精品解析：北京市第二十中学2025-2026学年高一启承班上学期期末数学试题

北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期末考试试卷 高一启承 数学 （时间：120分钟满分：150分为必修三模块结业考试） 命题人：张小艳 审题人：刘颖 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）. A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 3. 已知与的夹角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知正弦型函数的图象过点，则为（ ） A. B. C. D. 5. 将的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 10. 在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 求值：__________. 12. 已知菱形的边长为，，，则_________________. 13. 已知函数，若，则满足条件一组取值可以是_____，_____． 14. 在中，，，，则______. 15. 函数是定义域为R奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ① ； ② 是函数的周期； ③ 函数在区间上单调递增； ④ 函数所有零点之和为. 其中，正确结论序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求定义域和最小正周期； （2）若，且，求的值． 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 在平面直角坐标系中，，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 19. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： （1）的值及的单调递增区间； （2）在区间上的最大值和最小值. 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数 （1）求； （2）求函数在上的最大值与最小值； （3）在区间上有且仅有一个，使得，求的取值范围. 21. 已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. （1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； （2）集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ （3）试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期末考试试卷 高一启承 数学 （时间：120分钟满分：150分为必修三模块结业考试） 命题人：张小艳 审题人：刘颖 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 故选：A 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数概念和复数加法求解即可. 【详解】根据题意，， 则. 故选：C 3. 已知与的夹角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用向量模长的平方公式，然后代入计算. 【详解】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 4. 已知正弦型函数的图象过点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以及即可求解. 【详解】因为正弦型函数的图象过点， 所以，又，故. 故选：B 5. 将的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的变换可直接求解. 【详解】由题可得将的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 可得，故A正确. 故选：A. 6. 如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】，故， 则. 故选：A 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理，得. 故选：C 8. 已知 ，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分情况讨论为奇数和偶数，结合诱导公式化简可判断. 【详解】当为奇数时，设，， 则，此时满足； 当为偶数时，设，， 则，此时满足； 即“”是“”的充分条件； 当时，， 当时，或，， 当时，或，， 综上所述或， 即，； 即“”不是“”的必要条件； 综上所述“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 9. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 10. 在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可得，进而将可看作是点到点的距离，即可求解. 【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于所以， 由于点在，不妨设 ，, ，其中， , 所以， 可看作是上点到点的距离， 由于点在线段上运动， 故当点运动到点时，此时距离最大，为, 当点运动到点时，此时距离最小为0， 综上可知：， 故选：A 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知菱形的边长为，，，则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算得到，，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 又菱形的边长为，，所以， 故答案为：. 13. 已知函数，若，则满足条件的一组取值可以是_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由得是的一条对称轴计算即可. 【详解】因为， 所以是的一条对称轴， 所以， 当时，. 故答案为：；.（答案不唯一） 14. 在中，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求解，由同角函数基本关系求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理可得， 解得，则， 又， 所以. 故答案为： 15. 函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ① ； ② 是函数的周期； ③ 函数在区间上单调递增； ④ 函数所有零点之和为. 其中，正确结论的序号是___________. 【答案】① ③ ④ 【解析】 【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④. 【详解】对于①：由可得，故①正确； 对于② ：由可得关于直线对称， 因为是定义域为R的奇函数，所以 所以， 所以函数的周期为，故② 不正确； 对于③ ：当时，单调递增，且， 在单调递减，且， 所以在单调递增，因为是奇函数， 所以函数在区间上单调递增；故③ 正确； 对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图 函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ， 所以函数所有零点之和为.故④ 正确； 故答案为：① ③ ④ 【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的定义域和最小正周期； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）定义域为；最小正周期为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得定义域为，再对函数化简可得即可求得最小正周期； （2）由题可得，再结合，且，可求得，因从而可求解. 【小问1详解】 由题可得定义域为，函数的定义域为， 所以函数的定义域为； 由，因的最小正周期为， 所以可得的最小正周期为. 【小问2详解】 由，即，因，且， 所以， 所以. 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得； （2）先结合条件得出，，若，则代入解方程即可；若已知面积，则根据面积公式得出，再解方程组即可；若选③，先求出，再同①. 【小问1详解】 在中利用余弦定理可得，， 因为，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由，结合正弦定理可得，， 因为，所以， 选①：若，则，则（负值舍去），则， 故的周长为； 选②：，则， 则，则，得（负值舍去）， 故，，， 故的周长为； 选③：因为边上的高等于，所以， 因为，所以，则（负值舍去），则， 故的周长为； 18. 在平面直角坐标系中，，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量的坐标运算求出，最后根据可得； （2）设，根据模长以及向量平行的坐标运算列出方程组求解. 【小问1详解】 由题意得，， 则， 又，所以，得； 【小问2详解】 设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. 19. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求： （1）的值及的单调递增区间； （2）在区间上的最大值和最小值. 条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为； 条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到； 条件③：直线为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）2， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先由三角变换公式得到，若选条件①，则可利用周期公式得到，从而求得解析式；若选条件②，则由图像平移得到解析式；若条件③，则解析式不唯一.最后根据整体法可求单调区间； （2）利用整体法可求函数的最值. 【小问1详解】 . 选择条件①： 因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，所以，故. 因为，所以. 因为，令， 即，所以的单调递增区间为. 选择条件②： 因为函数的图象可以由函数的图象平移得到， 所以函数与函数的周期相同，故. 因为，所以.所以. 以下解答过程同选择条件①. 选择条件③：因为为图象的对称轴， 所以，即， 故，其中，此时不唯一，故不选③. 【小问2详解】 选择条件①或②时， 因为，所以， 当，即时，取最大值，最大值为1； 当，即时，取最小值，最小值. 20. 已知函数 （1）求； （2）求函数在上的最大值与最小值； （3）在区间上有且仅有一个，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可得到； （2）由诱导公式可化简的表达式，其可看成关于的二次函数，由二次函数的性质可求得其最值； （3）由可得到关于的一元二次方程，解之可得，所以问题转化为使得在有且仅有一个解，由正弦函数的性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 代入可得； 【小问2详解】 由诱导公式可得，令，由正弦函数的性质可知在上单调递增， 故，所以原函数换元后转化为，由二次函数的性质可知对称轴为， 所以函数在上的最小值为，最大值为， 故函数在上的最大值为，最小值为 ； 【小问3详解】 由可得，解得或，因为，所以， 故需满足在有且仅有一个解，由正弦函数的性质可知在第一个解为，第二个解为， 若要使得在有且仅有一个解，则，故的取值范围为. 21. 已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. （1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； （2）集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ （3）试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）4950 （3）充分不必要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. 【小问2详解】 由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. 【小问3详解】 充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $