专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 15 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是、、，若，则的值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．20 例2（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（2024九年级上·湖南郴州·竞赛）如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 例4（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，P是等边内一点，过点P向作垂线，垂足分别为D，E，F．若，则的值为 ． 例5（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（25-26八年级上·重庆巴南·月考）如图，是等腰三角形，是底边上任意一点，过作于，作于，若，的面积为，则 例2（25-26八年级上·山西大同·期中）阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： (1)上述学习笔记中的“依据”是指________． (2)补全学习笔记中“……”部分的证明过程． (3)如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 例3（25-26八年级上·江苏扬州·月考）老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． (1)求证：． (2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 例4（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，点P为平面内任意一点，设点P到的三边、、的距离分别为，，，的高为h． 【感知】如图1，当点P在边上时，可得，与h之间的数量关系为，证明过程如下：连结，此时． ∵是等边三角形， ． ，， ，， ， ∴． (1)【探究】如图2，当点P在内部时，求h与，，之间的数量关系． (2)【应用】如图3，当点P在外部时，，，，则______． 例5（25-26八年级上·广西南宁·期中）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． (1)【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． (2)【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． (3)【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： (1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 2．（25-26八年级上·山东·期中）综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 【特例研究】 （1）如图1，在中，，点是边的中点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作干点F，连接，由分割法可得图形面积 ，则 【推广探索】 （2）如图2，在中，，点是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是等边三角形，点P是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．设点P到三边，，的距离分别为，，，的高为．求证： 3．（25-26八年级上·吉林辽源·期中）如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，为内部一点，，于点，于点，且，求证：． 5．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在等边三角形中，D为边的中点，点E，F分别是边上的点，且．若，求的长． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例1．如图1，已知，在中，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：如图2，过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理） 同理可得： 又，∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接、、． （1）点为三条___________的交点，点为三条___________的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线；③高；④中线； （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么___________．（用含的代数表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 10．（25-26八年级上·广西南宁·月考）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 12．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，是等边三角形，点为射线上一点． (1)当点在线段上时： ①如图，点，分别为，上的点，若，求证：； ②如图，点为中点，点为上的点，且满足，过点作交于点，连接，，求的度数； (2)如图，当点在的延长线上时，点为上一点，且满足，连接交于点．若点为中点，，，求的长度． 14．（24-25八年级上·广东中山·月考）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 15．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    16．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我们在学习《线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程． (1)请补全课本例2的证明过程； 已知：如图，的角平分线相交于点P．求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为F、M、N． ∵平分，点P在上，， ∴ ． 同理 ． ∴ ． 又∵ ∴点P在的平分线上． (2)若（1）中条件不变,，则（1）中 . 17．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当，，时，求线段的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 15 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接，则，∵等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴，∵， ∴， ∴，∴． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】数学阅读：见详解；推广延伸：，理由见详解；解决问题：（1）；（2）见详解；（3）或． 【详解】数学阅读：证明：如图2，连接，∵，， ， ∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 推广延伸：解：，理由如下：如图3，连接，    ∵， ， ，∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 解决问题：解：（1）联立，得，∴两条直线的交点C的坐标为； （2）由得，∴，∴， 由，得，∴，∴，∴， 在中， ，∴，∴是等腰三角形． （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点．      图 图 在，，由图②得，∴，∴，∴M点的纵坐标为2， 由，得，∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得， ∴，∴M点的纵坐标为4， 由，得，．综上，M点的坐标为或． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是、、，若，则的值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、整式的混合运算等知识点，熟练掌握勾股定理、整式的运算是解决问题的关键． 由等边三角形的性质可得，设，则；如图：连接，在和中，由勾股定理得，则①，在和中，由勾股定理得(②，在和中，由勾股定理得，即③，将①，③代入②得，整理得，即，从而完成解答． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，， ∴． 设， ∴， 如图：连接， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，则①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴②， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，即③， 将①，③代入②，得：， ∴， 整理得：，解得：． ∴． 故选A． 例2（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 例3（2024九年级上·湖南郴州·竞赛）如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，根据角平分线的判定定理得到点P在的平分线上，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，设、、分别为x、、，利用求出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用代数求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得 ， 设、、分别为x、、， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 例4（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，P是等边内一点，过点P向作垂线，垂足分别为D，E，F．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，理解等边三角形的性质，灵活利用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 连接，根据等边三角形的性质得出相关线段的长度，设，，，，，分别利用勾股定理得出，，，，整理三个式子求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，且， ∴， ∵， ∴， 设，，，，， ∴，， ∵，，， 在和中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 将代入②，得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 例5（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③ 【分析】本题考查等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是用特殊化策略，借面积法、构造全等转化线段关系． （1）利用等边三角形“三线合一”，结合勾股定理求$AC$边上高，因与重合时，故值为该高． （2）连接，将面积拆分为与面积和，依据，通过面积公式化简证得 ． （3）①连接、、，把面积拆为三个小三角形面积和，结合等边三角形高公式，推出等于高 ．②连接，将与面积作差等于面积，利用等边三角形边长与高的关系，得到的数量关系 ． ③延长构造，连接，证，再证为等边三角形，从而得出 ． 【详解】（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高， 是等边三角形，，则． 过作于，则为中点（等边三角形三线合一），． 在中， ，即． 把，代入可得： ， 此时，， 所以． 故答案为． （2）作交于点，连接， ， ， ， ， ； （3）①连接、、，作 将分割为、、， ∴． 过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F． ∴，，， ∴．．． ． 因为是等边三角形， 所以． 将上述面积关系代入可得： ． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， 可得． 所以． 故答案为：； ②连接 将图形分割为和， ∴． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积． ∵是等边三角形， ∴． 将上述面积关系代入可得： 得． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， ∴， ， ∴； 故答案为：； ③延长至，使，连接． ∵是等边三角形， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（25-26八年级上·重庆巴南·月考）如图，是等腰三角形，是底边上任意一点，过作于，作于，若，的面积为，则 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式可得，即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是等腰三角形，是底边， ， 又，的面积为， ， ． 故答案为：． 例2（25-26八年级上·山西大同·期中）阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： (1)上述学习笔记中的“依据”是指________． (2)补全学习笔记中“……”部分的证明过程． (3)如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质补充完整依据即可； （2）根据角平分线的定义将剩余的步骤补充完整即可； （3）过点P作于点F，于点H，于点G，连接，根据角平分线的定义可知求得，再根据三角形的面积公式及周长求得的面积． 【详解】（1）解：由垂直平分线的定义可知，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． （2）解：，， ∴， ∴点P在的平分线上． （3）解：如答图，过点P作于点F，于点H，于点G，连接． ∵点P到的距离为， ∴． ∴， ∵的周长为，即， ∴． 例3（25-26八年级上·江苏扬州·月考）老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． (1)求证：． (2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点有三角形面积公式（，a为底，h为高）、等腰三角形的性质（）、等边三角形的性质（三边相等）．解题用到的思想是转化思想，通过将三角形的面积进行分割转化，把线段和的关系转化为面积的关系来证明．方法是利用面积法，借助不同的三角形面积组合来推导线段之间的等量关系．解题关键是正确连接辅助线（如连接、、），将大三角形的面积拆分为几个小三角形的面积之和．易错点在于对三角形面积公式的应用不熟练，以及在分割面积时遗漏或错误选取三角形，导致推导错误． （1）要证明，思路是利用面积法．连接，把的面积拆分为和的面积之和，然后根据三角形面积公式分别表示出这三个三角形的面积，再结合的等腰三角形性质，通过等式变形得出． （2）对于等边三角形内一点的情况，猜想有类似结论．证明思路同样是面积法，连接、、，把的面积拆分为、和的面积之和，再根据等边三角形三边相等的性质，结合三角形面积公式，通过等式变形得出． 【详解】（1）连接． ， ． 又， ． （2）．理由如下： 连接、、． ， 由于是等边三角形，所以， ． 例4（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，点P为平面内任意一点，设点P到的三边、、的距离分别为，，，的高为h． 【感知】如图1，当点P在边上时，可得，与h之间的数量关系为，证明过程如下：连结，此时． ∵是等边三角形， ． ，， ，， ， ∴． (1)【探究】如图2，当点P在内部时，求h与，，之间的数量关系． (2)【应用】如图3，当点P在外部时，，，，则______． 【答案】(1)；理由见解答 (2)3.6 【分析】此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系是解题的关键． （1）把点与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解． （2）把点与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图2，连接、、， 则 即， 又是等边三角形， ； （2）如图3，连接，，， 由三角形的面积公式得：， 即， ， ， 即， 故答案为： 例5（25-26八年级上·广西南宁·期中）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． (1)【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． (2)【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． (3)【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 【答案】(1)相等 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是掌握与三角形有关的性质． （1）证明是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ，点为的中点， 是的角平分线． ，， ． 故答案为：相等． （2）证明：， ． 点到点、的距离相等， ． ． , 即． ，， ． ． （3）如图， 是等边三角形， ． ，是等腰直角三角形， ． ,． ． 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： (1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键． （1）根据，代入数据，即可求解； （2）连接，利用计算即可； （3）连接，利用面积关系得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：如图3，连接，则 ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东·期中）综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 【特例研究】 （1）如图1，在中，，点是边的中点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作干点F，连接，由分割法可得图形面积 ，则 【推广探索】 （2）如图2，在中，，点是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是等边三角形，点P是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．设点P到三边，，的距离分别为，，，的高为．求证： 【答案】（1），，；（2）证明见解析（3）证明见解析 【分析】本题考查了三角形的高与面积、等边三角形的性质，熟练掌握分割法是解题关键． （1）根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得； （2）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得证； （3）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据等边三角形的性质可得，则可得，然后根据，，，即可得证． 【详解】（1）解：由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，． （2）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点到三边，，的距离分别为，，，的高为， ∴，，，， ∴． 3．（25-26八年级上·吉林辽源·期中）如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，为内部一点，，于点，于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由，，推出，由得到，证明，得到，进而解题． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在等边三角形中，D为边的中点，点E，F分别是边上的点，且．若，求的长． 【答案】 【分析】本题需要通过作辅助线，利用等边三角形的性质、三角形内角和以及三角函数来求解的长度． 【详解】解：如解图，连接，过点D分别作于点G，于点H． 为等边三角形， ． ， ． ． ，为边的中点， 平分． 在和中， ． 过点E作于点P． ． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用，掌握利用等边三角形的性质构造全等三角形，结合三角函数求解线段长度是解题的关键． 6．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例1．如图1，已知，在中，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：如图2，过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理） 同理可得： 又，∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接、、． （1）点为三条___________的交点，点为三条___________的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线；③高；④中线； （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么___________．（用含的代数表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）对于：根据角平分线的性质定理以及逆定理可得点是三条角平分线交点．对于：通过证明，得出点、在线段垂直平分线上，同理证、是、垂直平分线，从而确定点是三条边垂直平分线交点； （2）先利用、，结合等腰三角形性质表示出、，进而得出与的关系．再依据、，结合四边形内角和及，求出，进而得到，最终算出 ． （3）先根据、推出，结合（2）的结论得 ．由推出，得，即点在垂直平分线上 ．证明，得出、，即是垂直平分线，从而证得点在直线上 ． 【详解】解：（1）过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理）， 同理可得：， ， 又，， ∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 由于、、分别是三个角的平分线， ∴点为三条角平分线的交点． 如图所示， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 同理：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 因此，点O为三条边的垂直平分线的交点． 故答案为：②，①； （2）如图1所示， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ，， ， 即， ， ， ，． 故答案为：； （3）示意图如图2所示． ， 由题意得，， ， 由（2）可知． ， ，， ， ， 点在的垂直平分线上． 在和中， ，，， ， ，， 是的垂直平分线， 点在直线上． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（）①根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可；②由等腰三角形的三线合一的性质得，设，，，则，再根据三角形的周长公式解答即可； （）分别证明和，得到，，进而即可求证； 此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①，平分， ，， 故答案为：，； ②∵，， ∴， 设，，，则， ∵的周长， ， 的周长， ∴， ， 即的长为； （2）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 即． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，平分，得出设，，，由的周长为40，得出，由的周长比的周长少12，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证； （3）延长交的延长线为点，可证明，进而得到，根据题意得到，由于点H到的距离小于等于的长，则当时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵， ∴； 设，，， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵的周长比的周长少12， ∴， ∴． （2）证明：方法一： 如图2， 延长到点E，使， 连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二： 如图3，过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ∵的面积分别为， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H到的距离小于等于的长， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 10．（25-26八年级上·广西南宁·月考）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）思路一：根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 思路二：作，，根据三角形的角平分线性质，可得，根据定理，易证，即可证得； （3）延长，交于点G，由可证，可得，，由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）思路一：证明：延长到点E，使，连接，如图， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 思路二：证明：过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． ∵平分，，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，延长，交于点G， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据折叠的性质即可求解； （）①作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接，可得，即得，可知当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长，再利用解答即可求解；②当取最小值时，于点，交于点，，由可得，由得，即得，即得到，可得，设，由 得，进而由列出方程求出即可求解； 本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 沿直线翻折得到，点的对应点为， ； （2）解：①如图，作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接， 则， ， ∴当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长， 如图，于点，交于点，， ∵， ∴， 解得，此时， 的最小值为； ②如图，当取最小值时，于点，交于点，， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得， 设， ， ， ∵， 得， ， ． 12．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N，证得，进而得．在中、、，同理∶；进而得，在中，由，得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明∶∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3）解：如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，是等边三角形，点为射线上一点． (1)当点在线段上时： ①如图，点，分别为，上的点，若，求证：； ②如图，点为中点，点为上的点，且满足，过点作交于点，连接，，求的度数； (2)如图，当点在的延长线上时，点为上一点，且满足，连接交于点．若点为中点，，，求的长度． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再结合已知的线段相等，通过判定三角形全等．②先通过平行和等边三角形的判定及性质得到等边三角形，再结合线段相等证明三角形全等，进而得出角的关系，求出的度数． （2）过作交于，过作交于，连接，，过作于，证明（），（），利用等腰三角形的性质及勾股定理求解的长度． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ②过点作交于， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作交于，过作交于，连接，，过作于， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握这些图形的性质和判定定理是解题的关键． 14．（24-25八年级上·广东中山·月考）如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线上一动点，设点P到两边的距离分别为，，的高为h． (1)当点P运动到中点时，与的数量关系为：． (2)如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点P运动到BC的延长线上时，求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当点与点重合时，过点作于点于点，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 本题考查了等边三角形的性质、三角形的面积，运用等面积法建立等式是解题关键． 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 理由： 过点作于点于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：． 证明：如图（2），连接，则， ∴， 即， 又∵是等边三角形 ； （3）证明：连接， 则， 即 ∵是等边三角形， 两边同时除以2024得， ． 15．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    【答案】（1）；；；（2）①见解析；②见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质定理，等量代换，角平分线的判定定理解答即可． （2）①过点O作，，，，垂足分别为点E，点F，点G，点H，根据角的平分线性质定理和判定定理解答即可． 根据角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质解答即可； （3）根据前面的证明解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， ， 同理． ， 点P在的平分线上， 故答案为：；；． （2）解：①过点O作，，， 垂足分别为点E，点F，点G，点H，    ∵，，的平分线相交于点O． ∴，，， ∴， ∴点O在的平分线上， 故四边形四个内角的角平分线交于一点． 证明：根据前面的证明，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∴． 故四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． （3）解：根据四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． 故即可． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我们在学习《线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程． (1)请补全课本例2的证明过程； 已知：如图，的角平分线相交于点P．求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为F、M、N． ∵平分，点P在上，， ∴ ． 同理 ． ∴ ． 又∵ ∴点P在的平分线上． (2)若（1）中条件不变,，则（1）中 . 【答案】(1)；； (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、三角形面积的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到点到各边的距离相等，结合面积公式计算距离． （1）利用角平分线的性质得点到两边的距离相等，通过等量代换得到点到、的距离相等，从而证明点在角平分线上； （2）根据三角形面积公式，结合角平分线到各边距离相等，计算的长度． 【详解】（1）证明：过点作，，，垂足分别为、、． 平分，点在上，，， ． 同理，． ． 又，， 点在的平分线上． （2）解：，，， ， 是直角三角形，， ． 点是角平分线交点，， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当，，时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题综合考查了等腰三角形的面积问题，熟练掌握等积法是解题的关键． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴，即， ∵， ∴． （2）解： ∵，，， ∴，即， ∵， ∴． ∵，， ∴， 解得， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $