专题02 单调性、极值与最值八大题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题02 单调性、极值与最值八大题型 题型一：不含参函数的单调性问题 题型二：含参函数的单调性问题 题型三：解答题讨论函数单调性问题 题型四：单调性中图像问题 题型五：单调性解决比大小问题 题型六：不含参函数的极值问题 题型七：含参函数的极值问题 题型八：函数的最值问题 题型一：不含参函数的单调性问题 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，令，结合函数的定义域即可求解函数的单调递减区间. 【详解】的定义域为，且. 令得，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】利用导数为负来判断递减区间，并注意分母不为0，即可作出判断. 【详解】由题意得，令，得且， 故函数的单调递减区间是和. 故选：C. 题型二：含参函数的单调性问题（恒成立、有解、不单调） 3．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 5．已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数， ∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 6．若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可． 【详解】，等价于在有解，即在有解， 即在有解，所以， 令， 则，即在上是增函数， ∴，所以. 故答案为：. 7．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导数的方法，含参讨论函数的单调性，即可求出实数a的取值范围. 【详解】， 当时，在区间上单调递减，不符合题意. 当，时，， 在区间上单调递减，不符合题意. 当时，令，解得， 要使在区间上不单调，则， 即，解得， 此时在区间上递减； 在区间上递增. 故选：B 8．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式，利用导数判断出函数单调区间，根据题意可得,即可得实数的取值范围为 【详解】由可知，其定义域为， 则， 易知当时，；当时，； 即函数在单调递减，在上单调递增； 若函数在区间上不单调，则需满足， 解得； 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型三：解答题讨论函数单调性问题 9．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 10．已知函数，讨论函数的单调性.（其中常数，是自然对数的底数.） 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，然后分情况讨论时函数的单调性. 【详解】由，求导得. ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递增； 当，，则在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 11．已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 12．已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的定义域与导函数.令，即，则.分和两种情况讨论，当时，按照两根与的大小再进行分类讨论，分别求出函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为，. 令，即，则. （1）当时，，在上恒成立，故在上单调递增. （2）当时，令，解得. (ⅰ) 若，则， 令，解得或；令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； (ⅱ) 若，令，解得或(舍去). 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； ⅲ) 若，， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 13．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论. 【详解】的定义域为， ， 当时，即时，，故在单调递增； 当时，，故在单调递减； 当时，令，解得， 当时，； 时，， 故在上单调递减，在单调递增． 综上所述： 当时，在单调递增； 当时， 在单调递减； 当时， 在上单调递减，在单调递增． 14．已知函数. (1)讨论的单调性. 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或， 若，则当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 若，则恒成立，所以在上单调递减； 若，则当时，，当或时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 15．已知函数． (1)讨论的单调性： 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， ，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减． 16．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 因为，所以． 所以曲线在处的切线方程为． （2）函数的定义域为． ， 令，解得． ①当，即时，， 所以函数的单调递减区间为和，无单调递增区间； ②当，即时， 令，则， 令，则， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； ③当，即时， 令，则， 令，则， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为和，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 17．已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1），其中，定义域为， 令，则或， 当时，即，此时，所以在上单调递减； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 题型四：单调性中图像问题 18．如图所示是函数的图像，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图像，利用导数与函数性质的关系即可得解. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以. 故选：D. 19．已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据导函数的符号确定单调性. 【详解】由图可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，当 时， 单调递增； 故选：D. 20．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据导函数的符号判断函数在相应区间上的单调性，可判断函数图象的形状. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故函数的图象如图D． 故选：D 21．函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用排除法，根据的符号判断的单调性，可排除A，D；再根据导数的几何意义排除C. 【详解】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正， 故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增， 结合4个选项的图象，可排除A，D； 由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C， 故选：B． 题型五：单调性解决比大小问题（构造函数） 22．设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得. 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以. 故选：B. 23．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 24．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 25．已知．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，由单调性可证；再由微元法或极值点偏移法证明，可得结论. 【详解】构造，则． 因为和在单调递减， 所以在单调递减，又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，，当时， 所以. 法一（微元法）：因为0.1非常小，可以近似， 而， 所以，所以，得， 所以，解得． 法二（利用极值点偏移）：，极大值点左偏， 所以，故，解得. 故选：B． 题型六：不含参函数的极值问题 26．函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 27．导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性即可. 【详解】由图可知：当时，；当时，. 所以可知函数在单调递增，在单调递减， 所以函数的极大值点为. 故选：A 28．已知函数. (1)当时，求的极值； 【答案】(1)极小值为，没有极大值 【分析】（1）当，代入求导，再求极值即可； 【详解】（1）解：当时，， 令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以的极小值为，没有极大值； 题型七：含参函数的极值问题 29．函数在时有极小值，那么的值为 . 【答案】30或6 【分析】由在时有极小值，可得，据此可得或，经验证后，可得答案. 【详解】，， 由题，又， 则 则或. 当，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则； 当，，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则. 故答案为：或. 30．已知是函数的一个极值点，则 . 【答案】 【分析】根据函数极值点定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点， 得，解得，此时， 因为函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 当时，； 当时，，则函数在处取得极小值，符合题意， 所以. 所以，. 故答案为： 31．已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并说明理由； (2)当，探究在上的极值点个数. 【答案】(1)时，在上单调递增.理由见解析. (2)当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【分析】（1）求的导函数，根据时，导函数的符号，判断函数的单调性； （2）求的导函数，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，再求的导函数，对a分类讨论，得到的极值点个数. 【详解】（1）时，，，，，所以在上单调递增. （2）由，得， 依题意，只要探究在上的变号零点个数即可， 令，，则， (Ⅰ)当，即时，，此时在上恒成立， 则即单调递增，，在上无零点， 在上的极值点个数为0. (Ⅱ) 当，即时， ，使得，即， 当，；当，， 所以即在上单调递增，在上单调递减， 由于，， 若，即时，在上无零点， 在上的极值点个数为0. 若，即时，在上有1个变号零点， 在上的极值点个数为1. 综上所述，当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【点睛】方法点睛：利用化归思想，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，根据的取值范围对参数进行分类讨论. 32．已知函数（，a为常数） (1)若，求的单调区间； (2)若是的极大值点，求a的取值范围 【答案】(1)单减区间为，单增区间为. (2) 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件判断导数的符号，进而确定函数的单调区间. （2）对导数的根进行分类讨论，分析不同取值下导数的符号变化，确定为极大值点时的取值范围. 【详解】（1）， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以的单减区间为，单增区间为. （2）， 当时，由（1）知是的极小值点，不符合题意； 当时，，在上单调递减，没有极值点，不合题意； 当时，，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，不合题意； 当时，，当时，当，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以是的极大值点，符合题意， 综上知的取值范围为. 33．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调区间及极值. 【详解】（1）当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 34．已知函数，其导函数为． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合导数的几何意义进行求解即可； （2）根据导数的运算法则，结合函数极值点的定义、构造函数法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，化为一般式为 ； （2）， 显然函数的定义域为全体正实数. ， 令，得，或， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 且当时，，当时，， 函数图象如下图所示： 因为函数有三个不同的极值点，，， 所以函数与直线有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标不能是， 所以由数形结合思想可得， 实数a的取值范围为 35．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【分析】（1）直接根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）先对函数求导，再分，，三种情况对导数讨论可得函数的极值点； 【详解】（1）当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. 36．已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题意可得切线斜率，切点为，最后点斜式得出切线方程. （2）根据函数存在极值，利用导数计算可得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为，故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导， 令，解得. 因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为． 37．已知函数． (1)若函数在处的切线经过，求的值； (2)若函数存在两个极值点，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数几何意义得到切线方程为，再代点求即可； （2）根据有两个极值点，即有两个解，即有两个解，令，求导分析函数单调性及最值即可确定的取值范围； 【详解】（1）由题知函数的导数为，，， 所以切线方程为，又因为切线过，所以， 解得． （2）由题知函数定义为，，函数存在两个极值点，所以在有两个解， 即在有两个解，令， 则，解得， 所以当时，，在上单调递增： 当时，，在上单调递减， 则，又时，时， 所以的取值范围是． 题型八：函数的最值问题 38．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出导函数利用导函数正负得出函数单调性，再代入得出端点函数值即可求出值域. 【详解】， 当时，单调递减，时单调递增， 所以为单调减函数，为单调增函数， 所以，且 所以值域为， 故选：B． 39．当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用导数先求，再验证在处取得最大值，进而求解. 【详解】由题得，故，， 则，故，即， 因此，且， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，满足题设，所以． 故选：D. 40．已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 41．已知函数. (1)求的单调区间： (2)若在区间上的最小值为15，求在该区间上的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导可得，从而可得当，时，，当时，，从而求出相应的单调区间； （2）由（1）可得当时取到极大值也是最大值，再结合当时，单调递增，当时，单调递减，及与，从而求出，即可求解最大值. 【详解】（1）由题意，令，解得，， 当，时，，当时，， 所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增. 综上所述：在区间，上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）可得当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时取到极大值，也是最大值， 又，， 所以当时取到最小值，解得， 此时. 所以在区间上的最大值为. 42．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有最大值且为.则求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论求导数，根据导数正负判断函数单调性； （2）求导数得出函数单调性再根据最大值求参数. 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 由已知 则，令， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，令，则， 所以在上单调递减，，即， 则在上单调递增， 又， 所以是的唯一解， 综上，． 43．已知函数． (1)若函数在处取得极小值，求实数，的值； (2)求在上的值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，由题意可知，解得a，b，并验证即可； （2）求导，分，，三种情况讨论，分别求出的单调区间，作出图象，数形结合讨论即可求解； 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时，由，得到或， 当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. （2），令，则或， 若时，恒成立，此时在上单调递增， 则在上单调递增，又，， 此时在上的值域为， 因为当时，，由，得到或， 当时，， 由，得到，即， 解得或， 若，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 不妨假设，其图象如图1， 当，此时； 当，即时， 在上的最小值为， 最大值为； 当，即时， 又， 所以在上的最小值为，最大值为， 当，即时，在上的最小值为，最大值为， 当，即时，在上的最小值为，最大值为， 若，当或时，，当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，不妨假设，其图象如图2， 当，此时；当，即时， 在上的最小值为，最大值为， 当，此时；当，即时，在上的最小值为，最大值为， 当，即时，又， 所以在上的最小值为，最大值为， 当，即时，在上的最小值为，最大值为， 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为. 44．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，并求的最小值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是； 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再根据极值得出参数，再得出导函数正负得出函数单调性进而得出最小值. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，所以． 因为在处取得极值，所以，解得， 则，． 由，得；由，得或． 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是． 因为的极小值为，且，所以的最小值为； 所以． 45．已知，函数. (1)求的单调区间； (2)已知与有相同的最大值， （ⅰ）求的值； 【答案】(1)答案见详解 (2)（ⅰ）1 【分析】（1）求函数定义域，求导数，即可求得函数的单调区间； （2）（ⅰ）由（1）求得函数的最大值.求函数的定义域和导数，由导数求得函数单调区间，求得函数的最大值，然后建立方程解得； 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，即，则， ∴时，，函数单调递增， ∴时，，函数单调递减， （2）（ⅰ）由（1）可知函数， 函数的定义域为，， 当时，∵，∴，∴，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 由题意得，即， 令函数，， ，所以函数在上单调递减，所以函数存在唯一的零点， 即. 46．已知函数． (1)若斜率为15的直线与曲线相切，求的方程； (2)记曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】(1)或． (2)72 【分析】（1）先求导数，利用切线斜率可求切点，利用点斜式可得答案； （2）先求出切线方程，再表示出三角形面积，利用导数求最值. 【详解】（1）因为，所以， 设切点为， 则，即，得． 所以，， 所以切点为，． 所以的方程为或， 即或． （2）由题意得切点为，显然， 因为在点处的切线方程为， 整理得， 令，得，令，得， 所以， 则． 令，得， 令，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02 单调性、极值与最值八大题型 题型归纳 题型一：不含参函数的单调性问题 题型二：含参函数的单调性问题 题型三：解答题讨论函数单调性问题 题型四：单调性中图像问题 题型五：单调性解决比大小问题 题型六：不含参函数的极值问题 题型七：含参函数的极值问题 题型八：函数的最值问题 题型专练 题型一：不含参函数的单调性问题 1.函数f(x=x-4lnx的单调递减区间是() A.(0,4) B.(1,4 C.(4,+o 2.函数f(x)=。的单调递减区间为() x-3 A.(-0,3） B.（-0,4 C.(-0,3)和(3,4 D.（-0,3和(3,5】 题型二：含参函数的单调性问题（恒成立、有解、不单调） 3.若函数fx=lnx+x2-ax在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是() A.（-o0,1 B.（-0,22 C.(-0,2] D.1,+) 4。已知函数f八=r+m2+x在0，+)上单调递塔。则实数a的取值范围为《) A.（-0,-1 B.-,1 C.[1,+oo D.[-1,+o 5.己知函数f(x)=e-2-a2+x在区间1，+o)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是一 6。若函数)=-r+在，可到存在单调递诚区间，则a的取值范同为 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.已知函数fx=ax'+2在1，+o)上不单调，则实数a的取值范围是() A.-0,1 B.(0, C.(1,+0） 8。若函数f)=号nx在区同mm+写 上不单调，则实数m的取值范围为 题型三：解答题讨论函数单调性问题 9.已知函数f(x=x2+alnx,aeR. (1)若曲线fx)在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值； (2)讨论f(x)的单调性。 10.已知函数f(x)=ae+2x-1,讨论函数f(x)的单调性.（其中常数e=2.71828…,是自然对数的底数.） 1.已知函数f八到=e-a行+小： (1)若曲线y=f(x)与x轴相切，求实数a的取值； (2)讨论函数f(x)的单调区间. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.已知函数f(x)=x2-2x+anx,讨论函数fx)的单调性. 13.讨论函数f(x=(a-1lnx+ar2+1的单调性. 14.已知函数fx)=-alnr+(2a+1x-x2. (1)讨论f(x)的单调性， 15.己知函数fx=lnx-ax2+(2-a)x(a∈R). (1)讨论f(x的单调性： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16.已知函数f(x)=2r-a (x+12· (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 17.已知函数fy=1+x+ar,其中a>0. e (1)讨论函数y=fx)的单调性； 题型四：单调性中图像问题 18.如图所示是函数y=∫(x)的图像，其中∫'(x)为∫(x)的导函数，则下列大小关系正确的是() A.f'(3>f'(2>f'1 B.f'(-2)>f'(3>f'(1 c.f'3>f'1>f'(-2 D.f'(-2)>f'1>f'(3 19.已知函数y=f(x)(x∈R)的导函数f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.在(-0，-2)上单调递增 B.在(1，+0)上单调递减 C.在(-o0,3)上单调递增 D.在(3，+0)上单调递减 20.已知函数y=∫x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=∫'(x)的图象如图所示，则该函数的图 象是() yfx) 21.函数f(x)在定义域内可导且导函数为f'(x),且'(x的图象如图所示，则f(x)的图象可能是() 题型五：单调性解决比大小问题（构造函数） 1 22.设a= 25c=。则，6，c的大小关系为() 2,b= e A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 23.已知定义在(0，上的函数fx),∫()是f(x)的导函数，且恒有f(x)simx-fx)cosx<0成立，则() 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.f爱>2f经 B.f爱>f孕 C.5f爱>f骨 D.5f爱<f穿 24.已知函数f(x)对任意x>0,x2f(x+x3f'(x+xf'(x>fx成立，则(). A.5f(2)<3f(I) B.9f(3)>20f(1 c.51f(4)>40f(3 D.4f(3)<3f(2) 25.已知a=(e-0.1)401,b=e,c=(e+0.1)-1.则() A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.c<b<a 题型六：不含参函数的极值问题 26.函数f(x)=x3-12x+1的极小值为() A.-17 B.-15 C.15 D.17 27.导函数y=∫'(x的图象如图所示，在标记的点中，函数y=∫(x)的极大值点为() f(x) A.X B.x2 C.X3 D.Xa 28.已知函数fx=2e-x2+mx-1meR),gx=f(x)+x2. (1)当m=-2时，求gx)的极值； 题型七：含参函数的极值问题 29.函数f(x=x3+axr2-bx+a2在x=2时有极小值-4，那么b-a的值为 30.已知x=0是函数f(x)=ae-ln(x+1的一个极值点，则f(3)=一 31.已知函数f(x=ax3+2sinx-xCOSx. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a若a=0,别断到在（受 上的单调性，并说明理由； (2)当a>0,探究f(x在0，π)上的极值点个数， 32.已知函数f(x)=ar+2+1-2alnx(x>0,a为常数) (1)若a≥0，求f(x的单调区间； (2)若x=2是∫(x)的极大值点，求a的取值范围. 1 33.已知函数f(x)=lnx-ax a2 1)当a=-时，求曲线y=f)在点（仁，f白》处的切线方程： e e (2)求∫(x)的单调性和极值. 34.已知函数f)=ae-x+3xa∈R,其导函数为f"(x). 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当a=1时，求曲线y=f(x在点0，f(0)处的切线方程： 2若函数M)=-3+nx有三个不同的极值点X,方，，求实数a的取值范围。 35.已知函数f(x)=ae-ln(x+1)(aeR,a≠0). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程 (2)讨论函数f(x)在区间[0，+0)上的极值点的个数： 36.已知函数f(x)=x2-axlnx. (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x,求a的值； (2)己知a>0,且函数f(x存在极值，求a的取值范围. 37.已知函数fx=ae-lnx+1,aeR. (1)若函数f(x)在x=0处的切线经过-2,0)，求a的值： (2)若函数f(x)存在两个极值点，求a的取值范围； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八：函数的最值问题 38.函数f(x=x-1e在[-1,2上的值域为() [ B.[-l,e2] c.[0,2 D.[-l, 39.当x=1时，fx)=alnx+b取得最大值-2，则f2)=（) A.1 4 C.2In2 D.-2ln2-1 xe',x≤0 40.已知函数f(x=lnx x>0’ 则函数f(x)的值域为 x 41.已知函数fx=-x3-3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)在区间[-1,2]上的最小值为15，求∫(x)在该区间上的最大值 42.已知函数fx=lnx-ax(aeR). (1)讨论∫(x)的单调性： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若f(x)有最大值且为a+1)lna-a.则求a的值. 43.已知函数f(x)=2x3-ax2+b. (1)若函数f(x)在x=1处取得极小值-4，求实数a,b的值； (2)求f(x)在 14 3'3 上的值域； 44.已知函数fx=2-x x2+t (1)当t=0时，求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程： (2)若f(x)在x=-2处取得极值，求f(x)的单调区间，并求∫(x)的最小值. 45.已知a>0,函数f(x=a+lmr (1)求y=f(x)的单调区间； 2)已知y=f(x)与g(:=x 心一有相同的最大值， (i)求a的值； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10