专题15.2分式的运算（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题15.2 分式的运算 教学目标 1.掌握分式乘除、乘方、加减的运算法则，能熟练进行基础运算。 2.能规范进行分式混合运算，灵活运用运算技巧简化过程。 3.会进行分式的化简求值，能解决简单的实际应用问题。 4.体会类比分数运算的思想，培养严谨的代数运算能力。 教学重难点 重点 （1）分式乘除、加减及乘方的核心运算法则。 （2）分式混合运算的顺序与技巧应用。 （3）分式化简求值的步骤与字母取值范围的判断。 （4）异分母分式加减的通分操作。 难点 （1）分子分母为多项式时的因式分解与约分结合运算。 （2）分式混合运算中运算顺序的把握与符号处理。 （3）化简求值中字母取值的合理性验证（分母不为零）。 （4）实际问题中分式模型的建立与等量关系挖掘。 知识点01：分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，分子积为积的 ，分母积为积的 ，即（，）。 2.除法法则：分式除以分式，将除式分子分母 后与被除式 ，即（，，）。 3.注意：分子分母为多项式时，先因式分解再 ，结果化为 或 。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：= ． 知识点02：分式的乘方运算 1.乘方法则：分子分母分别乘方，即（，为正整数）。 2.符号规则：正分式任何次幂为 ；负分式偶次幂为 ，奇次幂为 。 3.注意：分子或分母为多项式时，需将其视为整体加括号后再乘方。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·北京·月考）计算：． 知识点03：分式的加减运算 1.同分母法则：分母 ，分子 ，即（）。 2.异分母法则：先通分化为 ，再按同分母法则计算，即（，）。 3.注意：整式可看作分母为1的分式，分母互为相反数时可添负号转化为同分母。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 知识点04：分式的混合运算 1.运算顺序：先 ，再 ，最后 ；有括号先算 ，同级运算 。 2.运算技巧：可灵活运用交换律、结合律、分配律简化计算，避免除法分配律误用。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 (1) (2) 知识点05：分式的化简求值 1.基本步骤：先化简分式（按运算法则化为最简），再代入使分式 字母值计算。 2.注意：字母取值需满足所有 ，避免代入化简后失根的情况。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）先化简，再求值：，其中． 题型01分式的乘法运算 方法技巧：分子分母分别相乘，先对多项式因式分解，约去公因式，结果化为最简分式或整式。 【典例1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26八年级上·福建莆田·月考）计算： 【变式3】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算： (1) (2) 题型02分式的除法运算 方法技巧：将除法转化为乘法（除式分子分母颠倒），后续步骤同乘法运算，注意因式分解和约分。 【典例2】. （22-23九年级下·江西南昌·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是    （　　） A． B． C．b D． 【变式3】. （2025八年级上·全国·专题练习）计算：（ ） A．1 B．a C． D． 题型03分式的乘方运算 方法技巧：分子分母分别乘方，先确定符号，多项式需加括号视为整体，结果化简。 【典例3】. （25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： ． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)（n为正整数）． 【变式2】. （25-26八年级上·北京·月考）计算： ． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04同分母分式的加减运算 方法技巧：分母保持不变，分子相加减，分子是多项式时注意括号作用，结果约分至最简。 【典例4】. （25-26八年级上·广西桂林·月考）计算： ． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·期末）计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【变式3】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 题型05异分母分式的加减运算 方法技巧：先确定最简公分母（多项式先因式分解），通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算。 【典例5】. （25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算： ． 【变式1】. （25-26九年级上·甘肃兰州·月考）计算： A． B．1 C．a D． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 题型06分式的混合运算 方法技巧：严格遵循“先乘方，再乘除，后加减”顺序，有括号先算括号内，灵活运用运算律简化。 【典例6】. （25-26七年级上·上海·期中）当时，的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 【变式1】. （2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式2】. （25-26八年级上·河北石家庄·月考）解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【变式3】. （25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1) (2) 题型07分式的化简求值 方法技巧：先化简分式至最简形式，再代入使所有分母不为零的字母值，计算结果。 【典例7】. （25-26八年级上·全国·课后作业）当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·甘肃·期末）若，则的值为（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【变式2】. （25-26八年级上·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式3】. （25-26九年级上·广东惠州·月考）先化简，再求值：其中 题型08含参数的分式运算 方法技巧：根据运算结果的条件（如整数、正数）列方程或不等式，结合分母不为零求解参数。 【典例8】. （24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【变式1】. （24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 【变式2】. （25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 题型09倒数法在分式求值中的应用 方法技巧：对形如的式子取倒数，转化为，结合已知条件求解。 【典例9】. （25-26八年级上·天津南开·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴，即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式1】. （25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴ 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以将这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)请将分式分离常数； (2)已知，求分式的值： (3)若分式的值为整数，整数b的值为 ． 【变式2】. （24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）计算的结果是（   ） A． B．x C． D． 2．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·北京·月考）计算： ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 7．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）计算： ． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·广东湛江·月考）化简：． 10．（25-26九年级上·江苏·期末）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 11．（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1) (2) 12．（2025八年级上·全国·专题练习）下面是小赣同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ； ②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从，，1中选择一个合适的数代入求值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2 分式的运算 教学目标 1.掌握分式乘除、乘方、加减的运算法则，能熟练进行基础运算。 2.能规范进行分式混合运算，灵活运用运算技巧简化过程。 3.会进行分式的化简求值，能解决简单的实际应用问题。 4.体会类比分数运算的思想，培养严谨的代数运算能力。 教学重难点 重点 （1）分式乘除、加减及乘方的核心运算法则。 （2）分式混合运算的顺序与技巧应用。 （3）分式化简求值的步骤与字母取值范围的判断。 （4）异分母分式加减的通分操作。 难点 （1）分子分母为多项式时的因式分解与约分结合运算。 （2）分式混合运算中运算顺序的把握与符号处理。 （3）化简求值中字母取值的合理性验证（分母不为零）。 （4）实际问题中分式模型的建立与等量关系挖掘。 知识点01：分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，分子积为积的分子，分母积为积的分母，即（，）。 2.除法法则：分式除以分式，将除式分子分母颠倒后与被除式相乘，即（，，）。 3.注意：分子分母为多项式时，先因式分解再约分，结果化为最简分式或整式。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，单项式乘以单项式，根据同级运算从左到右的顺序，先计算乘法，再将除法运算转化为乘法运算，然后通过约分简化表达式即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 知识点02：分式的乘方运算 1.乘方法则：分子分母分别乘方，即（，为正整数）。 2.符号规则：正分式任何次幂为正；负分式偶次幂为正，奇次幂为负。 3.注意：分子或分母为多项式时，需将其视为整体加括号后再乘方。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·北京·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 知识点03：分式的加减运算 1.同分母法则：分母不变，分子相加减，即（）。 2.异分母法则：先通分化为同分母分式，再按同分母法则计算，即（，）。 3.注意：整式可看作分母为1的分式，分母互为相反数时可添负号转化为同分母。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 知识点04：分式的混合运算 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右。 2.运算技巧：可灵活运用交换律、结合律、分配律简化计算，避免除法分配律误用。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点05：分式的化简求值 1.基本步骤：先化简分式（按运算法则化为最简），再代入使分式有意义的字母值计算。 2.注意：字母取值需满足所有分母不为零，避免代入化简后失根的情况。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先对括号内进行通分运算，再进行乘除运算，将结果化为最简分式或整式，最后将代入计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 题型01分式的乘法运算 方法技巧：分子分母分别相乘，先对多项式因式分解，约去公因式，结果化为最简分式或整式。 【典例1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握乘法法则是解题的关键： （1）利用乘法法则进行计算，结果化为最简分式即可； （2）利用乘法法则进行计算，结果化为最简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】. （25-26八年级上·福建莆田·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，分式的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，即可作答． （2）先把原式整理成，再进行化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型02分式的除法运算 方法技巧：将除法转化为乘法（除式分子分母颠倒），后续步骤同乘法运算，注意因式分解和约分。 【典例2】. （22-23九年级下·江西南昌·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故选：D． 【变式1】. （24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期末）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是    （　　） A． B． C．b D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法运算转化为乘法，并利用平方差公式化简，得到结果为，要求结果为整式，则分子必须能被分母整除，即必须包含因子，即可求解． 【详解】解： 要求结果为整式，即为整式， ∴必须能被整除. 只有选项C符合题意， 故选：C． 【变式3】. （2025八年级上·全国·专题练习）计算：（ ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了分式的除法．根据分式除法的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 题型03分式的乘方运算 方法技巧：分子分母分别乘方，先确定符号，多项式需加括号视为整体，结果化简。 【典例3】. （25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算以及分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式的乘方运算法则和乘法运算法则． 先计算，再与相乘并约分即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)（n为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的计算和分式乘方法则，对分子、分母分别进行乘方，即可得到结果． （1）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （2）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （3）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】. （25-26八年级上·北京·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用分式乘方运算，然后运用分式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的除法和乘法，积的乘方以及分式的乘方，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 根据相关运算对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 题型04同分母分式的加减运算 方法技巧：分母保持不变，分子相加减，分子是多项式时注意括号作用，结果约分至最简。 【典例4】. （25-26八年级上·广西桂林·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算．由于两个分式的分母相同，直接合并分子进行运算． 【详解】解：（其中）． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·期末）计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算，再对分子进行因式分解并化简即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 【变式2】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型05异分母分式的加减运算 方法技巧：先确定最简公分母（多项式先因式分解），通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算。 【典例5】. （25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】. （25-26九年级上·甘肃兰州·月考）计算： A． B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键． 先将分母化为同分母，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选B． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减， 通过因式分解分母，并通分，合并分式后化简即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的加减混合运算能力，关键是能准确进行通分、计算． （1）先因式分解和变号，再进行通分、加减运算； （2）先通分，再进行加减运算和化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06分式的混合运算 方法技巧：严格遵循“先乘方，再乘除，后加减”顺序，有括号先算括号内，灵活运用运算律简化。 【典例6】. （25-26七年级上·上海·期中）当时，的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，求代数式的值，正确计算是解题的关键．将表达式中的除法和乘法统一为乘法形式，简化后代入求值． 【详解】解：∵ 原式 = = = ， 当 时，， ∴ 原式 = ． 故选：A． 【变式1】. （2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，先把除法化为乘法，然后化简，再通分，化简，得，即可作答． 【详解】解： ． 【变式2】. （25-26八年级上·河北石家庄·月考）解答下列各题． (1)计算：； (2)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式；当时，原式（选一个即可） 【分析】本题考查了分式的运算及化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）先将括号内的分式通分，计算减法，再把除法化为乘法，化简约分即可解答； （2）小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵当或3时，原分式无意义， ∴只能取1或0， 当时，原式； 当时，原式． （写一种情况即可） 【变式3】. （25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式、分式的混合运算． （1）根据平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可； （2）先把分式的分子、分母因式分解，再根据分式除法法则计算即可得答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型07分式的化简求值 方法技巧：先化简分式至最简形式，再代入使所有分母不为零的字母值，计算结果。 【典例7】. （25-26八年级上·全国·课后作业）当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对分式进行化简，再将给定的值代入计算． 【详解】解：①化简原式： 原式 ． ②代入求值： 当时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解和分式的乘除运算． 【变式1】. （25-26八年级上·甘肃·期末）若，则的值为（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，由已知条件得，代入 求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键． 先根据分式的混合运算，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】. （25-26九年级上·广东惠州·月考）先化简，再求值：其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型08含参数的分式运算 方法技巧：根据运算结果的条件（如整数、正数）列方程或不等式，结合分母不为零求解参数。 【典例8】. （24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【答案】问题1：或或或；问题2： 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆用，分式的值为整数的含义； 问题1：把原式化为，再进一步解答即可； 问题2：把原式化为，再进一步解答即可； 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 【变式1】. （24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 【答案】(1)， (2) (3)2或0或3或或5或 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． （1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （3）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【详解】（1）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：，； （2）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； （3）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或或， 则满足条件的整数或0或3或或5或， 故答案为：2或0或3或或5或． 【变式2】. （25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 【答案】(1) (2)，时，整数为1 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）根据同分母分式加法将各分式变形； （2）先根据分式的四则混合运算法则化简，再变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 要使得该式的值为整数， 则， ∴或（为满足分母不为0，故舍）， ∴该式子的值为． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或0或2或 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算及完全平方公式是解题的关键． （1）仿照例题，根据题分式的运算求解； （2）根据例题以及分式的运算求解； （3）利用完全平方公式和给出的例题对分式进行整理，得出，然后根据整数倍数关系求解即可． 【详解】解：（1）的次数为0，x的次数为1， 是真分式． 故答案为：真； （2）原式； （3）原式 ， 与均为整数， 或， 或0或2或． 题型09倒数法在分式求值中的应用 方法技巧：对形如的式子取倒数，转化为，结合已知条件求解。 【典例9】. （25-26八年级上·天津南开·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴，即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的化简求值，参数法和倒数法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设（），则 ，，，然后代入即可求解； （）利用倒数法将分式方程变形，再通过完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：设（），则，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴ 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以将这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)请将分式分离常数； (2)已知，求分式的值： (3)若分式的值为整数，整数b的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料2的解析，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （3）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或；解之即可得到答案． 【详解】（1）解：； ∴分式分离常数为； （2）解：∵； ∴ ； （3）解：∵分式的值为整数； ∴； ∵； ∴或； ∴或；          故答案为：； 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． 【变式2】. （24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知．∴，即． ∴ ∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键．把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴的值为． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）计算的结果是（   ） A． B．x C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除法， 根据除法运算顺序从左到右进行计算，先将第一个除法转化为乘法，再计算第二个除法． 【详解】解：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的求值和乘法公式． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边除以得 ， 即， 又∵ ， ∴ ， 故选：B 3．（2025八年级上·全国·专题练习）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简． 将表达式中的各项通分后计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，掌握分式的性质是解题关键．由已知条件，结合完全平方公式，可先求出的值，再将所求分式分子分母同除以化简后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，且 ∴， ∴ ， 故选：D 二、填空题 5．（25-26八年级上·北京·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，掌握分式的加法运算法则是解题的关键． 先观察分母的关系，再将分母化成相同的分母，然后运用同分母分式加法运算法则计算，然后再约分即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的整数次幂的运算，根据指数运算法则，分别计算各部分的幂，再将除法转化为乘法并简化． 【详解】解：原式 = ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）计算： ． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 先对括号内的分式通分相加，化简后再与后面的分式相乘，通过约分得到结果． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知条件可推出，再把代入所求分式中计算求解即可． 【详解】．解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 9．（25-26八年级上·广东湛江·月考）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 10．（25-26九年级上·江苏·期末）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴或． 11．（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加法、分式的乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）下面是小赣同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ； ②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从，，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)①分式的除法法则；②二；应用分式的基本性质时，第二个分式的分子没乘 (2)，当时值为 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题目中的解答过程可求解①②； （2）利用分式的混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步变形的依据是分式的基本性质和分式的除法法则， ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘， 故答案为：①分式的除法法则；②二；应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘； （2）解： ； ∵ ∴， ∴当时，原式． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $