专题6.2 三角恒等变换（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题6.2 三角恒等变换 教学目标 （1）会推导两角差的余弦公式 （2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 （3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 （4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 教学重难点 1.重点 （1）三角函数的和差公式的灵活应用； （2）二倍角公式的灵活应用； 2.难点 （1）三角恒等变换的综合应用； （2）一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想。 知识点01 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 ①； ②； ③； 辅助角公式： （其中）． 【即学即练】 1．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）的值为 ． 知识点02 二倍角公式 ①； ②； ③； 【二倍角公式变形】-----降幂公式与升幂公式 【即学即练】 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 三角变换的应用 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 【即学即练】 1．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型01 两角和与差的三角函数公式 【典例1】．（25-26高三上·安徽·期中）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·广东清远·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则 ． 【变式4】．（25-26高一上·湖南长沙·月考） ． 题型02 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【典例1】．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知，则的值为 ． 【变式4】．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）已知，若，则 . 题型03 二倍角公式 【典例1】．（2026·吉林长春·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（   ） A． B． C．0 D．或0 【变式2】．（25-26高三上·河南·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知，且，则 . 【变式4】．（25-26高三上·安徽·期末）已知满足，则 ． 题型04 角的变换问题 【典例1】．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 【变式4】．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）若，为锐角，，，则 ． 题型05 给角求值 【典例1】．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【变式1】．（24-25高三下·重庆北碚·月考）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】．（2025高三上·全国·专题练习）求值： ． 【变式3】．（21-22高三上·内蒙古·月考）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 题型06 给值求值 【典例1】．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，则 . 【变式3】．（2026·陕西西安·一模）已知，则 . 题型07 给值求角 【典例1】．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，若，则 【变式3】．（23-24高三上·福建三明·月考）已知，均为锐角，，，则 ， . 题型08 正切恒等式及求非特殊角 【典例1】（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】．（23-24高三上·江苏·月考）已知实数，满足，则，可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式4】．化简： ． 题型09 三角恒等变换的综合应用 【典例1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 【变式1】．（25-26高一上·河北邢台·月考）（1）已知. ①求的值； ②求的值. （2）求的值. 【变式2】．（25-26高一上·北京·月考）已知函数 (1)求、的值； (2)若，，求的值. 【变式3】．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 【变式4】．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)令，若，求的值. 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知，都是第二象限角，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（湖北省宜昌市2026届高三上学期元月调研考试数学试卷）已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D．2 4．求值：（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高三上·河南郑州·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知，则 ． 7．已知，，则的值为 ． 8．已知，则 . 9．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知，则 ． 10．（24-25高一上·天津·期末）已知，，则 . 11．（25-26高三上·天津静海·月考）已知，，，则 . 12．（2025·山东·三模）已知，则 . 13．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值： ． 14．设为，为锐角，且，，则 ． 15．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知，则的值是 ． 16．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则 . 17．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则 ． 18．（25-26高三上·山东临沂·月考）（1）化简：； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 三角恒等变换 教学目标 （1）会推导两角差的余弦公式 （2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 （3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 （4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 教学重难点 1.重点 （1）三角函数的和差公式的灵活应用； （2）二倍角公式的灵活应用； 2.难点 （1）三角恒等变换的综合应用； （2）一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想。 知识点01 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 ①； ②； ③； 辅助角公式： （其中）． 【即学即练】 1．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】逆用两角差的余弦公式化简求值. 【详解】． 故答案为：. 知识点02 二倍角公式 ①； ②； ③； 【二倍角公式变形】-----降幂公式与升幂公式 【即学即练】 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式和二倍角公式变形化简整理即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选： 知识点03 三角变换的应用 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 【即学即练】 1．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 题型01 两角和与差的三角函数公式 【典例1】．（25-26高三上·安徽·期中）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】易得，再分别求得，，，，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】，由是锐角可得，， 代入题干条件得到，由是锐角可得， 所以. 故选：B. 【变式1】．（2025·广东清远·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式求解. 【详解】由，得，由，得， 所以 . 故选：B 【变式2】．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系式及两角差的余弦公式直接计算即可. 【详解】由已知，则， 又， 当时，， 当时，. 故选：C. 【变式3】．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据角的范围和平方关系求出，结合和角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式4】．（25-26高一上·湖南长沙·月考） ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由两角和的余弦公式即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 题型02 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【典例1】．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据，即可由和差角公式求解. 【详解】故， 因此 故选：C 【变式1】．（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由题设可得、，再由余弦差角公式即可得结果. 【详解】由，即， 由，即，而，则， 所以，可得. 故选：B 【变式2】．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式五、六 【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解． 【详解】 ． 故选：B． 【变式3】．已知，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】将题中两个等式平方，相加后利用两角和的余弦公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 即， 两式相加得， 所以. 故答案为：. 【变式4】．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）已知，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先确定的取值范围，利用两角和的余弦公式求，再利用同角三角函数的基本关系求，进而可得. 【详解】∵，∴，∴. 因为， 所以. 所以. 故答案为： 题型03 二倍角公式 【典例1】．（2026·吉林长春·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式 【分析】利用余弦的和角公式展开已知条件，再通过平方关系结合二倍角公式求解. 【详解】依题意得：， 化简得：， 所以， 因为，， 代入得：， 解得：. 故选：C. 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（   ） A． B． C．0 D．或0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用所给方程得出，分类讨论即可求出的值 【详解】因为，则， 若，可得，，即； 若，可得，即， 所以， 综上所述，的值为或0. 故选：D. 【变式2】．（25-26高三上·河南·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正切公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角差的正弦公式求出，再由同角三角函数的平方关系和商数关系求出，最后由二倍角的正切关系即可求出的值. 【详解】已知，， 则， 故， ， 故选：A. 【变式3】．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知，且，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式 【分析】根据诱导公式得到，再利用二倍角公式即可求出答案. 【详解】由得， 所以， . 故答案为：. 【变式4】．（25-26高三上·安徽·期末）已知满足，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】应用两角差余弦公式及同角三角函数关系得出，再应用二倍角余弦公式及弦化切计算求解. 【详解】因为， 所以，则， 则. 故答案为：. 题型04 角的变换问题 【典例1】．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、诱导公式二、三、四 【分析】根据条件，利用正弦的和角公式得，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为， 即，得到， 又，所以. 故选：C 【变式1】．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】首先求得，，然后根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 或， 因为，所以， 所以的值为或. 故选：A. 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求值型问题 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 【变式3】．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式 【分析】以为整体，根据同角三角关系求，结合倍角公式可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. 【变式4】．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）若，为锐角，，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由两角差的余弦和同角三角函数关系计算可得. 【详解】因为，为锐角，，， ，，所以，， 所以=， 故答案为：. 题型05 给角求值 【典例1】．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、给角求值型问题、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可. 【详解】由 故选：B 【变式1】．（24-25高三下·重庆北碚·月考）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、给角求值型问题 【分析】依题意可得，，，将切化弦，再由诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式计算可得. 【详解】依题意可得，，， 所以 . 故选：B 【变式2】．（2025高三上·全国·专题练习）求值： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题、诱导公式二、三、四 【分析】方法一：根据正弦的二倍角公式可得原式，结合诱导公式求解； 方法二：令原式乘以，再结合正弦二倍角公式求解即可． 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 【变式3】．（21-22高三上·内蒙古·月考）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题 【分析】由平方关系结合倍角公式得出答案. 【详解】因为，，所以， 故答案为： 题型06 给值求值 【典例1】．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】由正弦和余弦的两角和差公式及同角三角函数的关系可得的值，再由余弦的二倍角公式可得的值. 【详解】由，可得， 化简可得，即， 故. 故选：D. 【变式1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、给值求值型问题 【分析】根据同角的基本关系可得，结合角之间的关系，利用倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 整理为，则， 所以. 故选：D 【变式2】．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先利用已知的的值，结合的范围求出的值，再将变形为，最后利用两角和的余弦公式求出. 【详解】因为，则， 因为，所以，可得： . 将变形为， 可得：， 把，，代入上式， 可得：. 因此， . 故答案为： 【变式3】．（2026·陕西西安·一模）已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】先化简，把 当成一个整体，然后用二倍角公式展开，最后代入计算. 【详解】因为， 所以 即 故答案为： 题型07 给值求角 【典例1】．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题、二倍角的正弦公式 【分析】先得到，即，根据，得到，即. 【详解】， 所以， 则， 即． 因为，所以， 所以， 解得． 故选：B． 【变式1】．若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，若，则 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得，即可求角的大小. 【详解】由， 所以，又， 所以，而， 所以. 故答案为： 【变式3】．（23-24高三上·福建三明·月考）已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求角型问题、给值求值型问题 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【详解】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 题型08 正切恒等式及求非特殊角 【典例1】（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可. 【详解】由两角和的正切公式得 由诱导公式得， 则原式可化为，故D正确. 故选：D. 【变式1】．（23-24高三上·江苏·月考）已知实数，满足，则，可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正切的两角和差公式求解即可. 【详解】由，得， 类比， . 故选：A. 【变式2】在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式求出A＋B，即可求出角C. 【详解】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)， ∴ tan(A＋B)＝＝－. 又0＜A＋B＜π， ∴ A＋B＝，∴ C＝. 故选：C 【变式3】的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先利用两角和的正切公式得到，进而得到，再把原式转换为：，即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以                          . 同理：                             所以，       . 故选：A. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题. 【变式4】．化简： ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据，结合两角和的正切公式化简即可 【详解】因为，故，所以 题型09 三角恒等变换的综合应用 【典例1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、给值求角型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由两角和的正切公式先得，利用诱导公式结合齐次式可得； （2）由同角三角函数关系得，，再由可得； （3）利用同角三角函数关系和倍角公式可得，利用可得，进而可得. 【详解】（1）由题意得， ； （2）因且，故， 因，故，故， . （3）因，故，又，故，故， ， 故，故， 故， 又，故. 【变式1】．（25-26高一上·河北邢台·月考）（1）已知. ①求的值； ②求的值. （2）求的值. 【答案】（1）①②（2） 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）①利用两角和的正切公式直接求解； ②变形有，分子分母同时除以，化弦为切，即可求解； （2）先化切为弦，再利用倍角公式，辅助角公式即可求解. 【详解】（1）①. ② （2） 【变式2】．（25-26高一上·北京·月考）已知函数 (1)求、的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题、辅助角公式、给值求值型问题、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入，运算求解即可； （2）根据题意可得，以为整体，结合两角和差公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 所以， . （2）因为，即， 又，则，可得， 所以 . 【变式3】．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 【答案】(1)； (2), 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦、给值求值型问题 【分析】（1）利用条件先判定角的范围，结合同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 而，所以，即， 则， 结合上知，而， 所以； （2）由上易知： ， 又， 因为，所以. 【变式4】．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)令，若，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，再根据已知角的范围求值即可； （2）先求得，根据条件运用诱导公式化简求得的正弦、余弦的值，最后借助于和角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）由函数 ， 由，可得， 因，则，从而或， 解得或. （2）因， 则， ， 因为，所以， 则，， 则 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解． 【详解】， ，故C正确． 故选：C． 2．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知，都是第二象限角，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系和余弦和角公式得到，结合角的范围，得到. 【详解】，即， 所以，， 又，都是第二象限角，故， ，故， 所以 故选：A 3．（湖北省宜昌市2026届高三上学期元月调研考试数学试卷）已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正切公式 【分析】利用，解出的值，再利用倍角公式可得答案. 【详解】已知，且为第二象限角， 设，，则有方程组， 消元得，解得或， 当时，；当时，， 由于为第二象限角，需满足，，故舍去的解， 因此，， 利用倍角公式计算. 故选：D 4．求值：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题 【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【详解】原式 ， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体. 5．（25-26高三上·河南郑州·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式计算即可. 【详解】由，结合，解得：， 所以， 当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上，， 故选：A 6．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】运用切化弦与和角的余弦公式即可解决. 【详解】， . 故答案为：. 7．已知，，则的值为 ． 【答案】/－0.6 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】结合两角和与差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得的值. 【详解】由题知，① ，② 由①②整理得， 则． 故答案为：. 8．已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】先利用余弦的两角和公式对题设等式化简整理求得的值，利用同角三角函数基本关系及的范围求得的值，进而利用正弦的两角差公式求得答案． 【详解】 ． 故答案为： 9．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出的值，结合正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】解：因为，所以； 所以，所以. 故答案为：. 10．（24-25高一上·天津·期末）已知，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角差的正切公式可求的值. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 11．（25-26高三上·天津静海·月考）已知，，，则 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】应用两角差正弦公式结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以， 因为，又因为，所以， 则. 故答案为：1. 12．（2025·山东·三模）已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】化切为弦得，根据两角差的正弦公式求得，然后利用两角和的正弦公式计算即可． 【详解】因为，所以，即， 又， 所以， 所以． 故答案为： 13．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值： ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题 【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：1 14．设为，为锐角，且，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给角求值型问题 【分析】由题意可得，再利用倍角公式化简，可得结果． 【详解】解：∵α，β为锐角，且，， ∴ ， 故答案为：1 15．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题 【分析】先通过正切差角公式建立方程求出，再利用余弦和角公式与二倍角公式，将目标表达式转化为的函数，代入计算得结果. 【详解】， ， 解得或. ， 将、代入， 得：， 当时，； 当时，. 因此. 故答案为： 16．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、给值求值型问题、二倍角的余弦公式 【分析】将已知条件化为，再由诱导公式、二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由，即， 所以，则， 所以，而 . 故答案为： 17．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】由题可得，结合二倍角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 故． 故答案为： 18．（25-26高三上·山东临沂·月考）（1）化简：； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】（1）利用三角恒等变换公式进行变换即可求解； （2）利用三角恒等变换公式求出的值，再开平方即可求解； （3）利用三角函数基本等式解出的值，再利用三角恒等变换公式即可求解． 【详解】（1） ． （2）由，得， 解得，则． （3）因为①，所以， 即，所以. 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以, 所以②， 由①②解得， 所以，， 故． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $