专题11 三角形和直角三角形相关综合性问题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

专题11 三角形和直角三角形相关综合性问题分类训练 （6种类型48道） 考点01 三角形相关综合性问题 考点02 全等三角形相关综合性问题 考点03 垂直平分线相关综合性问题 考点04 等腰三角形和等边三角形相关综合性问题 考点05 角平分线相关综合性问题 考点06 直角三角形和勾股定理相关综合性问题 考点01 三角形相关综合性问题 1．如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：∵BE是中线， ∴， ∵I是BC的中点， ∴， ∴ ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵CF是的平分线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误， 故正确的有②③； 故选：B． 2．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不正确； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：C． 3．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 4．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 5．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”，例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上任取一点，过点作于点，交于点，以为端点作射线，交线段于点（其中）． ①的度数为； ②是“灵动三角形”； ③若，则是“灵动三角形”； ④当为“灵动三角形”时，则满足条件的的值有4个． 以上结论正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，即， ∴，故①正确； ∵， ∴是“灵动三角形”，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴是“灵动三角形”，故③正确； ∵为“灵动三角形”，， ∴或或， 当时， ∴， ∴； 当时， 根据题意，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， 综上，满足条件的的值有3个，故④错误， 故选：C． 6．如图，，平分，交于点B，点E在上，平分，交的延长线于点D，且，下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵不一定为， ∴不一定成立，故④错误； 连接、， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②③⑤，共个， 故选：C． 7．将一副三角板按如图放置，其中，给出下列结论：①如果与互余，则；②如果，则有；③；④如果，必有．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：由题意得，， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； 如图，记的交点为， ， ， ， ∴不垂直，故②不符合题意； 由， ∴③符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④符合题意． 综上，①③④符合题意． 故选：B． 8．如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 过分别作、、的垂线，垂足分别为， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 考点02 全等三角形相关综合性问题 9．如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：①于点， 线段为的高， 故结论①不正确； ②点为的中点， ， 的边上的高与的边上的高相同， 与面积相等， 故结论②正确； ③，， ， 平分， ， ， 于点， ， ， 故结论③正确； ④平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④，共3个． 故选：D． 10．如图，与中，，，，交于D，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，， 故①符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故③符合题意； 依题意，无法得出以及， 故②和④不符合题意； 故选：C 11．在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作和，使得，连接与的延长线交于点G，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：①∵和为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设交于点R，交于N，如图1， 由①可知，且， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③过D作交的延长线于H，过E作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的中线；故③正确； ④∵， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：A． 12．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，连接，，且，下列说法：①；②和周长相等；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，所以结论⑤正确， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，所以结论④正确， ∴，（全等三角形对应边相等），所以结论①③正确， ∵，为公共边，但与的长度不一定相等， ∴的周长（）与的周长（）不一定相等，所以结论②错误， 综上所述，正确的有①③④⑤，共4个， 故选：C． 13．如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 【详解】解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 14．如图，在中，的角平分线相交于点P，过P作并交的延长线于点F，且有如下结论： ①        ②        ③        ④其中正确的结论个数为（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 15．如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①正确， ②∵， ∴， ∴ ，②正确 ③， ∵， ∴， ∴，③正确； ④∵点E是的三等分点（点E靠近A），是的中线， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴与的面积之比是，④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 16．如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：是中线， ，故①正确； ，， ，， ，， ， 又，， ， ，，故②③正确； ，， ， ，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有① ② ③ ⑤，共4个， 故选C． 考点03垂直平分线相关综合性问题 17．如图，在等腰中，，，过点作于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接，则下面的结论：①点在的垂直平分线上；②；③．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：连接，延长至E， 如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴点O在的垂直平分线上， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， 点是线段上一点， 与不一定相等， 与不一定相等， 故③错误； ∴正确的有①②共2个， 故选：C． 18．两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（   ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A．①②③ B．③⑥ C．①④⑥ D．①③⑥ 【答案】D 【详解】解：①∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线，故①正确； ②互相垂直，不一定平分，故②错误； ③在和中， ， ∴， ∴，, 即平分和，故③正确； ④题中条件无法证明， ∴不一定平分和，故④错误； ⑤题中条件无法得出，故⑤错误； ⑥∵是的垂直平分线， ∴，故⑥正确； 综上，结论正确的有①③⑥， 故选：． 19．如图，是等腰三角形，且顶角，是的垂直平分线，则有：①平分；②；③；④的周长，其中正确的有（　　）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是等腰三角形，且顶角， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 平分，故正确； ，， ， ，故正确； ， ，故错误； ， ， 的周长，故正确． 正确的结论有个． 故选C． 20．如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； 同理得， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴周长为， 即①正确； ∵ ， 即②正确； ∵， ∴在线段的垂直平分线上， 即垂直平分线段，但不垂直平分线段， 即③错误； ∵，， ∴， ∴ ， 即④正确； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴， 即⑤正确； 综上，正确的有①②④⑤，即4个正确， 故选：D． 21．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①所在的直线垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，②正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，①正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是上边的中线， ∴垂直平分， ∴，③正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为，④正确， 综上所述，①②③④都正确，正确的个数有4个， 故选D． 22．如图，中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，连接，，根据以上过程及所作图形，下列结论：①垂直平分；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵中，，由作法知， ∴是的垂直平分线，为等腰三角形， ∴平分，， ， ∴，故①②③正确． 故选：D． 23．如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：①∵在中，分别为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即结论①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长为：， 故结论②正确； ③如图所示：设的延长线交于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾， ∴假设是错误的，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：B． 24．如图所示，在中，垂直平分为边上一点，且，过点D作且，连接交于点M，连接．下列说法：①；②；③平分；④．其中正确的说法有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，即平分，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 所以正确的为①②③，有3个． 故选：C 考点04 等腰三角形和等边三角形相关综合性问题 25．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 26．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 27．如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 延长交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 无法证明G为的中点，故④不正确； 故选：B． 28．如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵，P是的中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，；故①②符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴ ∴，故④符合题意； 由等腰直角三角形的性质，， ∴随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 在其它位置时，故⑤不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③④ 故选：C 29．如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 30．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，先证明，再根据全等三角形的性质和大角对大边进行判断． 【详解】解：①为等边三角形， ，． ， ， ， 无法判断，故①说法不正确； ②， ， 故②说法正确； ③，， ， 即， 故③说法正确； ④，， ， ． 综上所述，说法正确的为②③④， 故选：D． 31．如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③ 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 无法判断，故②错误； ∴正确的是①③④， 故选：C． 32．如图点C为线段上一动点（不与点B、D重合），，，，与交于点O，与交于点M，与交于点N，连接，以下四个结论：①，②，③，④．  正确的有多少个？（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ③若，则， ， ， ，而点C不一定是线段的中点，此说法不一定正确； ， ∴④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 考点05 角平分线相关综合性问题 33．如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①平分，，， ，故结论①正确； ②如图：过点D作于点H， 平分，，， ， 又， ， 点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③由②可知， 在与中， ， ，故③正确； ④在和中， ， ， ， 同理证明：， ， ，即，故结论④正确， 故选：D． 34．如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1． 【答案】B 【详解】解：如图，作于E，于F．   ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，，故（）正确， ， =定值，故（）正确， 为定值，故（2）正确， ，的位置变化， 的长度是变化的，故（4）错误． 正确的有（1）（2）（3），共3个 故选：B． 35．如图，中，，平分交于点，平分交于点相交于点交的延长线于点连接，下列结论中正确的有（   ） ①； ②若，则； ③； ④； ⑤； ⑥． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【详解】解：①∵， ， 又平分平分， ， ， ，故①正确； ②， ， 平分， ， 由①知， ， ， ， ，故②正确； ③由②知， ， ，故③错误； ④如图，延长交于点H， ， ， ， ， ∴，故④错误； ⑤如图，在上截取，连接， ， ， ， ， 又 ∵， ， ， ∴，故⑤正确； ⑥如图，过点作于于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由③知， ，     ， 故⑥错误； 故选：D． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点；在线段上取一点，作，，垂足分别为，．则下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由作法得平分， ①平分，不一定是的中点， 不一定成立， 故①错误； ③平分， 故③正确； ④平分，，， ， 故④正确； ②，， （）， ， 故②正确； ②③④正确，有个， 故选：C． 37．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在的延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④垂直平分线．其中一定正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：与的平分线相交于点P， ， ，， ， ，故①正确； 如图，过点P作于点N，于点S，于点M， 则，， ， 平分， 故②正确； ， ， 平分， ， ，故③正确； ，平分， ， 垂直平分线．故④正确； 综上可知，正确的有①②③④， 故选：D． 38．如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故①正确； ②延长、交于点， ， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③错误； ④由②可得，， ∴，， ∴，故④正确； ⑤如图，过点作于， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 39．如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，①正确； 延长和相交于点， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，②正确； ∵，， ∴，，④正确； 过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴，③正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 40．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定等知识点，掌握它们的定义是解题的关键． 根据角平分线得到，再根据互余关系、等量代换得到，故，即可判断②；根据同角的余角相等得到，即可判断③；过点F作于点P，由角平分线性质定理得到，而在中，，故，即可判断①，然后再由共高三角形面积比等于底之比结合三角形中线等分面积判断④． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ，， ∴ ，故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴，故①错误，不符合题意； ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴故④错误，不符合题意； 故选：B． 考点06 直角三角形和勾股定理相关综合性问题 41．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则． 其中结论正确的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，以及直角三角形的性质．由在中，，，证得，继而可得，再由，可得D为中点，由于无法得到，，的关系，故不能证得是等边三角形，由若，求得，则可证得，继而证得，在此条件下，利用即可证明，从而判断结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，； ∴，故①正确； ∵， ∴，即D为中点，故②正确； 但不能判定是等边三角形；故③错误； ∵若， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故④正确． ∵若，是等边三角形， 在和中， ， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 42．如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． ①连接，由直角三角形的性质得到，则可证明：，据此可判断①； ②设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可得到，据此可判断②； ③可证明，是线段的垂直平分线，则可证明，据此可判断③； ④连接并延长交于，则点为的中点，由等边三角形的性质得到，则可证明，进而得到，据此可判断④． 【详解】解：①如图，连接， 是的中点， 点在的垂直平分线上， 的垂直平分线一定与相交于点，故①正确，符合题意； ②设 ，故②正确，符合题意； ③为的中点， ，是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形，故③正确，符合题意； ④如图 2，连接并延长交于点， 为的中点，为的中点， 点为的中点， 由③知：当为中点时，是等边三角形， ， 在中， ， 为的中点， ，故④不正确，不符合题意． 综上，正确的选项是①②③，共3个， 故选：C． 43．如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到线段与角的等量关系，结合角的代换证明三角形全等，进而推导相关结论并分析面积变化． 【详解】解：，是边上的中点， ， ， 又， ， ， ， 又， ，， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形， ①正确； ，， ， ，， ， ②正确； ， ， ， ③正确； ， ， 为定值， ④错误． 故选：． 44．如图，已知中，，．按下列步骤作图：分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交于点，交于点；连接．则下列结论中：①，②③；④正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查含30度的直角三角形，中垂线的性质，根据作图得到垂直平分，进而得到，进而推出，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴；故③正确； 由作图可知：垂直平分， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴；故④错误； 故选C． 45．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的作图，线段垂直平分线的判定、三角形全等的判定和性质、含角的直角三角形的性质等．①利用尺规作图的痕迹，可得出结论；②根据三角形的外角的性质即可得出结论；③先根据三角形内角和定理求出的度数，再由是的平分线得出，根据可知，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出，，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①由作图痕迹知是的平分线，故①正确； ②在中，，， ． 是的平分线， ， ∴，故②正确； ③， ， ， 点在的垂直平分线上，故③正确； ④在中，， ， ，， ， ，故④正确； 综上，正确的是①②③④， 故选：D 46．如图，在中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线分别与交于点E，F，连接；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点H，G，再分别以点H，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线．若射线恰好经过点E，则下列四个结论，正确的个数是（    ） ①；②垂直平分线段；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明，可判定①；再说明可得垂直平分线段，可判定②；根据，可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， ， 由作图可知平分， ， ， ，故①正确； ， ， ， 又平分， 垂直平分线段，故②正确； ， ，故③错误； ，， ， ， ， ， ，故④正确； 综上可知，正确的有① ② ④，共3个， 故选C． 47．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可． 【详解】解： ，， ， 在与中， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在中，， ，故③正确； ， ， ， ， 在中，， ， ，故④正确； 由题干条件无法证明出， 综上所述，其中正确的有①③④，共3个． 故选C． 48．如图，已知为等边三角形，点为中点，点在的平分线上，点在上，分别连接，，和，已知，过点作，且，连接，在上截取一点，使得，连接， ，延长至点使得，下面结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形，点为中点， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴点到的距离相等， 又∵点在的平分线上， ∴点到的距离相等， ∴点到的距离相等，即是的角平分线， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接，延长交于点， ∵ ∴在的垂直平分线上， 又∵到的距离为，到的距离等于 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，故③错误， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴即，故④正确； 故选：C． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 三角形和直角三角形相关综合性问题分类训练 （6种类型48道） 考点01 三角形相关综合性问题 考点02 全等三角形相关综合性问题 考点03 直平分线相关综合性问题 考点04 等腰三角形和等边三角形相关综合性问题 考点05 角平分线相关综合性问题 考点06 直角三角形和勾股定理相关综合性问题 考点01 三角形相关综合性问题 1．如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②③ 2．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”，例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上任取一点，过点作于点，交于点，以为端点作射线，交线段于点（其中）． ①的度数为； ②是“灵动三角形”； ③若，则是“灵动三角形”； ④当为“灵动三角形”时，则满足条件的的值有4个． 以上结论正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，，平分，交于点B，点E在上，平分，交的延长线于点D，且，下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．将一副三角板按如图放置，其中，给出下列结论：①如果与互余，则；②如果，则有；③；④如果，必有．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 8．如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 考点02 全等三角形相关综合性问题 9．如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，与中，，，，交于D，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作和，使得，连接与的延长线交于点G，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，连接，，且，下列说法：①；②和周长相等；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 14．如图，在中，的角平分线相交于点P，过P作并交的延长线于点F，且有如下结论： ①        ②        ③        ④其中正确的结论个数为（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点03 垂直平分线相关综合性问题 17．如图，在等腰中，，，过点作于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接，则下面的结论：①点在的垂直平分线上；②；③．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．两组邻边分别相等的四边形我们称它为等形．如图，在四边形中，，，与相交于点，下列结论正确的有（   ） ①是的垂直平分线；②互相平分；③平分和；④平分和；⑤；⑥等形的面积为 A．①②③ B．③⑥ C．①④⑥ D．①③⑥ 19．如图，是等腰三角形，且顶角，是的垂直平分线，则有：①平分；②；③；④的周长，其中正确的有（　　）个． A．个 B．个 C．个 D．个 20．如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 21．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，与交于点，若，则下列结论：①所在的直线垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，连接，，根据以上过程及所作图形，下列结论：①垂直平分；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 24．如图所示，在中，垂直平分为边上一点，且，过点D作且，连接交于点M，连接．下列说法：①；②；③平分；④．其中正确的说法有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点04 等腰三角形和等边三角形相关综合性问题 25．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 27．如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 28．如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 29．如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 31．如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③ 32．如图点C为线段上一动点（不与点B、D重合），，，，与交于点O，与交于点M，与交于点N，连接，以下四个结论：①，②，③，④．  正确的有多少个？（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点05 角平分线相关综合性问题 33．如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1． 35．如图，中，，平分交于点，平分交于点相交于点交的延长线于点连接，下列结论中正确的有（   ） ①； ②若，则； ③； ④； ⑤； ⑥． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 36．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点；在线段上取一点，作，，垂足分别为，．则下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在的延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④垂直平分线．其中一定正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 38．如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 39．如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 40．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点06 直角三角形和勾股定理相关综合性问题 41．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则． 其中结论正确的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 42．如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 44．如图，已知中，，．按下列步骤作图：分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交于点，交于点；连接．则下列结论中：①，②③；④正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 46．如图，在中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线分别与交于点E，F，连接；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点H，G，再分别以点H，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线．若射线恰好经过点E，则下列四个结论，正确的个数是（    ） ①；②垂直平分线段；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 47．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．如图，已知为等边三角形，点为中点，点在的平分线上，点在上，分别连接，，和，已知，过点作，且，连接，在上截取一点，使得，连接， ，延长至点使得，下面结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $