1.5 课时2 三角形三个内角的平分线-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级数学北师版下册“三角形三个内角的平分线”，课堂导入可衔接角平分线性质及三角形全等证明前知，以学习支架形式帮助学生从单个角平分线过渡到三角形整体角平分线性质的探究，实现知识递进。 其亮点在于采用分层练透设计，基础巩固练通过选择、填空（如4、32°等）夯实教材基础，能力提升练拓展应用，结合几何直观与推理能力，引导学生用数学思维分析问题。学生可分层进阶，教师能同步检测学情，提升教学针对性。

八年级数学 北师版·下册 第一章 三角形的证明及其应用 5 角平分线 课时2　三角形三个内角的平分线 B C 4 C C C 6 32° 三角形角平分线的性质与判定　　 在三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形的( ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 (内蒙古通辽模拟)如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( ) 2题图 A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5 如图，O为△ABC内角平分线的交点，过点O作OM⊥AB于点M.若∠ACB＝60°，OM＝2，则OC的长为__． 3题图 (广东湛江期中)如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P.求证：BP为∠MBN的平分线． 4题图 证明：过点P作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥BC交BC延长线于点F. ∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥BA，PE⊥AC， ∴PD＝PE. ∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC， ∴PE＝PF，∴PD＝PF. 又∵PD⊥BA，PF⊥BC，∴BP为∠MBN的平分线． (教材母题变式)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 5题图 (1)求证：AC＝AE； (2)若AC＝8，BC＝6，求CD的长． (1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝ED.在Rt△ACD和Rt△AED中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝ED，,AD＝AD，))∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC＝AE. (2)解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2)＝ eq \r(82＋62)＝10，S△ABC＝ eq \f(1,2)·AC·BC＝24，S△ACD＝ eq \f(1,2)AC·CD＝4CD.∵DE⊥AB，DE＝CD，∴S△ABD＝ eq \f(1,2)DE·AB＝5DE＝5CD.∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴24＝4CD＋5CD，解得CD＝ eq \f(8,3). 三角形角平分线的应用　　 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的作图是( ) 6题图 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在道路边AB上建一个休息点M，使它到边AC，BC的距离相等，在图中确定休息点M的位置． 勤径学升·同步练测·数学·北师版·八年级下册（教用书版）/sxsXL110-107A.tif" \* MERGEFORMAT ),\s\do15(A)) eq \o(\s\up17( eq \o(\s\up17(),\s\do15(B)) eq \o(\s\up17(),\s\do15(C)) eq \o(\s\up17(),\s\do15(D)) 如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中修建一座小亭供人们小憩，且使小亭到三条公路的距离相等，试确定小亭的位置． 7题图 解：如答图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P即为小亭的位置． 7题答图 如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是( ) A．AE，BF是△ABC的内角平分线 B．CG也是△ABC的一条内角平分线 C．AO＝BO＝CO D．点O到△ABC三边的距离相等 1题图 将如图①所示的△ABC剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若∠BOC＝126°，则∠BAC的度数为( ) 2题图② A．54° B．60° C．72° D．100° 2题图① (辽宁大连期中)如图，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，过点O作OH⊥BC于点H，若∠BAC＝60°，OH＝3，则OA的长为__． 3题图 [核心素养]如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H. (1)点D到B，C两点的距离相等吗？为什么？ (2)点D到∠BAC两边的距离相等吗？为什么？ (3)猜想BG和CH之间的大小关系，并证明你的结论． 4题图 解：(1)相等．理由如下： ∵D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴点D到B，C两点的距离相等． (2)相等．理由如下： ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴点D到∠BAC两边的距离相等． (3)BG＝CH.证明： 4题答图 如答图，连接BD，CD. ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD＝CD. ∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC， ∴DG＝DH，∴Rt△BDG≌Rt△CDH，∴BG＝CH. 　三角形的内、外角平分线模型 【模型展示】 如图①，BD，CD分别为△ABC两个内角的平分线，则∠D＝90°＋ eq \f(1,2)∠A. 如图②，BD，CD分别为△ABC两个外角的平分线，则∠D＝90°－ eq \f(1,2)∠A. 如图③，BD，CD分别为△ABC一内角和一外角的平分线，则∠D＝ eq \f(1,2)∠A. 图① 图② 图③ 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC，若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为______． 1题图 在△ABC中． (1)如图①，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P. ①若∠A＝64°，求∠BPC的度数； ②若∠A＝n°，则∠BPC＝______________； 2题图① 90°＋ eq \f(1,2)n° (2)如图②，△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数； (3)如图③，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q.请直接写出∠BPC与∠BQC之间的数量关系． 2题图② 2题图③ 解：(1)①∵∠A＝64°，∴∠ABC＋∠ACB＝116°.∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，∴∠1＝ eq \f(1,2)∠ABC，∠2＝ eq \f(1,2)∠ACB，∴∠1＋∠2＝ eq \f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝58°，∴∠BPC＝180°－(∠1＋∠2)＝122°. (2)∵∠DBC和∠FCB的平分线相交于点Q，∴∠QBC＝ eq \f(1,2)∠DBC，∠QCB＝ eq \f(1,2)∠FCB，∴∠QBC＋∠QCB＝ eq \f(1,2)(∠DBC＋∠FCB)＝ eq \f(1,2)[360°－(∠ABC＋∠ACB)]＝ eq \f(1,2)[360°－(180°－∠A)]＝ eq \f(1,2)(180°＋∠A)＝90°＋ eq \f(1,2)∠A，∴∠BQC＝180°－(∠QBC＋∠QCB)＝180°－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°＋\f(1,2)∠A))＝90°－ eq \f(1,2)∠A.∵∠A＝n°，∴∠BQC＝90°－ eq \f(1,2)n°. (3)∠BPC＋∠BQC＝180°. $