专题01 相似三角形之A字模型（几何模型讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“相似三角形之A字模型”核心考点，围绕AA相似判定及应用，构建“模型定义-三要素-分类（正A、反A、双A、内接矩形）”知识体系，通过“考点梳理-方法指导-真题训练”教学环节，帮助学生突破角相等识别、对应边比例应用难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于结合2024-2025中考真题提炼模型本质，设计“模型识别-结论推导-真题应用”分层教学活动，培养学生几何直观与推理能力。通过内接矩形模型等实例训练，助力学生快速构建相似关系，提升解题效率，为教师提供精准复习节奏把控依据，有效提升学生应考能力。

专题01 相似三角形之A字模型 “A” 模型字模型是初中几何相似核心模型，均以 AA 相似为判定核心。“A” 模型共公共角且底边平行，由平行线得同位角内错角相等。解题关键是快速识别角相等条件，锁定相似后套用对应边比例建等式。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 4 5 相似模型中的“A”模型源于平面几何相似三角形的解题实践归纳，是对高频出现的固定图形结构的形象化命名，无单一独创文献，而是教学与解题经验的共识性总结，核心依托相似三角形的AA、SAS、SSS等判定定理，聚焦“角度相等→三角形相似”的核心逻辑，因图形直观、辨识度高，方便师生交流与快速解题而被广泛沿用。其中，“A”模型以共享公共角、另一组对应边平行（或延长线相交）为特征，形似字母“A”，最早见于“三角形平行线分线段成比例”基础题型。 （2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） （2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 核心结论：一组平行线截三角形两边（或两边延长线），形成 “顶点共线、底边平行” 的 “A” 形结构，两三角形相似（AA 判定），对应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “A” 模型因图形形状酷似字母 “A” 得名，核心是 “一个公共角 + 一组平行线”，或 “两个角分别相等”，最终构成两个相似三角形。关键特征：两个三角形共用一个顶点（记为 A），另外两个顶点分别在同一条直线上，且它们的底边（非公共边）互相平行。 二、模型核心三要素 公共顶点：两个三角形共用一个顶点 A（角的顶点重合）。 底边平行：两三角形的非公共边（底边）平行，即 DE∥BC（D 在 AB 上，E 在 AC 上）。 角的关系：公共角∠A=∠A，平行推导的同位角 / 内错角相等（∠ADE=∠B，∠AED=∠C）。 三、常见模型分类（按位置关系） ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 例2如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 例3如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1.如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 2.如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 3.如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 4.如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．    (1)求证：是的平分线； (2)求的度数； (3)求的值． 5．已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，求的取值范围． 6．（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；    （2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值； （3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值． 7．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 8．如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)线段的长为 ； (2)当时，求点到的距离； (3)当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； (4)当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形之A字模型 “A”模型字模型是初中几何相似核心模型，均以AA相似为判定核心。“A” 模型共公共角且底边 平行，由平行线得同位角内错角相等。解题关键是快速识别角相等条件，锁定相似后套用对应边比例建等式。 目录导航 例题讲模型 模型来源… 1 真题现模型… 1 提炼模型 模型运用… 10 习题练模型 16 例题讲模型 模型来源 相似模型中的“A”模型源于平面几何相似三角形的解题实践归纳，是对高频出现的固定图形结构的形 象化命名，无单一独创文献，而是教学与解题经验的共识性总结，核心依托相似三角形的AA、SAS、SSS等 判定定理，聚焦“角度相等→三角形相似”的核心逻辑，因图形直观、辨识度高，方便师生交流与快速解 题而被广泛沿用。其中，“A”模型以共享公共角、另一组对应边平行（或延长线相交）为特征，形似字母 “A”,最早见于“三角形平行线分线段成比例”基础题型。 真题现模型 (225四川成都.中考真题)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 1/38 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 【特例感知】 (1)如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长； 【拓展延伸】 3)如图2，当CB2BE时，点P在8C边上，若号，求CM 的值.（用含的代数式表示） DG 【答案】(1)见解析；(2)4；(3)2n+ 6n+6 【分析】(1)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE,再结合平行四边形的性质可得∠PCG=∠QFG,然 后根据三角形内角和定理可得∠CQE=∠P,即可求证； (2)根据全等三角形的性质可得EQ=EP,从而得到FQ=CP,可证明△FQG≌aCPG,从而得到 FG=CG=3,GQ=GP=5,再由折叠的性质得：AF=AB,再根据aCGP∽△BAP,可得AB=12,即可求解： (3)延长AD,EQ交于点M,设CQ=a,BE=b,证明△DOMACOE得出DM=2bn,证明△FEP∽aCEQ 得出PF=0,证明aAMF:PEF得出EP-,进而求得CP=2n+b,根据PC∥AD得出 2n+2 2n+2 △GPC∽aGAD,根据相似三角形的性质，即可求解， 【详解】解：(1)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ∠B=LPCG, ∠AFE=∠PCG, :∠AFE=∠QFG, ∴.∠PCG=∠QFG, :∠FGQ=∠CGP, ∠CQE=∠P, CE=BE,BE EF 2/38 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF=EC, 又：∠CEQ=∠FEP, ·.△EFP≌△ECQ(AAS); (2):△EFP≌△ECQ, .EO=EP, EF=EC, ..FO=CP, :∠FGQ=∠CGP,∠COE=∠P, ∴△FQG≌△CPG, ∴FG=CG=3,GQ=GP=5, 由折叠的性质得：AF=AB, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, .△CGPn△BAP, CG_PG AB AP 3 ABAB+3+5解得：4B=12, CD=12, .DO=CD-CG-OG=4: (3)解：如图，延长AD,EQ交于点M, D M 图2 设CQ=a,BE=b C9_1 CE=2BE DO n .DO=an,EC=2b, .AB CD=(n+1 a,AD=3b 3/38 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “折叠， .AF=AB=(n+1 a :AD∥BC,即DM∥EC .△DQM∽aCQE DM.Dg即 M=an=n EC CO 2b a :DM =2bn :四边形ABCD是平行四边形， ∠B=∠ADQ 又：折叠， ∠AFE=∠B :∠AFQ+∠AFE=180° :.∠AFQ+∠ADQ=180° ∴.∠DAF+∠DQF=180° :∠EQC+∠DQF=180 .∠EQC=∠DAF :AD∥BC .∠DAF=∠FPE ∴.∠EQC=∠FPE 又：∠FEP=∠CEQ ∴.△FEP∽aCEQ EF FP b FP EC CO 即 2b a PF=20 :AB∥CD ·△AMF∽△PEF EP PF AM AF EP (3+2n)b(n+1)a 4/38 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：EP= 3+2mb 2n+2 （2n+1b .CP=EC-EP=2b 3+2nb 2n+2 2n+2 又：PC∥AD .△GPC∽△GAD (2n+1b ∴.CGCP 21+2 2n+1. DG AD 3b 6n+6 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质， 熟练掌握以上知识是解题的关键， (2024四川资阳中考真题)如图，已知AB是⊙0的直径，AC是00的弦，点D在O0外，延长DC, AB相交于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交AC于点G,DG=DC. D (1)求证：DE是00的切线： (2)若⊙0的半径为6，点F为线段OA的中点，CE=8,求DF的长 【答案】山见解析，2)39 【分析】(1)连接0C,根据等边对等角和对顶角相等可推出∠0AC=∠0CA,∠DGC=∠DCG=∠AGF, 结合DF⊥AB和三角形内角和，从而推出∠OCD=∠OAC+∠AGF=90°，得证： (2)由(1)可知∠0CE=0,可i证△DFBn△0CE,推出0C-Cg DF=F死，再由勾股定理可得0E=10,利用 F为线段OA的中点，可得0P=3,从而得到EF=3,从而得到DE=3,即可得到答案3 【详解】(1)证明：连接0C,如图， D 0A=0C,DG=DC, B E 5/38 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :Z0AC=Z0CA,ZDGC=ZDCG :∠AGF=∠DGC, ∠AGF=∠DCG, 又：DF⊥AB, .∠AFG=90°， ∴.∠0AC+∠AGF=180°-∠AFG=180°-90°=90°， :L0CD=L0CA+LDCG=L0AC+∠AGF=90°， .DE是OO的切线： (2)解：如(1)图，∠0CE=90°， 又：∠DFE=90°，∠OEC=∠DEF, .OC CE △DFEAOCE, DE FE :00的半径为6，CE=8,0C=0B=0A=6, .0E2=0C2+CE2,即0E=V62+82=10, 又：点F为线段OA的中点， 0F=20A=5x6=3 EF=0F+0E=3+10=13, 68 39 DF-13DF= 4 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角 形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键， 提炼模型 核心结论：一组平行线截三角形两边（或两边延长线），形成“顶点共线、底边平行”的“A”形结构， 两三角形相似(AA判定)，对应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “A”模型因图形形状酷似字母“A”得名，核心是“一个公共角+一组平行线”，或“两个角 分别相等”，最终构成两个相似三角形。关键特征：两个三角形共用一个顶点（记为A),另外两个顶点 分别在同一条直线上，且它们的底边（非公共边）互相平行。 二、模型核心三要素 6/38 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 公共顶点：两个三角形共用一个顶点A(角的顶点重合)。 底边平行：两三角形的非公共边（底边）平行，即DE∥BC(D在AB上，E在AC上)。 角的关系：公共角∠A=∠A,平行推导的同位角/内错角相等（∠ADE=∠B,∠AED=∠C)。 三、常见模型分类（按位置关系） ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 D B 图1 图2 图3 图4 ①A”字模型条件：如图1，DE∥BC;结论：△ADE∽△ABC台ADAB=AEAC=DEBC 证明：，DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴.△ADE∽△ABC,ADAB=AEAC=DEBC。 ②反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE∽△ACB=ADAC=AEAB=DEBC。 证明：，∠AED=∠B,.∠A=∠A,(公共角).△ADE∽△ACB,∴.ADAC=AEAB=DEBC。 ③同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC; 结论：△AEF∽△ABC,△AEGO△ABD,△AGF∽△4DC台EG=FG-AG BD CD AD 证明：，EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∴.△AEF∽△ABC, 同理可证：△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC,.ADAB=AEAC=DEBC。 ④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边 上，且AM LBC;结论：△ADG∽△ABC,△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM=DG.AN-AW BC AB AM 证明：，DEFG是矩形∴.DG∥EF,∴.∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB,∴.△ADG∽△ABC, 同理可证：△ADW∽△ABM,△AGN∽△ACM,.DG=AN=AN。 BC ABAM 模型运用 例I如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∠ACB=90°，点E是CD中点，连接AE并延长交BC于点 F,连接DF.若AC=6,BC=8,则DF的长为， 7/38 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】 分阿 3 【详解】解：如图，分别过点D,点E作DG⊥BC,EH⊥BC,垂足分别为G,H, B -G:LBGD=∠ACB=90°， :DG∥AC :△BDGn△BAC, DG BD BG AC AB BC :点D是AB上的中点， DG BG 1 AC BC2 AC=6,BC=8, ·DG=3,BG=CG=4, .∠CGD=∠CHE=90° .DG∥EH :△CDG∽ACEH, DG CD CG EH EC CH :点E是CD中点， CE-CD. DG_CG=2, EH CH 8/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH-,CH=GH-2 :∠BHE=∠ACB=90° ·AC∥EH :△EHF∽△ACF, EH_FH AC CF FH=EH-CF_EH (CH +FH)_2 3x(2+FH) AC AC 6 FH=3' 4 :FG=GH-FH= 3 DF =DG2+FG97 3 故答案为： √97 3 例2如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4,∠C=90°，点P是边AB中点，∠MPN=90°，∠APN=0. B M 备用图 (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上. ①当0=45°时，CM的值是一； ②当0°<0<90°时，求CM+CN的值； (2)点N在射线AC上，点M在射线CB上.当0°<0<135°时，直线MN与射线PC相交于点F,若 CM=2CN,求 CF 的值. PF 【容案】02：@4，a5-号 【详解】(1)①如图所示， 9/38 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N: ABC为等腰直角三角形， M :∠A=∠B=45°， 又：∠0=45°， ∠ANP=90°， ·aAPN为等腰直角三角形， :∠NPM=90°， .PN⊥AC,PM⊥BC, PN∥BC,PM∥AC, P为AB中点， M、N为BC、AC的中点， BC=AC=4, :CM =BM =2; 故答案为：2. ②连结CP, N 2 :∠ACB=90°，AC=BC=4, B M C ∠A=45°， 又：点P为AB的中点， CP⊥AB,CP=AP=BP,∠PCM=∠A=45°， 0+∠2=90°， 又：∠1+∠2=90°， 10/38