专题15.1分式及其基本性质（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

本讲义聚焦分式及其基本性质这一核心知识点，系统梳理从整式到分式的概念过渡，涵盖分式定义、有意义及值为零的条件、基本性质、约分与通分等内容，通过类比分数性质构建学习支架，形成完整知识脉络。 该资料设计亮点显著，采用“即学即练+典例变式”模式，强化数学思维中的推理意识和数学眼光中的抽象能力。题型覆盖分式判断、性质应用等八大类，结合实例帮助学生突破符号转化、多项式约分等难点，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升代数变形与应用能力。

专题15.1 分式及其基本性质 教学目标 1.理解分式、最简分式等概念，能区分分式与整式，掌握分式有意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质及符号法则，能熟练进行分式的约分与通分。 3.能运用分式基本性质解决变形、系数化为整数等问题，提升代数变形能力。 4.体会类比分数性质学习分式的思想，培养严谨的数学思维。 教学重难点 重点 （1）分式的概念及分式有意义、值为零的条件。 （2）分式的基本性质及符号法则的应用。 （3）分式的约分与通分操作。 （4）最简分式与最简公分母的确定。 难点 （1）分式值为零条件中“分子为零且分母不为零”的双重约束。 （2）分子、分母是多项式时的约分与通分（需先因式分解）。 （3）分式符号法则的灵活应用（避免符号出错）。 （4）复杂分母（含多项式、多个因式）的最简公分母确定。 知识点01：分式的概念 1.定义：形如（、是整式，且中含有字母，）的式子叫作分式，是分子，是分母。 2.有理式：整式和分式统称有理式，整式分母不含字母，分式分母含字母（是常数，不算字母）。 3.注意：判断分式需看原形式，不能化简后判断，如是分式。 【即学即练】 1．（2025八年级上·北京·专题练习）下列式子中，哪些是分式？ ，，，， 【答案】，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式，根据分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，． 知识点02：分式有意义、无意义的条件 1.有意义：分母不为零，即，与分子取值无关。 2.无意义：分母为零，即。 3.注意：需针对原分式讨论，不能化简后分析，如无意义的条件是，而非化简后的条件。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若使分式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确理解分式有意义的条件是关键．根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：分式 有意义， 分母， ． 故选：B． 知识点03：分式值为零的条件 1.核心：分子为零且分母不为零，即且，二者缺一不可。 2.示例：分式值为零，则，解得。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据分式的值为0需满足分子等于0且分母不等于0，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， 解得， 当时，分母，满足条件， ∴， 故选：D． 知识点04：分式的基本性质 1.基本性质：分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即，（是整式且）。 2.符号法则：分子、分母与分式本身的正负号，同时改变两处，分式的值不变，即。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东江门·月考）如果把分式中的x和y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（   ）． A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质进行计算是解题关键． 通过代入扩大后的值计算分式的变化，并与原式比较即可． 【详解】解：∵ x和y同时扩大为原来的3倍，即，， ∴ 新分式为 ， ∴ 分式的值缩小为原来的 ． 故选：A． 知识点05：分式的约分与最简分式 1.约分：把分子与分母的公因式约去，依据是分式的基本性质。 2.公因式找法：单项式取系数最大公约数和相同字母最低次幂；多项式先因式分解再找公因式。 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，约分结果需为最简分式或整式。 【即学即练】 1．（2025八年级上·北京·专题练习）化简分式 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，正确掌握分式化简的方法是解题的关键． 先把分子分母因式分解，再约去公因式即可求解． 【详解】解： 2．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式． 通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式． 【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式； 故选：． 知识点06：分式的通分与最简公分母 1.通分：将几个异分母分式化为与原分式相等的同分母分式，依据是分式的基本性质。 2.最简公分母确定：取各分母系数最小公倍数、相同因式最高次幂、单独因式连同指数的积。 3.注意：分母是多项式时先因式分解，通分时不含负号。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·北京顺义·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的基本性质等知识点，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 先通分，然后再计算，最后约分即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·上海宝山·月考）分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，的最简公分母是． 故答案为：． 题型01判断代数式是否为分式 方法技巧：紧扣“含未知数+分母含字母+是等式”，不化简原代数式，直接判断分母是否含字母（除外），区分整式与分式。 【典例1】. （25-26八年级上·贵州黔东南·期末）在式子：①，②，③，④中，属于分式的是 ．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了分式的定义，根据分式的定义，两个整式相除，且分母中含有字母的式子称为分式，据此判断各式子． 【详解】解：①，④是分式，②，③不是分式． 故答案为：①④． 【变式1】. （25-26八年级上·湖南怀化·期末）代数式 ，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断每个代数式即可． 【详解】解： ，分母为5，不含字母，不是分式； ，分母为n，含字母n，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式； ，分母为 ，π为常数，不含字母，不是分式； ，分母为x，含字母x，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式， 是分式的有 ，，，，共4个， 故选C． 【变式2】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的有理式），判断每个表达式是否为分式． 【详解】解：由题意得，，，是分式； ，是整式； ∴分式共有3个． 故选B． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，中，分式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一判断各表达式即可，熟知分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的代数式， ∴的分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 的分母是常数，不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式， ∴分式有个， 故选：． 题型02确定分式有意义、无意义的条件 方法技巧：有意义则列不等式，无意义则列方程，分母是多项式时先因式分解再求解，不化简原分式。 【典例2】. （25-26八年级上·云南昆明·月考）使分式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：要使分式 有意义，需满足分母 ， 解得 ． 故答案为： ． 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式无意义即分母为零，即． 【详解】解：∵ 分式无意义， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·河北承德·期中）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式．根据表格信息，当时分式无意义，说明分母在时为零；当时分式值为零，说明分子在时为零．逐一验证选项，只有选项A同时满足这两个条件． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴分母含有，排除BD； ∵当时，分式值为零， ∴分子含有，排除C， ∴分式可能是A：， 故选：A． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 题型03求分式值为零的字母取值 方法技巧：列方程组，先求分子为零的解，再排除使分母为零的解，双重验证。 【典例3】. （25-26八年级上·甘肃定西·期末）当分式的值为0时，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：分式的值为0，需满足分子且分母， 解方程，代入分母得，符合条件． 故答案为：． 【变式1】. （24-25八年级下·内蒙古包头·期中）若分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零，需分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式2】. （25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）若分式的值为0，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零列出不等式组求解即可． 【详解】解：分式的值为0， 则有． 解方程，得或． 当时，分母，分式无意义，故舍去． 因此． 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）若分式的值为0，则m的值是（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为时，分子为而分母不为解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：D． 题型04判断分式变形的正误 方法技巧：依据分式基本性质，验证变形是否满足“同乘/除同一个不为0的整式”，符号变形需符合“同时变两处”规则，排除局部变形、漏乘等错误。 【典例4】. （25-26八年级上·北京西城·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，而，两者不相等，∴ A错误； B、（当），变形正确，∴ B正确； C、与不一定相等，例如当 时，左边，右边，不相等，∴ C错误； D、，而不一定等于其平方，例如当时，左边，右边 ，不相等，∴ D错误； 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，当时右边无意义，等式不成立； C、，当时（如），右边为，等式不成立； D、，当且时（如），左边为4，右边为，等式不成立； 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·山东聊城·月考）下列说法正确的有（    ） ①分式是最简分式； ②若分式的值为，则； ③根据分式的基本性质，等式成立； ④将分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查分式的相关概念和性质，包括最简分式的定义、分式值为的条件、分式的基本性质以及分式的缩放． 【详解】①∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，正确； ②∵分式值为0需分子为0且分母不为，分子时，但当时，分母，分母为，分式无意义，∴只有时值为，错误； ③∵分式基本性质要求乘除的整式不为，但 可能为（如 ），此时分母，分式无意义，∴等式不一定成立，错误； ④∵将扩大倍后，分式变为，值扩大倍，∴分式的值改变，错误； 综上，只有①正确； 故选：A． 【变式3】. （2025九年级下·福建龙岩·学业考试）已知n，a，b都是正整数． (1)求证：； (2)任意一个分数都可以写成两个比它小的分数的和，若，求a，b与n之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作差法解答即可； （2）去分母，化简解答即可． 本题考查了作差法比较大小，分式的化简，熟练掌握大小比较，分式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ∵n，a，b都是正整数， ∴，， ∴ ∴， ∴． （2）解：根据题意，得， 去分母，得 去括号，得， 化简得． 题型05分式的符号转化与系数整数化 方法技巧：符号转化需同时改变分子、分母或分式本身两处符号，使最高次项系数为正；系数整数化时，小数乘10的正整数倍、分数乘分母最小公倍数，统一形式后变形，保持分式值不变。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【变式1】. （2025八年级上·北京·专题练习）不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 【变式2】. （24-25八年级上·江西宜春·月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“+”，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 题型06分式的约分与通分 方法技巧：约分先对分子分母因式分解（多项式），找公因式约去，结果为最简分式或整式；通分先确定最简公分母，分子分母同乘对应因式，使分母统一，保持分式值不变。 【典例6】. （25-26八年级上·北京西城·期中）约分： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进行约分即可． 【详解】解：分子和分母的公因式为， 给分子和分母同时除以得原式． 故答案为：． 【变式1】. （24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，， 【分析】本题考查分式的基本性质-通分，准确求得最简公分母是解答的关键． （1）根据最简公分母是进行通分即可； （2）根据最简公分母是进行通分即可； （3）根据最简公分母是进行通分即可； （4）根据最简公分母是进行通分即可； 【详解】（1）解：，； （2）解：，； （3）解：，； （4）解：，，． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式通分的知识点，掌握确定最简公分母的方法最关键． （1）（2）根据两个分式的分母能进行因式分解的，先因式分解，找到最简公分母，再将两个分式的分子分母分别乘以相应的整式，把它们化为同分母分式即可． 【详解】（1）解：， ， （2）解：∵，， ∴两个分式的最简公分母是， 则：， ． 【变式3】. （25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 先将分式分子分母因式分解，然后约分、再将除法转化为乘法，约分后由分式减法运算计算得到化简结果，再将代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型07判断是否为最简分式 方法技巧：对分子、分母分别因式分解，若没有公因式则为最简分式；有公因式则不是，注意多项式需先分解再判断。 【典例7】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式的定义，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式． 通过因式分解和约分检查每个选项，选项A、B、D均可约分，选项C无公因式． 【详解】解：．，可约分，不是最简分式，不符合题意； B． ，可约分，不是最简分式，不符合题意； C．，分子和分母无公因式，是最简分式，符合题意； D． ，可约分，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式要求分子与分母没有公因式；选项A有公因数2，选项B有公因式，选项D有公因式，选项C分子分母无公因式，故C为最简分式． 【详解】解：A选项中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式； B选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； C选项中分子分母无公因式，是最简分式； D选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式； B、不能再约分，故原式是最简分式； C、，故原式不是最简分式； D、，故原式不是最简分式； 故选：B． 【变式3】. （24-25八年级上·贵州贵阳·月考）下列分式中为最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，利用最简分式的定义逐一判断即可，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、是最简分式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 题型08根据分式值的正负求参数取值 方法技巧：分式值为正则分子分母同号，值为负则异号，列不等式组求解，同时保证分母不为0，验证解的有效性。 【典例8】. （25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知的值为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分式的值为正数，分母恒为正（且），因此分子 必须大于零，计算求解即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴分子与分母同号， 又∵对于任意实数，，且作为分母， ∴， ∴， 即且． 故答案为：且． 【变式1】. （25-26八年级上·山东威海·期中）如果分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据分式的值为负数，分子为正，则分母必须为负，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2】. （25-26九年级上·福建福州·开学考试）已知实数a，b，c，m，n满足，． (1)当，，时，求的值； (2)求证：为非负数． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、分式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意代入，，求出，，再根据即可求解． （2）根据题意得出，根据非负数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：当，，时， ，， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵，． ， ， ， ， 即是非负数． 【变式3】. （25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知，当为何值时，的值为正数？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式的性质、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 由分式的性质：分式的值大于0，则分子分母同号，据此可得到两个不等式组求解即可． 【详解】解：要使的值为正数，即，则．根据分式的性质，分式的值大于0，则分子分母同号，可得到两个不等式组： 不等式组一：， 解，得； 解，得． 取两者的交集，此不等式组的解集为． 不等式组二：， 解，得； 解，得． 取两者的交集，此不等式组的解集为． 综上，当或时，的值为正数． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）已知分式的值为0，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零，需分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式 的值为零， ∴分子，解得， 又∵当 时，分母， ∴的值为， 故选：A． 2．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 3．（25-26八年级上·河北唐山·月考）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，，都不是分式，只有是分式． 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知 ，将所求分式 拆分为 ，再代入计算． 【详解】解：， 当时， 原式 ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 7．（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 8．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，由给定等式变形为关于的二次方程，结合条件确定，再代入所求表达式计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）填写下表，写出当，，，，，，1，2时的值如下． 1 2 0 0 (1)　　　　，　　　　； (2)根据表格可知，当互为相反数时，对应的值　　　　；当与某数的乘积为　　　　时，对应的值相等． 【答案】(1)， (2)相等， 【分析】本题考查了分式的求值． （1）分别将、代入计算即可； （2）结合表格作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：，； （2）解：根据表格可知，当互为相反数时，对应的值相等； 当与某数的乘积为时，对应的值相等； 故答案为：相等，． 11．（25-26八年级上·重庆开州·月考）如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3)14 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）最大的正方形面积等于其边长的平方，最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，据此用两种方法表示出最大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据（1）中的等式进行计算即可； （3）可求出，再把等式两边同时平方，结合（1）的结论可得答案； （4）设，则，，则，然后根据完全平方公式展开，即可得答案． 【详解】（1）解：最大的正方形的边长为，其面积为 剩余部分的面积等于1个边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则剩余部分的面积为， 而最大的正方形面积等于剩余部分的面积加上一个边长为a的正方形面积，则最大的正方形面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：16； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)11 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）利用倒数法可推出，再根据可求出的值，则可根据求出的值； （2）利用倒数法推出，，再把所求式子变形为，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 分式及其基本性质 教学目标 1.理解分式、最简分式等概念，能区分分式与整式，掌握分式有意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质及符号法则，能熟练进行分式的约分与通分。 3.能运用分式基本性质解决变形、系数化为整数等问题，提升代数变形能力。 4.体会类比分数性质学习分式的思想，培养严谨的数学思维。 教学重难点 重点 （1）分式的概念及分式有意义、值为零的条件。 （2）分式的基本性质及符号法则的应用。 （3）分式的约分与通分操作。 （4）最简分式与最简公分母的确定。 难点 （1）分式值为零条件中“分子为零且分母不为零”的双重约束。 （2）分子、分母是多项式时的约分与通分（需先因式分解）。 （3）分式符号法则的灵活应用（避免符号出错）。 （4）复杂分母（含多项式、多个因式）的最简公分母确定。 知识点01：分式的概念 1.定义：形如（、是 ，且中 ，）的式子叫作分式，是分子，是分母。 2.有理式： 和 统称有理式，整式分母不含字母，分式分母含字母（是常数，不算字母）。 3.注意：判断分式需看原形式，不能化简后判断，如是分式。 【即学即练】 1．（2025八年级上·北京·专题练习）下列式子中，哪些是分式？ ，，，， 知识点02：分式有意义、无意义的条件 1.有意义：分母 ，即，与 取值无关。 2.无意义：分母 ，即。 3.注意：需针对原分式讨论，不能化简后分析，如无意义的条件是，而非化简后的条件。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若使分式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 知识点03：分式值为零的条件 1.核心：分子 且分母 ，即且，二者缺一不可。 2.示例：分式值为零，则，解得。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B．2 C．3 D． 知识点04：分式的基本性质 1.基本性质：分子与分母同乘（或除以） 的整式，分式的值 ，即，（是整式且）。 2.符号法则：分子、分母与分式本身的正负号，同时改变两处，分式的值 ，即。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·广东江门·月考）如果把分式中的x和y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（   ）． A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 知识点05：分式的约分与最简分式 1.约分：把分子与分母的 约去，依据是分式的基本性质。 2.公因式找法：单项式取系数 和相同字母 ；多项式先因式分解再找公因式。 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，约分结果需为 或 。 【即学即练】 1．（2025八年级上·北京·专题练习）化简分式 2．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 知识点06：分式的通分与最简公分母 1.通分：将几个异分母分式化为与原分式相等的同分母分式，依据是分式的基本性质。 2.最简公分母确定：取各分母系数 、相同因式 、单独因式连同指数的积。 3.注意：分母是多项式时先因式分解，通分时不含负号。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·北京顺义·月考）计算：． 2．（25-26七年级上·上海宝山·月考）分式，的最简公分母是 ． 题型01判断代数式是否为分式 方法技巧：紧扣“含未知数+分母含字母+是等式”，不化简原代数式，直接判断分母是否含字母（除外），区分整式与分式。 【典例1】. （25-26八年级上·贵州黔东南·期末）在式子：①，②，③，④中，属于分式的是 ．（填写序号） 【变式1】. （25-26八年级上·湖南怀化·期末）代数式 ，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，中，分式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型02确定分式有意义、无意义的条件 方法技巧：有意义则列不等式，无意义则列方程，分母是多项式时先因式分解再求解，不化简原分式。 【典例2】. （25-26八年级上·云南昆明·月考）使分式有意义的x的取值范围是 ． 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·河北承德·期中）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）使分式有意义，则x的取值范围是 ． 题型03求分式值为零的字母取值 方法技巧：列方程组，先求分子为零的解，再排除使分母为零的解，双重验证。 【典例3】. （25-26八年级上·甘肃定西·期末）当分式的值为0时，则的值为 ． 【变式1】. （24-25八年级下·内蒙古包头·期中）若分式的值为0，则x的值是 ． 【变式2】. （25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）若分式的值为0，则实数的值为 ． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）若分式的值为0，则m的值是（   ） A．0 B． C． D．3 题型04判断分式变形的正误 方法技巧：依据分式基本性质，验证变形是否满足“同乘/除同一个不为0的整式”，符号变形需符合“同时变两处”规则，排除局部变形、漏乘等错误。 【典例4】. （25-26八年级上·北京西城·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·山东聊城·月考）下列说法正确的有（    ） ①分式是最简分式； ②若分式的值为，则； ③根据分式的基本性质，等式成立； ④将分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】. （2025九年级下·福建龙岩·学业考试）已知n，a，b都是正整数． (1)求证：； (2)任意一个分数都可以写成两个比它小的分数的和，若，求a，b与n之间的数量关系． 题型05分式的符号转化与系数整数化 方法技巧：符号转化需同时改变分子、分母或分式本身两处符号，使最高次项系数为正；系数整数化时，小数乘10的正整数倍、分数乘分母最小公倍数，统一形式后变形，保持分式值不变。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【变式1】. （2025八年级上·北京·专题练习）不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【变式2】. （24-25八年级上·江西宜春·月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 题型06分式的约分与通分 方法技巧：约分先对分子分母因式分解（多项式），找公因式约去，结果为最简分式或整式；通分先确定最简公分母，分子分母同乘对应因式，使分母统一，保持分式值不变。 【典例6】. （25-26八年级上·北京西城·期中）约分： ． 【变式1】. （24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)． (2) 【变式3】. （25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 题型07判断是否为最简分式 方法技巧：对分子、分母分别因式分解，若没有公因式则为最简分式；有公因式则不是，注意多项式需先分解再判断。 【典例7】. （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】. （24-25八年级上·贵州贵阳·月考）下列分式中为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型08根据分式值的正负求参数取值 方法技巧：分式值为正则分子分母同号，值为负则异号，列不等式组求解，同时保证分母不为0，验证解的有效性。 【典例8】. （25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知的值为正数，则的取值范围为 ． 【变式1】. （25-26八年级上·山东威海·期中）如果分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【变式2】. （25-26九年级上·福建福州·开学考试）已知实数a，b，c，m，n满足，． (1)当，，时，求的值； (2)求证：为非负数． 【变式3】. （25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知，当为何值时，的值为正数？ 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）已知分式的值为0，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北唐山·月考）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 二、填空题 5．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）若，则 ． 6．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 7．（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是 ． 8．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）已知，，则的值为 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 10．（2025八年级上·全国·专题练习）填写下表，写出当，，，，，，1，2时的值如下． 1 2 0 0 (1)　　　　，　　　　； (2)根据表格可知，当互为相反数时，对应的值　　　　；当与某数的乘积为　　　　时，对应的值相等． 11．（25-26八年级上·重庆开州·月考）如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题： (1)用如图所示图形验证的乘法公式是：______； (2)运用（1）中的等式，计算：的值为______． (3)运用（1）中的等式，若，求的值． (4)已知，求的值． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $