专题02 数轴动点问题（A18题）（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题02 数轴动点问题压轴题专项训练（A18题） 1．（天府新区）在数轴上，点表示原点，对于不重合的两点，，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点在数轴上表示的数是， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点，点分别从表示和的点同时向右运动，点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位；当点与点相遇时，点与点的速度立刻交换并继续向右运动．设点的运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 2．（实验外国语）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离． 如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______； (2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为． ①当追上时，求、两点之间的距离； ②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（锦江区）已知数轴上的两点分别对应的数字为，且满足，已知点是数轴上一动点，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为． (1)填空：_____，______，的中点在数轴上对应的数是______． (2)若动点从出发，点从点同时出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，若点中有一点是另外两点构成线段的中点，则此时三点就形成“美丽组”，求出点运动多少秒时，三点能形成“美丽组”？ (3)若点从出发秒后，点从点出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，点运动到中点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动，当时，求运动的时间． 1．如图，P是线段上一点，E，F两点分别在线段，上运动，且． (1)若，，求线段的长； (2)如果不论E，F两点如何运动，都有． ①若Q是直线上一点，且，求的值； ②若时，恰好有，此时E点停止不动，将F点向左移动（F点始终在线段上），C，D分别是，的中点，试判断在F点向左移动的过程中，是否发生变化？如果不变，请求出该值；如果发生变化，请说明理由． 2．观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点在数轴上分别表示数，则两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题： 多项式，若它的值与字母的取值无关． (1)求的值： (2)如图，已知数轴上两点对应的数分别为与，点是线段的中点， ①求点所表示的数； ②点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设、两点的运动时间为秒，当时，求的值． 3．规定：在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”．如图，若与互为“对称线段”，其中． (1)求线段的长度； (2)动点M，N分别从A，D同时出发，点M以的速度从点A向右运动到点D，点N以的速度从点D向左运动到点A，当点M，N中任意一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当N在线段上，若与互为“对称线段”，求运动时间为多少秒； ②当点M在线段（不包括端点）上时，用点B，C，M，N组成两组线段，它们互为“对称线段”，求运动时间为多少秒． 4．已知数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，其中，点A向左平移3个单位长度后得到点B，其中点O为原点；    (1)请直接写出：______，______． (2)已知点P在线段之间运动（不与点O、点A重合），其对应的数为x；点Q在线段之间运动（不与点O、点C重合），其对应的数为y； ①若点P与的距离为1，则______． ②请化简式子：（请写出化简过程） (3)动点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点F从B出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动若点F运动到点C停止，点E继续向右移动，当t为何值时，点F到点E和点O的距离相等？ 5．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足． (1)__________，__________，__________， (2)点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．当、两点间的距离为3个单位长度时，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，当点运动到线段上时，分别取和的中点，．请问：的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（注：点为数轴原点） 6．如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴动点问题压轴题专项训练（A18） 1．（天府新区）在数轴上，点表示原点，对于不重合的两点，，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点在数轴上表示的数是， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点，点分别从表示和的点同时向右运动，点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位；当点与点相遇时，点与点的速度立刻交换并继续向右运动．设点的运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点，数轴上两点之间的距离，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关点运动后所表示的数． （1）①求出，，可得； ②由，设，则，分两种情况可得为或； （2）当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为，可得，，故，解得；求出时，点与点相遇；当点与点相遇后，即时，可得，解得． 【详解】（1）解：①∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴； 故答案为：； ②∵，故设，则， 当，在原点两侧时，， ∴； 当，在原点同侧时，， ∴； 综上所述，为或； （2）解：存在某一时刻，使得，理由如下： 当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：； 当，即时，点与点相遇； 当点与点相遇后，即时，运动后表示的数为，运动后表示的数为， ∴，， ∴， 解得：； ∴的值为或． 2．（实验外国语）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离． 如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______； (2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为． ①当追上时，求、两点之间的距离； ②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)  存在， 【分析】（1）设点表示的数为，由题意可得，即，由绝对值的意义可得或，解方程即可得出答案； （2）①当追上时，根据点、表示的数相等可得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后利用两点之间的距离公式即可求出此时、两点之间的距离；②先利用两点之间的距离公式得出、，进而得出，然后分两种情况讨论：）当时；）当时；分别根据“为定值”得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 由题意可得：， 即：， 或， 解得：或， 即：点表示的数为或， 故答案为：或； （2）解：①当追上时， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 由题意可得：， 解得：， 此时，、两点之间的距离为： ； ②存在，，理由如下： 当追上时，点、表示的数相等，为， 此后，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ， ， 分两种情况讨论： ）当时， ， 为定值， ， 解得：； ）当时， ， 为定值， ， 解得：； 综上，． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用（几何问题），整式的加减运算，整式加减中的无关型问题等知识点，运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 3．（锦江区）已知数轴上的两点分别对应的数字为，且满足，已知点是数轴上一动点，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为． (1)填空：_____，______，的中点在数轴上对应的数是______． (2)若动点从出发，点从点同时出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，若点中有一点是另外两点构成线段的中点，则此时三点就形成“美丽组”，求出点运动多少秒时，三点能形成“美丽组”？ (3)若点从出发秒后，点从点出发，且以每秒个长度的速度向负方向运动，点运动到中点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动，当时，求运动的时间． 【答案】(1)，，； (2)点运动秒或秒或秒时，三点能形成“美丽组”； (3)运动的时间为秒或秒． 【分析】本题考查了数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质和中点公式求解即可； （）根据三点能形成“美丽组”分当点为的中点时，当点为的中点时，当点为的中点时三种情况分析列出方程即可求解； （）分当没有到中点时，当到达中点后，然后根据列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴的中点在数轴上对应的数是， 故答案为：，，； （2）解：点表示的数为：，点表示的数为：， 当点为的中点时： 解得：； 当点为的中点时：， 解得：； 当点为的中点时：， 解得：； 答：点运动秒或秒或秒时，三点能形成“美丽组”； （3）解：当没有到中点时， 当时，点位于原点处，此时点在点处， 设再经过秒时，时， ， 解得， 此时； 当到达中点后，时，此时点表示的数为，点表示的数为， 设再经过秒时有， 则， 解得， 此时，∴当运动秒时，， 当点继续每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，而点的速度为每秒个长度的速度向负方向运动，则， 综上可知：时，运动的时间为秒或秒． 1．如图，P是线段上一点，E，F两点分别在线段，上运动，且． (1)若，，求线段的长； (2)如果不论E，F两点如何运动，都有． ①若Q是直线上一点，且，求的值； ②若时，恰好有，此时E点停止不动，将F点向左移动（F点始终在线段上），C，D分别是，的中点，试判断在F点向左移动的过程中，是否发生变化？如果不变，请求出该值；如果发生变化，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①1或；②的值不变，为 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义等知识，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系并结合已知可得出，然后代入计算即可； （2）①根据题意画出图形分析求解即可； ②设，结合已知可求出，，，，结合可得出关于b的方程，解方程求出b，即可求出，然后根据线段中点定义和线段和差关系求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：①∵，， ∴，即， ∴，， ∵Q是直线上一点，且， ∴Q的位置有两种情况： 点Q在点的延长线上，如图， ∴， ∴； 点Q在线段上，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为1或； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵C，D分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不变，为． 2．观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点在数轴上分别表示数，则两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题： 多项式，若它的值与字母的取值无关． (1)求的值： (2)如图，已知数轴上两点对应的数分别为与，点是线段的中点， ①求点所表示的数； ②点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设、两点的运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)，， (2)①1；②或或 【分析】本题考查整式的加减，两点间的距离，解一元一次方程，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将式子进行化简，根据该式的值与字母的取值无关，得到含x的项的系数为0，即可解答； （2）①根据中点的性质求解即可； ②分两种情况讨论：点Q沿数轴的正方向匀速运动；点Q沿数轴的负方向匀速运动．分别表示点P，Q表示的数，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵该式的值与字母的取值无关， ∴，， ∴， （2）解：①∵两点对应的数分别为与，，，且点是线段的中点， ∴点C表示的数为． ②、两点的运动时间为秒时，点P表示的数为， 若点Q沿数轴的正方向匀速运动，则点Q表示的数为， 当时，， 解得或． 若点Q沿数轴的负方向匀速运动，则点Q表示的数为， 当时，， 解得或． 综上所述，当时，或或． 3．规定：在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”．如图，若与互为“对称线段”，其中． (1)求线段的长度； (2)动点M，N分别从A，D同时出发，点M以的速度从点A向右运动到点D，点N以的速度从点D向左运动到点A，当点M，N中任意一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当N在线段上，若与互为“对称线段”，求运动时间为多少秒； ②当点M在线段（不包括端点）上时，用点B，C，M，N组成两组线段，它们互为“对称线段”，求运动时间为多少秒． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①运动时间为2秒；②运动时间为4秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程和多种情况讨论． （1）根据“对称线段”的定义以及线段和的长度，通过设未知数建立方程求解的长度． （2）①根据动点的速度和运动时间表示出和的长度，再依据“对称线段”的定义建立方程求解运动时间． ②需要分多种情况讨论点M、N的位置，根据“对称线段”的定义建立方程求解运动时间． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 即． ∴． 所以线段的长度为． （2）解：①设运动时间为t秒． 点M的速度为，则；点N的速度为，， ∵， ∴． ∵与互为“对称线段”， ∴， ∴． ∴． 所以运动时间为2秒． ②， 点M从A到C所需时间为秒，点N从D到A所需时间为秒． 设运动时间为t秒，． 情况一：若， ，则，方程两边同时减6得：，此方程无解． 情况二：若， ． 由得，方程两边同时加得：，即，解得，不满足，舍去． 情况三：若， ． 由得，无解； 由得，无解． 情况四：若， ， 由得． 解得：． 4．已知数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，其中，点A向左平移3个单位长度后得到点B，其中点O为原点；    (1)请直接写出：______，______． (2)已知点P在线段之间运动（不与点O、点A重合），其对应的数为x；点Q在线段之间运动（不与点O、点C重合），其对应的数为y； ①若点P与的距离为1，则______． ②请化简式子：（请写出化简过程） (3)动点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点F从B出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动若点F运动到点C停止，点E继续向右移动，当t为何值时，点F到点E和点O的距离相等？ 【答案】(1)，； (2)①或；②，过程见解析； (3)秒或秒或秒 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，确定、的值，再根据平移方式确定的值； （2）①由题意可知，根据数轴上两点之间的距离公式列方程，列方程，求出的值即可；②由题意可知，，，，，从而判断式子正负，再去绝对值符号计算即可； （3）由题意可知，点E表示的数为，点F表示的数为，分三种情况讨论：当点F和点E在原点左侧，且点F在点E和点O之间时；当点E和点O重合时；当点F和点E在原点右侧，且点F停止运动，点E继续向右移动时，根据数轴上两点之间的距离公式分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A向左平移3个单位长度后得到点B， ， 故答案为：，； （2）解：①点P在线段之间运动（不与点O、点A重合），其对应的数为x， ， 点P与的距离为1， ， 或， 或， 故答案为：或； ②由题意可知，，，，， ，，，， ∵, 原式； （3）解：由题意可知，点E表示的数为，点F表示的数为， 当点F和点E在原点左侧，且点F在点E和点O之间时， 则， 解得：， 当点E和点O重合时， 则， 解得：； 当点F和点E在原点右侧，且点F停止运动，点E继续向右移动时， 则， 解得：， 综上可知，当t为秒或秒或秒时，点F到点E和点O的距离相等 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离公式列方程，一元一次方程的应用，整式的加减等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 5．（青羊区）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足． (1)__________，__________，__________， (2)点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．当、两点间的距离为3个单位长度时，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，当点运动到线段上时，分别取和的中点，．请问：的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（注：点为数轴原点） 【答案】(1)，， (2)点表示的数为或 (3)的值不会随着时间的变化而变化， 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， 已知，， ∴， 解得，， 故答案为：，，； （2）解：点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当点相遇之前，、两点间的距离为3个单位长度， ∴， 解得，， ∴， ∴点表示的数为； 当点相遇之后，、两点间的距离为3个单位长度， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点表示的数为或； （3）解：点表示的数是， ∴，， ∴， ∴当点运动到线段上时，运用时间的取值范围为， 在（2）的条件下，点表示的数为， ∴的中点表示的数为，的中点表示的数为， ∴， 根据题意可得，，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而变化，． 6．如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 【答案】(1)70 (2)40或60 (3)；100 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、列代数式、线段中点的定义、一元一次方程的应用，理解题意正确表示出数轴上的动点表示的数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）用分别表示出点、点表示的数，得出的长度，结合点、点相距个单位长度列出方程，求解方程即可得出的值； （3）利用线段中点的定义表示出点、点表示的数，得出线段的长度，再根据点与点重合即可求出对应的值． 【详解】（1）解：， 点表示的数是70． （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ， 点、点相距个单位长度， ， ， 解得：或， 的值为40或60． （3）解：由（2）得，点表示的数为，点表示的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ， 当点与点重合时，，即， 解得：， 线段的长度为，当点与点重合时的值为100． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $