专题6.1 正弦、余弦、正切、余切（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题6.1 正弦、余弦、正切、余切 教学目标 （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． （2）掌握三角函数的定义，会正确求三角函数值． （2）理解同角三角函数的基本关系式，． （3）掌握诱导公式，并会简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）三角函数的定义； （2）诱导公式的应用与变形； （3）同角公式的应用与变形。 2.难点 （1）扇形的弧长与面积公式的计算； （2）同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用。 知识点01 三角函数的特殊值 角 三角函数名 0 正弦 0 1 余弦 1 0 正切 0 1 不存在 余切 不存在 1 0 【即学即练】 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】∵，∴. 故选：C. 知识点02 任意角及度量 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． 知识点03 扇形的弧长与面积 1、扇形的弧长与面积 （1）扇形的弧长公式：， （2）扇形的面积公式：． 【即学即练】 1．（25-26高一上·天津北辰·月考）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据圆心角和弧长求得半径，根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果. 【详解】由题意得， 记扇形的半径为r，因为圆心角为，弧长为，所以半径， 所以扇形的面积为 故答案为： 知识点04 任意角的正弦、余弦、正切、余切 1、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三两切、四余弦． 2、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 【即学即练】 1．（25-26高一上·广东广州·月考）已知角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用正弦函数的定义即可求解. 【详解】角的终边经过点，点到原点的距离，由正弦函数的定义可知. 故选：D 知识点05 诱导公式 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【即学即练】 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数，可得答案. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 知识点06 已知正弦、余弦与正切值求角 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 【即学即练】 1．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知， 的值为 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2. 题型01 终边相同的角的集合的表示与区别 【典例1】．（25-26高一上·河北张家口·期末）与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【分析】将化为范围内的角, 根据终边相同角的性质即可求解. 【详解】因为，所以与终边相同； 根据终边相同角的性质，与终边相同的角的集合为： 故选：D. 【变式1】．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）如图，时钟现在表示的时间为10：10，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念、弧度的概念 【分析】根据给定条件，利用任意角及弧度制的意义求得答案. 【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为. 故选：A 【变式2】．（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 【变式3】．（25-26高一上·陕西西安·月考）把表示成的形式，且使，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】由即可得到答案. 【详解】因为，， 所以的值为. 故答案为：. 【变式4】．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）在与角终边相同的角中，最大的负角为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】首先写出与终边相同的角，再取最大的负角即可. 【详解】与终边相同的角， 令，即， 所以与终边相同的最大负角是. 故答案为：． 题型02 等分角的象限问题 【典例1】．（25-26高一上·天津河西·月考）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 【变式1】．（25-26高一上·四川·月考）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】先得到与 终边相同，都位于第三象限；则，整理得到，因此与终边相同都在第二象限. 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在 ． 【答案】轴上 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以， 即的终边在轴上. 故答案为：轴上. 【变式3】．已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 【答案】 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上 【难度】0.94 【知识点】轴线角、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】求出，，即得解. 【详解】是第三象限角，即， ， 当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角； 而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上. 故答案为：二、四；第一、二象限或轴的非负半轴上. 【变式4】．在第一象限，则在第 象限. 【答案】第一或第二或者y轴正半轴 【难度】0.85 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】根据角的概念及象限角与轴线角即可判断. 【详解】因为在第一象限，所以， 则，故第一或第二象限或者y轴正半轴. 故答案为：第一或第二或者y轴正半轴. 题型03 弧长与扇形面积公式的计算 【典例1】．（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算求解． 【详解】设扇形半径为， ，，， ，解得， ，故C正确． 故选：C． 【变式1】．（2025高一上·江苏扬州·专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长、圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【详解】依题意弧长，扇形的圆心角， 所以扇形的面积， 如图过作交于，则，所以，， 则， 三角形的面积， 可得弓形面积， 故答案为： 【变式2】．（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先求的长，利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为，， 由得：. 所以几何图形的面积为：. 故选：B 【变式3】．（25-26高一上·河南安阳·期中）用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中，利用扇形的面积公式与基本不等式可求得该扇形面积的最大值. 【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中， 故该扇形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该扇形面积的最大值为. 故答案为：. 【变式4】．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，所以， 因此. 故选：C. 题型04 三角函数的定义 【典例1】．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、特殊角的三角函数值 【分析】由正切函数的定义计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：C 【变式2】．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，，其中，则的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、利用平方关系求参数 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 题型05 象限符号与坐标轴角的三角函数值 【典例1】．（25-26高一上·天津河西·月考）已知点在第三象限，则角在第几象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据可判断. 【详解】由题意可知，，则角在第二象限. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·吉林长春·月考）点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由即可判断. 【详解】因为，所以弧度角为第二象限的角， 所以， 即点位于第三象限， 故选：C 【变式2】．（25-26高一上·天津·月考）已知角α为第四象限角， 则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据角α的象限确定三角函数值的符号，即得点所在的象限. 【详解】因角α为第四象限角，则， 故点在第三象限. 故选：C. 【变式3】．（2025高二·全国·专题练习）点在平面直角坐标系中位于第 象限 ． 【答案】三 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】判断角所在象限，即可判断出三角函数值正负，即可得答案. 【详解】2弧度的角在第二象限，所以，4弧度的角在第三象限，所以， 所以点在第三象限． 故答案为：三 【变式4】．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】确定角所在象限，再确定三角函数值的符号即得. 【详解】依题意，，则是第三象限角，则，，， 所以． 故答案为： 题型06 同角求值 【典例1】．（25-26高一上·浙江·月考）已知，则（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】分子分母同时除以可得. 【详解】. 故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·宁夏固原·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先利用平方关系求，再利用商数关系求出即可. 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·河北张家口·期末）若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据与的关系即可求解. 【详解】因为， 两边平方得， 即， 解得. 故答案为：. 【变式3】．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解. 【详解】由， 可得，解得， 所以， 故答案为： 题型07 诱导求值与变形 【典例1】．（2025·山东烟台·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】先将所求的式子利用诱导公式化简，再分子分母都除以就转化为求的式子的值，代入的值即可得解. 【详解】. 故选：C. 【变式1】．（25-26高三上·重庆·月考）设α为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数的关系，结合诱导公式求值即可. 【详解】因为α为第一象限角，且，所以， 又. 故选：C 【变式2】．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知θ是第一象限角， ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数关系直接求解即可. 【详解】由， 则， 因为θ是第一象限角，所以，且， 所以. 故选：A. 【变式3】．（25-26高一上·天津和平·月考） . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】原式 . 故答案为：. 【变式4】．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知角的终边上有一点，且，则的值为 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六 【分析】由题意可得，解得或，再用诱导公式得到原式的值为，最后代入即得结果. 【详解】由于在角的终边上，故，解得或. 而，故原式的值为或. 故答案为：或. 题型08 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 【典例1】．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知 (1)化简 (2)若，且，求的值. (3)若是第三象限角，且，求的值. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知三角函数值求角 【分析】（1）利用诱导公式化简即得. （2）利用（1）的结论，结合给定范围求出的值. （3）由平方关系求出，再结合（1）利用诱导公式计算即得. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知，，而，所以或. （3）由，得， 由是第三象限角，得， 所以. 【变式1】．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1)35 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、利用平方关系求参数 【分析】（1）由条件利用韦达定理求出，再对左右两边同时平方即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得，再将的值代入即可得出答案. （3）由立方差化简，法一：利用同角三角函数的基本关系求出代入即可得出答案；法二：求出，代入即可得出答案. 【详解】（1）由得， 方程的两根为和， 于是，进而，即， 由，对左右两边同时平方， 得.解得.经检验符合. （2）原式 原式 （3）由得. 由可得. 因此. 另解：原方程即，两根为， 由得，于是， 因此 【变式2】．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系即可求出结果； （2）先利用诱导公式进行化简，再利用（1）中及齐次式弦化切即可求值. 【详解】（1）为第三象限角. （2）原式. 1．（25-26高一上·天津北辰·月考）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合、任意角的概念、确定已知角所在象限 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义， 【详解】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 2．已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、任意角的概念 【分析】根据角与角的终边关系逐项分析求解. 【详解】A表示角β和α的终边相同； B表示角β和α的终边关于原点对称； C表示角β和α的终边关于x轴对称； D表示角β和α的终边关于y轴对称. 故选：D 3．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知某扇形的弧长和面积均为，则该扇形的圆心角（正角）为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，结合扇形的弧长公式与面积公式可列出与的方程组，求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为， 因为扇形的弧长和面积均为，所以，解得； 所以该扇形的圆心角（正角）为. 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】设与的延长线交于圆心，圆心角，扇形半径，根据弧长公式结合题意列方程组求出，再由扇形面积公式即可计算得解. 【详解】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由余弦函数的定义及列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 6．（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先确定所在象限，再求出和，代入求值. 【详解】由，，可知是第二象限角， 则，， 所以. 故选：C. 7．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用三角函数的平方关系对已知条件进行关联，进一步求解即可. 【详解】由题意知，，. 由可得，， 即，. 故选：B 8．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 所以． 故选：A. 9．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用已知可求得，利用三角函数诱导公式可求得. 【详解】因为为第二象限角，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 所以. 故选：C. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则 . 【答案】60° 【难度】0.94 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据特殊角的余切求角即可. 【详解】因为且， 所以. 故答案为：. 11．若是第三象限角，则是第 象限角． 【答案】二 【难度】0.94 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】根据与的终边关系判断出所在象限. 【详解】因为是第三象限角，所以的终边在第三象限， 又的终边与的终边关于轴对称， 所以的终边在第二象限，所以是第二象限角， 故答案为：二. 12．（25-26高一上·安徽·月考）“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为弧度时，扇面看上去形状较为美观.已知，弧的长为，则此扇面的面积为 .（结果保留） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】首先根据弧长公式计算扇形的半径，再利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【详解】在扇形中，弧的长为cm，圆心角， 由弧长公式得：， 解得：， 由扇形面积公式得： 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 所以扇面的面积为：， 故答案为：. 13．（25-26高一上·河南·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义和正切值得到的方程，求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以，又， 所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第 象限． 【答案】二 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 15．（25-26高一下·全国·单元测试）函数的值域为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据角所在的象限讨论，即可去掉绝对值，得出值域. 【详解】当在第一象限时，， 当在第二象限时，， 当在第三象限时，， 当在第四象限时，， 当在坐标轴上时，函数无意义， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 16．已知角满足，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】对已知条件进行平方，先求出，再由角的象限判断，计算可得出结论. 【详解】由，得，所以. 又由，知，由，得， 所以，所以， 所以 故答案为： 17．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的诱导公式进行求解即可. 【详解】由题意，因为， 所以. 故答案为：. 18．已知，，且是第二象限角，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据角所在象限，结合同角的三角函数关系，列出不等式和相应等式，即可求得答案. 【详解】由题意，，且是第二象限角， 可得， 解，可得或， 当时，不满足，适合题意， 故实数的值为， 故答案为： 19．已知角满足. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简，再由即可得到结果. （2）由及，即可得到结果. 【详解】（1）原式 ， ， 原式. （2）， 且， ， . 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 正弦、余弦、正切、余切 教学目标 （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． （2）掌握三角函数的定义，会正确求三角函数值． （2）理解同角三角函数的基本关系式，． （3）掌握诱导公式，并会简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）三角函数的定义； （2）诱导公式的应用与变形； （3）同角公式的应用与变形。 2.难点 （1）扇形的弧长与面积公式的计算； （2）同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用。 知识点01 三角函数的特殊值 角 三角函数名 0 正弦 0 1 余弦 1 0 正切 0 1 不存在 余切 不存在 1 0 【即学即练】 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）（    ） A． B． C．0 D．1 知识点02 任意角及度量 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． 知识点03 扇形的弧长与面积 1、扇形的弧长与面积 （1）扇形的弧长公式：， （2）扇形的面积公式：． 【即学即练】 1．（25-26高一上·天津北辰·月考）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 知识点04 任意角的正弦、余弦、正切、余切 1、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三两切、四余弦． 2、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 【即学即练】 1．（25-26高一上·广东广州·月考）已知角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 知识点05 诱导公式 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【即学即练】 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知，，则 ． 知识点06 已知正弦、余弦与正切值求角 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 【即学即练】 1．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知， 的值为 . 题型01 终边相同的角的集合的表示与区别 【典例1】．（25-26高一上·河北张家口·期末）与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）如图，时钟现在表示的时间为10：10，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ）      A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高一上·陕西西安·月考）把表示成的形式，且使，则 ． 【变式4】．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）在与角终边相同的角中，最大的负角为 . 题型02 等分角的象限问题 【典例1】．（25-26高一上·天津河西·月考）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【变式1】．（25-26高一上·四川·月考）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在 ． 【变式3】．已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 【变式4】．在第一象限，则在第 象限. 题型03 弧长与扇形面积公式的计算 【典例1】．（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 【变式1】．（2025高一上·江苏扬州·专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是 ． 【变式2】．（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高一上·河南安阳·期中）用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为 ． 【变式4】．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 题型04 三角函数的定义 【典例1】．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，，其中，则的值为 . 题型05 象限符号与坐标轴角的三角函数值 【典例1】．（25-26高一上·天津河西·月考）已知点在第三象限，则角在第几象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】．（25-26高一上·吉林长春·月考）点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．（25-26高一上·天津·月考）已知角α为第四象限角， 则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】．（2025高二·全国·专题练习）点在平面直角坐标系中位于第 象限 ． 【变式4】．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 ． 题型06 同角求值 【典例1】．（25-26高一上·浙江·月考）已知，则（    ） A． B．1 C．3 D． 【变式1】．（25-26高一上·宁夏固原·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·河北张家口·期末）若，则 ． 【变式3】．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则 . 题型07 诱导求值与变形 【典例1】．（2025·山东烟台·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【变式1】．（25-26高三上·重庆·月考）设α为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知θ是第一象限角， ，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高一上·天津和平·月考） . 【变式4】．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知角的终边上有一点，且，则的值为 . 题型08 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 【典例1】．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知 (1)化简 (2)若，且，求的值. (3)若是第三象限角，且，求的值. 【变式1】．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【变式2】．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 1．（25-26高一上·天津北辰·月考）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 2．已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知某扇形的弧长和面积均为，则该扇形的圆心角（正角）为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知，则（    ） A．2 B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江金华·月考）已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 9．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则 . 11．若是第三象限角，则是第 象限角． 12．（25-26高一上·安徽·月考）“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为弧度时，扇面看上去形状较为美观.已知，弧的长为，则此扇面的面积为 .（结果保留） 13．（25-26高一上·河南·月考）已知角的终边经过点，且，则的值是 ． 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第 象限． 15．（25-26高一下·全国·单元测试）函数的值域为 16．已知角满足，则 . 17．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知，则 ． 18．已知，，且是第二象限角，则实数的值为 ． 19．已知角满足. (1)求的值； (2)若，求的值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $