第四章 三角形（举一反三讲义）数学湘教版2024八年级上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过表格梳理（如三角形高的特性对比表）和知识点分层（从定义、分类到全等判定、等腰性质）构建知识体系，覆盖三角形的边、角关系及全等、等腰三角形等核心内容，清晰呈现重难点内在联系。 讲义按“培优篇16题型+拔尖篇14题型”分层设计，如“网格中找全等三角形”培养几何直观，“等腰三角形动点问题”强化推理意识，适配不同层次学生。题型归纳系统，教师可精准教学，学生能自主巩固提升。

第四章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版2024】 【培优篇】 8 【题型1 认识三角形】 8 【题型2 构成三角形的条件】 10 【题型3 三角形的稳定性】 12 【题型4 利用三角形的中线求周长】 13 【题型5 直角三角形的性质及判定】 17 【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】 21 【题型7 添加条件使成为全等三角形】 24 【题型8 判定全等三角形的依据】 27 【题型9 利用全等三角形的判定与性质求解】 30 【题型10 利用全等三角形的判定与性质证明】 33 【题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 38 【题型12 网格中找全等三角形】 47 【题型13 等腰（边）三角形性质的应用】 50 【题型14 证明是等腰（边）三角形】 54 【题型15 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 57 【题型16 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 61 【拔尖篇】 67 【题型17 三角形三边关系的应用】 67 【题型18 利用三角形的中线求面积】 70 【题型19 与三角形的高有关的分类讨论】 74 【题型20 与角平分线有关的角度计算】 78 【题型21 与平行线有关的角度计算】 83 【题型22 与翻折有关的角度计算】 88 【题型23 利用全等三角形的判定与性质求最值】 93 【题型24 利用全等三角形的判定与性质求面积】 97 【题型25 全等三角形中的动点问题】 101 【题型26 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 106 【题型27 格点与等腰三角形】 110 【题型28 确定构成等腰三角形个数的点】 113 【题型29 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 117 【题型30 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 120 知识点1 认识三角形 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形． 2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角． 3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示． 知识点2 三角形的分类 1. 等腰三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2. 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点3 三角形的三边关系 1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 3. 三角形具有稳定性． 知识点4 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部． 知识点5 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部． 知识点6 三角形的高 1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高． 2. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点7 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点8 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点9 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点10 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点11 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 知识点12 “边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点13 “角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点14 “角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点15 “边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点16 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点17 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点18 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点19 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点20 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 知识点21 线段垂直平分线性质定理的逆定理 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【培优篇】 【题型1 认识三角形】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 【变式1-1】下列说法正确的是（  ） A．有一个内角是锐角的三角形是锐角三角形 B．钝角三角形的三个内角都是钝角 C．有一个内角是直角的三角形是直角三角形 D．三条边都相等的三角形称为等腰三角形 【答案】C 【分析】根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】A.有一个内角是锐角的三角形可以是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故A错误； B.钝角三角形只有一个内角为钝角，其余两个内角为锐角，故B错误； C.有一个内角是直角的三角形是直角三角形，故C正确； D.三条边都相等的三角形称为等边三角形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 【变式1-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 【变式1-3】如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 【答案】4 【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试． 【详解】如图，满足条件的点C共有4个． 故答案为：4． 【题型2 构成三角形的条件】 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 【变式2-1】（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴的值可以是， 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 【变式2-3】已知a， b， c是的三边． (1)，， 则c的取值范围是 ； 若c为偶数，则的最大周长为 ． (2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长． 【答案】(1)；18 (2)另外两边长为6，6 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形周长的计算，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）根据三角形三边关系进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义和三角形三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴c的取值范围是， 即； ∵c为偶数， ∴，6，8， ∴的最大周长为：， 故答案为：；18． （2）解：当为腰时，另外两边为4，， ∵， ∴此时三边不能构成三角形，不符合题意舍去； 当为底时，另外两边为， 此时等腰三角形的三边为：，6，6； 综上分析可知：另外两边长为6，6． 【题型3 三角形的稳定性】 【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、它是由两个四边形构成，不具有稳定性； B、它是由三个三角形构成，具有稳定性； C、它是由两个四边形构成，不具有稳定性； D、它是有一个三角形和一个四边形构成，不具有稳定性． 故选：B 【变式3-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 【答案】具有稳定性 【分析】本题考查三角形具有稳定性的性质，根据三角形具有稳定性的性质，即可解答． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，可知，她用到了三角形具有稳定性的性质． 故答案为：稳定性． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ． 【答案】自行车的车架，衣架（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性结合日常生活作答即可． 【详解】解：三角形具有稳定性，在日常生活中自行车的车架，衣架用到三角形的这一特性． 故答案为：自行车的车架，衣架（答案不唯一） 【变式3-3】如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 【题型4 利用三角形的中线求周长】 【例4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得到，利用三角形的周长公式表示出与的周长，两者相减即可得出答案； （2）根据三角形的高的定义得到，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴． ∵， ∴的周长，的周长． ∴与的周长之差为 ． （2）解：∵是的高， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【题型5 直角三角形的性质及判定】 【例5】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为（   ）度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角，熟练掌握直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角是解题的关键． 如图，根据邻补角可知，然后根据直角三角形的两个锐角互余及同角的余角相等可进行求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ， ∴； 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度． 【答案】56 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【变式5-2】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 【变式5-3】如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键； （1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出； （2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】 【例6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和定理与三角形的外角性质并灵活运用．利用三角形的外角性质可得，由三角形的内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：，， ． ， 即， 解得． 故的度数是． 【变式6-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键． 根据，，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得． 【详解】解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． 故答案为：． 【题型7 添加条件使成为全等三角形】 【例7】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，给出下列条件： ， ， ， ，选择其中个条件，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一排除即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 、添加 ， ， 不能证明，原选项符合题意， 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意， 故选：． 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． 根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-2】如图，为等边三角形，点A，D，E在一条直线上，已知，请添加一个条件使得，这个条件可以是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据为等边三角形，可得，，进而可得，可知和中满足一组边和一组对角相等，再根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解： 为等边三角形， ，， 点A，D，E在一条直线上，， ， ， 又 ， 若利用证明，添加即可； 若利用证明，添加即可； 若利用证明，添加即可； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 【题型8 判定全等三角形的依据】 【例8】（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 故选：． 【变式8-2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，根据题意知和的三边对应相等，即可得证．解题的关键是掌握判定三角形全等的方法， 【详解】解：由图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线， ∴这种作法的依据是． 故答案为：． 【变式8-3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 【题型9 利用全等三角形的判定与性质求解】 【例9】如图所示，，，，，，则 【答案】/55度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式9-1】如图所示，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定理得出，再证明得，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式9-2】如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【变式9-3】如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分． 求的度数； 【答案】 【分析】证明三角形为等腰三角形，利用折叠的性质和外角的性质，以及三角形的内角和定理进行求解即可 【详解】解：∵将边对折，折痕为， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴ 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【题型10 利用全等三角形的判定与性质证明】 【例10】如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，此类题目难点在于利用同角的余角相等求出相等的角． （1）根据旋转的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“边角边”证明即可； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】如图，是等腰直角三角形，，D为上一点，延长到点E，使，连接，，并延长交于点F．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 证明，可得，等量代换求出即可． 【详解】证明：因为是等腰直角三角形，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以是直角三角形． 【变式10-2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）求出，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由，， 三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ， ，， ， 【变式10-3】如图，在等边角形中，是等腰三角形，，以D为顶点作一个的，角的两边分别交边于M、N两点，连接．延长分别与交于点P、Q， (1)求证：； (2)求证：； (3)与有怎样的数量关系，请说明理由； (4)若的边长为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)1 【分析】本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形得判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据，，即可证明结论； （2）由等边三角形的性质结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理可证 ，利用即可证明； （3）同理（2）得，推出，易证，即可得出结论；             （4）由全等三角形的性质将的周长转化为，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵即， ∴； （2）证明：是等边三角形， ， ∵为等腰三角形，且， ∴ ，                 ∴ ，          在与中， ∴； （3）解：， 同理（2）得，   ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴即 ， ∵， ∴ ， ∴ 即， ∵， ∴的周长为． 【题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 【例11】如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论； ②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案； （2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①解：补全图形如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 【变式11-1】应用拓展． (1)如图1，在正方形中，M是边（不含端点B、）上任意一点，P是延长线上一点，N是的平分线上一点．若，求证：； 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边上截取，连接．（下面请你完成余下的证明过程） (2)如图2，是的角平分线，H，G分别在，上，且，若，请探究线段与线段、之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）如图1，在边上截取，连接．根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到； （2）在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，根据等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，在边上截取，连接． 正方形中，，， ， ， ， ， 是的平分线上一点， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：． 理由：在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ∴， ， 又， ，即， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，结合了等腰三角形的知识，解决这两问的关键都是通过全等图形的对应边相等、对应角相等，将题目涉及的角或边进行转化． 【变式11-2】（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； （3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）4；（3），见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，得出，得出，进而得出，，即可得出结论； （2）由“”可证明，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长至，使，利用证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，延长，交于点． ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 是的垂直平分线， ； （3）． 证明：如图，延长至F，使， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ，． 是的中线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 即，． 【变式11-3】已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下见解析 (3)，理由如下见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型12 网格中找全等三角形】 【例12】如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质，，再根据直角三角形的判定及性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式12-1】如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．证明可得，，在正方形中，是对角线，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，是对角线， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式12-2】如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则 ． 【答案】/135度 【分析】证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案． 【详解】解：如图， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解题的关键． 【变式12-3】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 【题型13 等腰（边）三角形性质的应用】 【例13】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式13-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式13-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【变式13-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键． 根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ∴．， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型14 证明是等腰（边）三角形】 【例14】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式14-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【详解】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 【变式14-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【变式14-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【题型15 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例15】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长为7， ∴， ∵点E，F是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是：， 故选：C． 【变式15-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 【变式15-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算；延长交于点，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式15-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②相等；理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明： ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 【题型16 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例16】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式16-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 【变式16-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式16-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【拔尖篇】 【题型17 三角形三边关系的应用】 【例17】（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论． 由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是， 如果等腰三角形的腰长是底边长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系； 如果等腰三角形的底边长是腰长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形； 综上所述，等腰三角形的底边长是， 故答案为：． 【变式17-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边之间的关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：D． 【变式17-2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 【变式17-3】（2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【题型18 利用三角形的中线求面积】 【例18】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式18-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式18-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，根据，得到，设，则，，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为4， 故答案为：4． 【变式18-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比． 连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值． 【详解】解：连接，    设， ∵， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴当时，的面积最大，为， 四边形的面积的最大值是， 故选：B． 【题型19 与三角形的高有关的分类讨论】 【例19】（24-25七年级下·江西吉安·期末）在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ． 【答案】，或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高线，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：在锐角中，为边上的高， ，， 如图1，当时，此时，满足锐角三角形， ； 如图2，当时，此时， ，满足锐角三角形，， ； 如图3，当时，此时， ，，满足锐角三角形， ； 综上可知，的度数为，或， 故答案为：，或． 【变式19-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 【变式19-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是分点在线段上及点在线段上两种情况，分点在线段上及点在线段上两种情况考虑，当点在线段上时，利用三角形的外角性质可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数；同理解决，当点在线段． 【详解】解：当点在线段上时，如图1所示， 在中，是高， ， 为的外角， ， ． 平分， ， ； 当点在线段上时，如图2所示， 在中，，， ， ． 平分， ， ． 故答案为：或． 【变式19-3】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 【答案】或 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【详解】解：如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 综上所述，或． 故答案为：或． 【题型20 与角平分线有关的角度计算】 【例20】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式20-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【答案】 【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 【变式20-3】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（2）将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： （2）由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； 【题型21 与平行线有关的角度计算】 【例21】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义，可得，由，得到，结合，推出，即可判断①②③，过点N作，由可得，根据，，推出，再根据角平分线的定义，得到，即可判断④． 【详解】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 【变式21-1】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【变式21-2】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解： 平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【变式21-3】如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD. （1）求证：∠EMF＝90°． （2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数． （3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥EM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）∠N＝75°；（3）无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．证明见解析. 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线定义进行判断即可； （2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，根据∠MFE＝∠MFD列出方程，求出x即可得到∠N的度数； （3）先根据题意得到∠GFQ＝90°﹣∠FGQ，再根据FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD＝2∠GFQ，最后根据∠EHF+∠HFD＝180°，即可得出∠EHF＝2∠FGQ． 【详解】（1）如图1中，∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD， ∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE， ∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°， ∴∠EMF＝90°； （2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x， ∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x， ∴∠EFM＝90°﹣4x， ∴∠NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°， ∵∠MFE＝2∠MFD， ∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°）， ∴x＝15°， ∴∠MFN＝15°， ∴∠N＝90°﹣15°＝75°； （3）如图3，∵GQ⊥FM， ∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）． ∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ． ∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD， 又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD， ∴∠HFD＝2∠GFQ． 又∵AB∥CD， ∴∠EHF+∠HFD＝180°， ∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ， 即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【题型22 与翻折有关的角度计算】 【例22】如图，长方形中将沿翻折至处，若，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据长方形的性质可证得，由翻折的性质得，，可得，再由平行线的性质及直角三角形的性质，可得，，再由三角形外角的性质，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， ， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 【变式22-1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，，，则可证明，即可求的度数． 【详解】解：如图所示，连接， 将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 又∵ ∴， ， ， 故答案为：． 【变式22-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线间的距离，折叠问题．证明，再由折叠的性质可得，，，根据题意可得当线段最大时，最小，此时最小，则当时， 最小，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵线段最大， ∴最小，此时最小， ∵， ∴当时， 最小， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式22-3】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：； (3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由直角三角形的性质求得，再由折叠的性质得，最后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由折叠的性质得，根据直角三角形的性质求得，再根据平行线的判定即可得证； （3）设，由平行线的性质得，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】（1）解：，， ． ∵将沿翻折后得到， ． ． （2）解：根据翻折可得， ， ． ． ， ． ． （3）解：，理由如下： 设， ， ． 平分， ． ． ， ． ， ， ， ． ． ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【题型23 利用全等三角形的判定与性质求最值】 【例23】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为 ． 故答案为：50． 【变式23-1】（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 【变式23-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，延长、交于E，过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定，推出，，得到，当的面积最大时，的面积最大，求出，求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 【详解】解：延长、交于E，过C作于H， ∵平分， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∵的面积，， ∴面积的最大值， ∴面积的最大值为． 故选：B． 【变式23-3】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【题型24 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例24】（24-25八年级上·重庆长寿·期末）如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，证明全等三角形是解题的关键．根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，，推出． 【详解】解： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 【变式24-1】如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可． 【详解】如图，连接，    ∵在中，，，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴要的面积最大，则的面积最小即可， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式24-2】（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式24-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积 ，． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于点G，先证，可得，进一步可得，进而求得的面积． 【详解】解：如图：延长交于点G， ∵为的平分线，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为，． 故答案为：3． 【题型25 全等三角形中的动点问题】 【例25】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键； 根据题意，分、或、讨论，即可求解； 【详解】解：当与全等时， ， 、或、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或； 故选：B 【变式25-1】已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论， ①当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：1或7． 【变式25-2】如图，已知在中，，，为中点，点在线段上，以的速度由向运动，同时点在线段上由向运动，设运动时间为． (1)用含的式子表示的长． (2)若点与点的运动速度相等，当时，与是否全等，说明理由． (3)若点与点的运动速度不相等，要使与全等，点的速度是多少？说明理由． 【答案】(1) (2)全等，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据题意可得出答案； （2）由“”可证； （3）根据全等三角形的性质得出，，则可得出答案． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动， ∴， 故答案为：． （2）解：全等，理由： ，点的运动速度与点的运动速度相等， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （3）解：点的运动速度与点的运动速度不相等， 与不是对应边，即， 若，且， 则，， 点，点运动的时间， 点的运动速度； 答：当点的运动速度为时，能够使与全等． 【变式25-3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 【题型26 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例26】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得， 则 ∴ 故答案为：或． 【变式26-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 【变式26-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 【变式26-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析； (2)的大小不发生变化，； (3)当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答； （3）分三种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，如图， 当时，， 故时，为等腰三角形； 综上，当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【题型27 格点与等腰三角形】 【例27】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 【变式27-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可． （1）按等腰三角形的定义作图即可； （2）按等腰三角形的定义作图即可； （3）按等腰三角形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 【变式27-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，连接，平行线的性质，得到，证明，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：过点作，连接，则：， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式27-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【答案】4 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 【题型28 确定构成等腰三角形个数的点】 【例28】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 【变式28-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    【变式28-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 【变式28-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 【题型29 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例29】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又 ， ， 故答案为：4． 【变式29-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 【变式29-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，利用翻折性质及线段和差将转换为线段相等是解题的关键．由翻折得，，，结合，得出，所以，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式29-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，结合折叠且，得出，然后结合折叠以及角平分线的性质得，最后结合等面积法进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，如图所示： ∵在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为， ∴， ， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，，且 ∴， 则， ∵，， 则， ∴， 故， ∵， ∴， ∵边上的高，边上的高，且边上的高边上的高， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型30 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例30】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 【变式30-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式30-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边．分两种情况讨论，当点D与点A的左侧时，证明，推出，利用三角形内角和定理求解即可；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，同理即可求解． 【详解】解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式30-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：对于，当为顶角，则， ∵点D在的边上， ∴对于，只能为， ①时，如图： ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②时，如图： 设， 此时， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 对于，当为底角，时， 时，如图： 则此时， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，则此时， ∴， ∵ ∴； 对于，当为底角，时,,如图： ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或， 故答案为：或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版2024】 【培优篇】 8 【题型1 认识三角形】 8 【题型2 构成三角形的条件】 9 【题型3 三角形的稳定性】 9 【题型4 利用三角形的中线求周长】 10 【题型5 直角三角形的性质及判定】 11 【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】 12 【题型7 添加条件使成为全等三角形】 13 【题型8 判定全等三角形的依据】 14 【题型9 利用全等三角形的判定与性质求解】 15 【题型10 利用全等三角形的判定与性质证明】 16 【题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 17 【题型12 网格中找全等三角形】 19 【题型13 等腰（边）三角形性质的应用】 20 【题型14 证明是等腰（边）三角形】 21 【题型15 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 22 【题型16 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 23 【拔尖篇】 24 【题型17 三角形三边关系的应用】 24 【题型18 利用三角形的中线求面积】 25 【题型19 与三角形的高有关的分类讨论】 26 【题型20 与角平分线有关的角度计算】 26 【题型21 与平行线有关的角度计算】 28 【题型22 与翻折有关的角度计算】 29 【题型23 利用全等三角形的判定与性质求最值】 30 【题型24 利用全等三角形的判定与性质求面积】 31 【题型25 全等三角形中的动点问题】 32 【题型26 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 33 【题型27 格点与等腰三角形】 35 【题型28 确定构成等腰三角形个数的点】 36 【题型29 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 36 【题型30 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 37 知识点1 认识三角形 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形． 2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角． 3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示． 知识点2 三角形的分类 1. 等腰三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2. 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点3 三角形的三边关系 1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 3. 三角形具有稳定性． 知识点4 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部． 知识点5 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部． 知识点6 三角形的高 1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高． 2. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点7 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点8 三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点9 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点10 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点11 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 知识点12 “边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点13 “角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点14 “角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点15 “边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点16 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点17 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点18 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点19 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点20 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 知识点21 线段垂直平分线性质定理的逆定理 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【培优篇】 【题型1 认识三角形】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【变式1-1】下列说法正确的是（  ） A．有一个内角是锐角的三角形是锐角三角形 B．钝角三角形的三个内角都是钝角 C．有一个内角是直角的三角形是直角三角形 D．三条边都相等的三角形称为等腰三角形 【变式1-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式1-3】如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 【题型2 构成三角形的条件】 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【变式2-1】（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【变式2-3】已知a， b， c是的三边． (1)，， 则c的取值范围是 ； 若c为偶数，则的最大周长为 ． (2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长． 【题型3 三角形的稳定性】 【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“ ”的性质． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ． 【变式3-3】如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【题型4 利用三角形的中线求周长】 【例4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【变式4-2】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【变式4-3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【题型5 直角三角形的性质及判定】 【例5】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为（   ）度． A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度． 【变式5-2】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式5-3】如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【题型6 利用三角形的内角和及外角性质求值】 【例6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，，求的度数． 【变式6-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【变式6-3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【题型7 添加条件使成为全等三角形】 【例7】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，给出下列条件： ， ， ， ，选择其中个条件，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【变式7-2】如图，为等边三角形，点A，D，E在一条直线上，已知，请添加一个条件使得，这个条件可以是 ．    【变式7-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【题型8 判定全等三角形的依据】 【例8】（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【变式8-2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与， 重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的依据是 ． 【变式8-3】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【题型9 利用全等三角形的判定与性质求解】 【例9】如图所示，，，，，，则 【变式9-1】如图所示，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【变式9-3】如图，在中，，是边上的高，将边对折，折痕为，连接，平分． 求的度数； 【题型10 利用全等三角形的判定与性质证明】 【例10】如图，在中，，点D、E分别在上，且，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式10-1】如图，是等腰直角三角形，，D为上一点，延长到点E，使，连接，，并延长交于点F．求证：是直角三角形． 【变式10-2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【变式10-3】如图，在等边角形中，是等腰三角形，，以D为顶点作一个的，角的两边分别交边于M、N两点，连接．延长分别与交于点P、Q， (1)求证：； (2)求证：； (3)与有怎样的数量关系，请说明理由； (4)若的边长为1，求的周长． 【题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的关系】 【例11】如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【变式11-1】应用拓展． (1)如图1，在正方形中，M是边（不含端点B、）上任意一点，P是延长线上一点，N是的平分线上一点．若，求证：； 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边上截取，连接．（下面请你完成余下的证明过程） (2)如图2，是的角平分线，H，G分别在，上，且，若，请探究线段与线段、之间满足的等量关系，并加以证明． 【变式11-2】（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断：，，之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； （3）如图③，是的中线，是的中线，且，判断线段与线段的数量关系，并证明． 【变式11-3】已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型12 网格中找全等三角形】 【例12】如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 度． 【变式12-2】如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则 ． 【变式12-3】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【题型13 等腰（边）三角形性质的应用】 【例13】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【变式13-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【题型14 证明是等腰（边）三角形】 【例14】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【变式14-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【变式14-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【变式14-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【题型15 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例15】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【变式15-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【变式15-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【变式15-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【题型16 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例16】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式16-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式16-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【变式16-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【拔尖篇】 【题型17 三角形三边关系的应用】 【例17】（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【变式17-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【变式17-3】（2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型18 利用三角形的中线求面积】 【例18】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式18-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【变式18-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ． 【变式18-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型19 与三角形的高有关的分类讨论】 【例19】（24-25七年级下·江西吉安·期末）在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ． 【变式19-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【变式19-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ． 【变式19-3】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 【题型20 与角平分线有关的角度计算】 【例20】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 【变式20-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【变式20-3】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【题型21 与平行线有关的角度计算】 【例21】如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式21-1】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式21-2】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【变式21-3】如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD. （1）求证：∠EMF＝90°． （2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数． （3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥EM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论． 【题型22 与翻折有关的角度计算】 【例22】如图，长方形中将沿翻折至处，若，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式22-1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则 ． 【变式22-2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则 ． 【变式22-3】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：； (3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【题型23 利用全等三角形的判定与性质求最值】 【例23】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【变式23-1】（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【变式23-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在四边形中，平分，于点D，，，则面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式23-3】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【题型24 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例24】（24-25八年级上·重庆长寿·期末）如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式24-1】如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【变式24-2】（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【变式24-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积 ，． 【题型25 全等三角形中的动点问题】 【例25】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【变式25-1】已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    【变式25-2】如图，已知在中，，，为中点，点在线段上，以的速度由向运动，同时点在线段上由向运动，设运动时间为． (1)用含的式子表示的长． (2)若点与点的运动速度相等，当时，与是否全等，说明理由． (3)若点与点的运动速度不相等，要使与全等，点的速度是多少？说明理由． 【变式25-3】如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【题型26 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例26】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【变式26-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【变式26-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【变式26-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【题型27 格点与等腰三角形】 【例27】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式27-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【变式27-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【变式27-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【题型28 确定构成等腰三角形个数的点】 【例28】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式28-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【变式28-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式28-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【题型29 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例29】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【变式29-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式29-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【变式29-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【题型30 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例30】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【变式30-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【变式30-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【变式30-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $