文献，而是教学与解题经验的共识性总结，核心依托相似三角形的AA、SAS、SSS等判定定理，聚焦“角度相等→三角形相似”的核心逻辑，因图形直观、辨识度高，方便师生交流与快速解题而被广泛沿用。其中“X”字（“8”字）模型由两条对应边反向延长线相交形成交叉结构，兼具“X”与“8”的外形，常见于四边形对角线相交、线段延长线相交场景，通过对顶角与内错角/同位角相等实现相似判定。 （2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 （2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． （2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． （2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 核心结论：两条直线相交形成 “X” 形结构，若一组对边平行，則构成两个相似三角形（AA 判定），对应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “X” 字模型因图形形状酷似字母 “X” 得名，核心是 “对顶角相等 + 一组对边平行”，或 “两组角分别相等”，最终形成两个相似三角形。关键特征：两个三角形的顶点两两相对，通过两条相交直线连接，且不重合的两组对边互相平行。 二、模型核心三要素 对顶角相等：两条直线相交于点 O，形成对顶角∠AOB=∠COD（公共交点 O 处的对顶角）。 对边平行：两组不重合的对边平行，即 AB∥CD（A、B 为一个三角形的顶点，C、D 为另一个三角形的顶点）。 角的关系：平行推导的内错角 / 同位角相等（∠A=∠C，∠B=∠D），结合对顶角相等满足相似条件。 三、常见模型分类 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．    (1)求证：平分； (2)为上一点，连接交于点，若，求的长． 例2（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 例3如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)求的值； (3)求的值． 1.如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 2.如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3.【知识技能】 （1）如图1所示，点E为正方形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，求证：． 【数学理解】 （2）如图2所示，点E为矩形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，连接．若，，则线段与的数量关系为_____；连接 ，，则，的位置关系为_____．请证明你的结论． 【拓展探究】 （3）如图3所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点M与点B关于y轴对称，点P为第一、三象限内一点，直线交x轴于点C，直线交y轴于点D，且，求的最小值． 4．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点． (1)求点坐标； (2)如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 6．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 7．菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． (1)如图1，E为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 8．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形之X(8字)模型 “X”(“8”字)模型是初中几何相似核心模型，均以AA相似为判定核心。“X”模型对顶相交 且对应边平行，对顶角与内错角相等。解题关键是快速识别角相等条件，锁定相似后套用对应边比例建等 式。 目录导航 例题讲模型 模型来源… 真题现模型 提炼棋型。 9 模型运用… .10 习题练模型 .…18 例题讲模型 模型来源 相似模型中的“X”字模型(“8”字模型)源于平面几何相似三角形的解题实践归纳，是对高频出现 的固定图形结构的形象化命名，无单一独创文献，而是教学与解题经验的共识性总结，核心依托相似三角 形的AA、SAS、SSS等判定定理，聚焦“角度相等→三角形相似”的核心逻辑，因图形直观、辨识度高，方 便师生交流与快速解题而被广泛沿用。其中“X”字(“8”字)模型由两条对应边反向延长线相交形成交 叉结构，兼具“X”与“8”的外形，常见于四边形对角线相交、线段延长线相交场景，通过对顶角与内错 角/同位角相等实现相似判定。 1/50 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 真题现模型 (2024四川自贡中考真题)如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC,将矩形沿直线EF折叠，使点 A,B分别落在边ADBC上的点A,B处，EF,AF分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=8,则 BF的长为() E A G F B 20N2 20W3 5w5 A.9 B.9 C.2 D.5 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.先证明AG=GF=G0,设 AE EG x AA'x+2 AG=GF=G0=x'证明。AEG一ACFG和△44H△CFH’推出CF=x=10和CF=8,由 .10 AH=2AE:列式计算求得X=3,在R△CFG中，求得CF的长，据此求解即可。 【详解】解：如图，AB交AC于点O, E G B 矩形ABCD, AD∥BC, 由折叠的性质得AE=A'E,BF=BF,四边形ABFE和四边形A'B'FE都是矩形， ABIEF OB AG BF GO B'F =1 .'.AG=OG, 2/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AF平分∠BAC,AB∥GF, .∠GAF=∠BAF=∠GFA, ..AG=GF=GO, 设AG=GF=G0=x, GH=2,HC=8, ∴H0=x-2,GC=8+2=10, :AE∥FC, ,△AEG一△CFG, AE EG AG AE EG x ∴cF=GF=G0,即cF=x=10①， AA∥FC △AA'H△CFH, AA'AH A4'x+2 CF=HC,即CF=8②， .AA'=2AE, x+2 x 由①②得85， 解得x-19则4G=6F=60 3, 在R△CFG中，CF=VCG2-G=, 02- 20W2 3 3 10 AE 3 20W210, 3 :4E205 BF=20v2 9,即1 9, 故答案为：A. (2024四川眉山中考真题)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC,交BC的 延长线于点E,连结AE分别交BD,CD于点F,G,则FG的长为一· 3/50 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F G B ,95 【详解】解：菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°， ∴.AD=BC=CD=6,AD∥BC,∠BCD=I20°， ,∠DCE=60°， :DE⊥BC, ∠DEC=90°， 在RtADCE中，：∠CDE=90°-∠DCE=30°， :.CE=1CD-3. 2 .DE =CD2-CE2=3V3 ∴.BE=BC+CE=9 AD∥BE, ∴.∠ADE=180°-∠DEC=90°， 在RtADE中，AE=VDE2+AD=V3V3'+6=3V7, AD∥BE, ∴.△AFDAEFB AF AD 6 2 FE BE 9 3' ∴AF= 2AE= x37-6 5 , AD∥CE, .△AGD∽△EGC, 4G_4D-6=2, EG CE 3 4/50 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4G=2 x37=2万」 3 FG=AG-4=2W7-6W7.47 5 5 故答案为： 4v7 5 (2025四川眉山中考真题)如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=x的图象相交于A1,4)、B(4,m) 两点，与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称，连接AD。 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标. 【答案】)一次函数解析式为：y=-x+5,反比例函数解析式为y=1 17 ,0 2)点P的坐标为 5或(-5,0 【分析】(1)利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可. (2)先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D,设PO=一x,再根据直角坐标系 两点之间的距离公式分别求出OA,OC,OD,由对顶角相等得出∠AOC=∠POD,再根据相似三角形的 AO OC A0 OC 性质分两种情况POOD或OD-PO代入求解即可. 【详解】（④）解：无L4代入反比例质数y则g-4 4 则反比例函数解析式为：y= x' 5/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把B(4,m)代入y=4 则m=1, B4,1 再把44,84， 代入y=ar+b a+b=4 则14a+b=1 a=-1 解得：b=5, 则一次函数的解析式为：y=-x+5. =-x+5=0 (2)解：令 时，则5 ÷C50 A1,4) :点D与点A关于点O对称， D-l-4 P(x,0x<0) 设点 .00,0) ..PO=-x 又4,4，C5.0),D-1,4 640=1-02+4-0=7,0D=V-1-02+-4-0=7,0C=5, :△AOC与△POD相似，∠AOC=∠POD, A0 OC A0 OC 分两种情况：P0=OD或OD=P0 175 当品器时即，解：号.此时.点号 A0 OC 6/50 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AO OC 175 当ODPO,即17-x,解得：x=-5,此时P-5,0), 综上：当点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，点P的坐标为5)或-5，O) 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析 式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两 点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键。 (2024四川成都中考真题)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶 点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中， AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90° 【初步感知】 BD (1)如图1，连接BD'CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究CE的值. 【深入探究】 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED 交AC于点F,求CF的长 M D 图1 图2 【答案】1)CE的值为5：(2)CF-0 BD 3 9: 【分析】(1)根据AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°.证明△ADE≌△ABC, AC=AE=VAB+BC=NAD+DE=5,继而得到∠DME=∠BAC,∠DAE-∠DAC=∠BMC-∠D1C即 BD AB 3 ∠CAE=∠BAD,再证明&CAE6BAD,得到CEAC5· (2)连接CE,延长BM交CE于点Q,根据(1)得△CAE∽△BAD,得到∠ABD=∠ACE,根据中线BM得到 7/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM=AM=CM= 5 -AC= ,继而得到∠MBC=∠MCB,结合∠ABD+∠MBC=90°，得到 ∠ACE+∠MCB=90°即∠BCE=90°，得到ABI‖CQ,再证明△ABM≌△CQM,得证矩形ABCQ,再利用勾 股定理，三角形相似的判定和性质计算即可. 【详解】(1)AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°. △ADE≌△ABC(SAS) 、AC=AE=VAB+BC2=VAD2+DE2=5∠DAE=∠BAC :∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC即∠CAE=∠BAD, AB_AC=1 ADAE .∴.△CAEC△BAD. BD AB 3 CEAC5· (2)连接CE,延长BM交CE于点Q,根据(1)得△CAE∽△BAD, .∠ABD=∠ACE, :BM是中线 1 BM=AM=CM三)AC=), .∠MBC=∠MCB, :∠ABD+∠MBC=90° .∠ACE+∠MCB=90°即∠BCE=90°， ABIICO ∠BAM=∠QCM,∠ABM=∠CQM 8/50 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAM=∠QCM ∠ABM=∠CQM AM=CM △BAM≌△DCM(AAS BM=OM ABCO 四边形 是平行四边形， ,∠ABC=90° ABCO 四边形 矩形， AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90° POll CN,EQ=AE2-402=3 EP_g_3-1 .PN QC3, 1 .PO=CN, 2 设PQ=x,CN=2x,则AP=4-x, ∠EPQ=∠APD {∠EOP=∠ADP=90° EO=AD=3 :aEOP≌aADP(AAS) .AP =EP=4-x, EP2=PO2+EO2 (4-x2=x2+32 1 解得x= 9/50 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=4-x= 25 7 8, CN=2x=- 4 PQ‖CN,AC=5 .△APF∽ACNF, AP AF CN-CF AP+CN AF+CF CN CF 25.7 十 84= 5 7 CF, 解得CP-70 9 提炼模型 核心结论：两条直线相交形成“X”形结构，若一组对边平行，則构成两个相似三角形(AA判定)，对 应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “X”字模型因图形形状酷似字母“X”得名，核心是“对顶角相等+一组对边平行”，或“两 组角分别相等”，最终形成两个相似三角形。关键特征：两个三角形的顶点两两相对，通过两条相交直线 连接，且不重合的两组对边互相平行。 二、模型核心三要素 对顶角相等：两条直线相交于点0，形成对顶角∠AOB=∠COD(公共交点0处的对顶角)。 对边平行：两组不重合的对边平行，即AB∥CD(A、B为一个三角形的顶点，C、D为另一个三角形的顶 点)。 角的关系：平行推导的内错角/同位角相等（∠A=∠C,∠B=∠D),结合对顶角相等满足相似条件。 三、常见模型分类 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 10/50