精品解析：河南省南阳市桐柏县桐柏县方树泉、一初中两大教育集团联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025年秋期九年级第三次学情调研数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是 B. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 C. 某彩票中奖概率为，那么买100张彩票一定会中奖 D. “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A 2 B. C. 8 D. 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 5. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“”表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A. B. C. D. 2 10. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义实数x的取值范围是__________． 12. 某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价百分率都是，则满足的方程是_____________． 13. 如图，菱形的边长为10，对角线相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为________． 14. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） 15. 如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 解方程 （1）； （2） （3）； 18. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　； （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 19. 关于的一元二次方程． （1）若原方程有两个不相等实数根，求的取值范围； （2）若原方程一个根是1，求此时的值及方程的另外一个根． 20. 如图，是矩形的边上的一点，于点，，，． （1）求证：． （2）求线段的长． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 22. 在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当时，的最大值与最小值的差； （3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围． 23. 在中，是边上的中线，过点C作的垂线交的延长线于点E，于点F． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）过点A作交的延长线于点G，连结，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级第三次学情调研数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题干要求判断计算正确的是，对各选项的根数进行运算依次判断即可. 【详解】解：A. 排除A, B. ， B正确， C. ，排除C, D. ，排除D 故选B 【点睛】本题考查实数的运算，对算术平方根进行化简求值，难度较小. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是 B. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 C. 某彩票中奖概率为，那么买100张彩票一定会中奖 D. “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了随机事件以及确定事件．直接利用随机事件的定义以及确定事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、“福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是，原说法错误，该选项不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，原说法正确，该选项符合题意； C、某彩票中奖概率为，那么买100张彩票不一定会中奖，原说法错误，该选项不符合题意； D、“穿十条马路连遇十次红灯”是随机事件，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即， 故选：A． 6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 7. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“”表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数函数值的比较，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，函数增减性是解题的关键． 根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴离对称轴直线越远，函数值越小， ∵，，即点是顶点坐标，值最大，， 即， ∴， 故选：B ． 9. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N， 则， 设米，由得，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：B． 10. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y==； ②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为， y==； ③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选B． 【点睛】考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的实数x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且x≠0， 解得且x≠0， 故答案为且x≠0． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，熟记分式有意义的条件是解题的关键． 12. 某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．根据题意第一次降低后的售价是原来的，那么第二次降低后的售价是原来的，列方程解答即可． 【详解】解：根据题意第一次降低后售价是原来的 那么第二次降低后的售价是原来的 列方程得： 故答案为：． 13. 如图，菱形的边长为10，对角线相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质，解直角三角形等．作辅助线如图，利用菱形性质及解直角三角形可得，继而得到菱形面积，再求得的长，再判定，利用相似性质得长度，继而求出． 【详解】解：过点作于G，延长线交于点H，则， ， ∵菱形的边长为10，对角线相交于点O，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴菱形面积为：， ∴，即：， ∵， ∴， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；根据图象与轴的交点个数可判断⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， ， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ，故④错误； ⑤由图象知函数图象与轴有两个不同的交点， ∴， ∴，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 15. 如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质．利用有两个角对应相等的两个三角形相似，可得出，由点是边上一动点（不与点重合）以及垂线段最短求出的取值范围，依据得出：，进而求出的取值范围，最后根据即可求解． 【详解】解：设的长为， ， ， ， ， ， ； 由勾股定理得：， 点是边上一动点（不与点重合）， ， 垂线段最短， 当时，取得最小值， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 的最大值为2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂，二次根式的混合运算，． （1）先代入特殊角的三角函数值，将负整数指数幂和二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程 （1）； （2） （3）； 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选用适当的解法是解题的关键． （1）把方程化为，再利用配方法求解即可； （2）把方程化，再利用因式分解法解方程即可； （3）把方程化为，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：， 整理得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 18. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　； （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【小问1详解】 由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个， 所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种， 摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 19. 关于的一元二次方程． （1）若原方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若原方程的一个根是1，求此时的值及方程的另外一个根． 【答案】（1）且； （2）此时的值为2，方程的另外一个根为． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）把代入原方程，求得，得到，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，所以. ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是且； 【小问2详解】 解：把代入原方程，得， 解得， 把代入原方程，得， 解得，. ∴此时的值为2，方程的另外一个根为． 20. 如图，是矩形的边上的一点，于点，，，． （1）求证：． （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明两个角对应相等； （2）点到直线的距离就是线段的长度，由相似三角形对应边成比例求解即可； 小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中 ∵，， ∴ 由（）知 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当时，的最大值与最小值的差； （3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围． 【详解】解：（1）∵的图象过点，， ∴ 解得 ∴ （2）由（1）得，二次函数对称轴为 ∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4, y的最小值为 ∴的最大值与最小值的差为； （3）由题意及（1）得 整理得 即 ∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和， ∴ 化简得 即 解得m≠5 ∴a，b为方程的两个解 又∵ ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 23. 在中，是边上的中线，过点C作的垂线交的延长线于点E，于点F． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）过点A作交的延长线于点G，连结，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，等量代换，即可证明，即平分； （2）证明可得，根据中线的定义即可证明，从而得证； （3）根据题意，可得，根据正弦的定义求得，同方法求得，勾股定理求得，进而勾股定理求得的长． 【小问1详解】 是边上的中线， 即平分； 小问2详解】 ， 又 是边上的中线， 【小问3详解】 如图， 中， 中， 中， 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $